定义2两个图G,与G2说是同胚的，如果GG，或 者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同 构的图。 上面的G,G2,G3是同胚图。 注：显然，图的平面性在同胚意义下不变
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 定义2 两个图G1与G2说是同胚的，如果 ，或 者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同 构的图。 G G 1 2 G1 G2 G3 上面的G1 , G2 , G3 是同胚图。 注：显然，图的平面性在同胚意义下不变
定理1（库拉托斯基定理）图G是可平面的，当且仅当 它不含K或K33同胚的子图。 例1求证：下面两图均是非平面图。 图G1 图G2 证明：对于G来说，按G在2度顶点内收缩后，可得 到K。所以，由库拉托斯基定理知G,是非可平面图
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 定理1 (库拉托斯基定理) 图G是可平面的，当且仅当 它不含K5或K3,3同胚的子图。 例1 求证：下面两图均是非平面图。 图 G1 图 G2 证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得 到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图
对于G,来说，先取如下子图 图G2 G2的一个子图 对上面子图，按2度顶点收缩得与之同胚子图K,3: K33 所以，G2是非可平面图
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 对于G2来说，先取如下子图 G2的一个子图 对上面子图，按2度顶点收缩得与之同胚子图K3,3: K3,3 所以，G2是非可平面图。 图 G2
例2确定下图是否是可平面图。 W2 分析：我们根据图的结构形式，怀疑该图是非可平 面图。但我们必须找到证据！ 当然我们可能考虑是否m>3n-6。遗憾的是该图不满 足这个不等式！
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 例2 确定下图是否是可平面图。 u1 u2 v1 v2 y1 y2 x1 x2 w1 w2 分析：我们根据图的结构形式，怀疑该图是非可平 面图。但我们必须找到证据！ 当然我们可能考虑是否m>3n-6。遗憾的是该图不满 足这个不等式！
所以，我们要在该图中寻找一个与k或K33同胚的子 图！ 由于该图的最大度为4的顶点才4个，所以，不存在与 K同胚的子图。因此，只有寻找与K33同胚的子图！ 解：取G中红色边的一个导出子图： W2 也就是得到G的如下形式的一个子图： 10
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 u1 u2 v1 v2 y1 y2 x1 x2 w1 w2 所以，我们要在该图中寻找一个与k5或K3,3同胚的子 图！ 由于该图的最大度为4的顶点才4个，所以，不存在与 K5同胚的子图。因此，只有寻找与K3,3同胚的子图！ 解：取G中红色边的一个导出子图： 也就是得到G的如下形式的一个子图：