本次课主要内容 特殊平面图与平面图的对偶图 (一)、一些特殊平面图 1、极大平面图及其性质 2、极大外平面图及其性质 (二)、平面图的对偶图
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 本次课主要内容 (一)、一些特殊平面图 (二)、平面图的对偶图 特殊平面图与平面图的对偶图 1、极大平面图及其性质 2、极大外平面图及其性质
(一)、一些特殊平面图 1、极大平面图及其性质 对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边， 当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图。这样， 就启发我们研究平面图的极图问题。 定义1设G是简单可平面图，如果G是K(1≤i≤4)，或 者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是 非可平面图，则称G是极大可平面图。 极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 1、极大平面图及其性质 (一)、一些特殊平面图 对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边， 当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图。这样， 就启发我们研究平面图的极图问题。 定义1 设G是简单可平面图，如果G是Ki (1≦i≦4),或 者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是 非可平面图，则称G是极大可平面图。 极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图
极大平面 非极大平 面图 极大平面 图 注：只有在单图前提下才能定义极大平面图。 引理设G是极大平面图，则G必然连通；若G的阶数大 于等于3，则G无割边。 (1)先证明G连通。 若不然，G至少两个连通分支。设G1与G2是G的任意两 个连通分支
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 注：只有在单图前提下才能定义极大平面图。 引理 设G是极大平面图，则G必然连通；若G的阶数大 于等于3，则G无割边。 极大平面 图 非极大平 面图 极大平面 图 (1) 先证明G连通。 若不然，G至少两个连通分支。设G1与G2是G的任意两 个连通分支
把G画在G2的外部面上，并在G1,G2上分别取一点u与v. 连接u与v得到一个新平面图G*。但这与G是极大平面图相 矛盾。 (2)当G的阶数n≥3时，我们证明G中没有割边。 若不然，设G中有割边euv,则G-uv不连通，恰有两 个连通分支G1与G2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 把G1画在G2的外部面上，并在G1,G2上分别取一点u与v. 连接u与v得到一个新平面图G *。但这与G是极大平面图相 矛盾。 (2) 当G的阶数n≥3时，我们证明G中没有割边。 若不然，设G中有割边e=uv，则G-uv不连通，恰有两 个连通分支G1与G2。 v u e G1 G2 G f
设u在G,中，而v在G,中。由于n≥3，所以，至少有一 个分支包含两个以上的顶点。设G,至少含有两个顶点。 又设G,中含有点u的面是f,将G2画在f内。 由于G是单图，所以，在G,的外部面上存在不等于点 v的点t。现在，在G中连接点u与得新平面图G,它比G 多一条边。这与G的极大性相矛盾
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 设u在G1中，而v在G2中。由于n≥3, 所以，至少有一 个分支包含两个以上的顶点。设G2至少含有两个顶点。 又设G1中含有点u的面是f , 将G2画在 f 内。 由于G是单图，所以，在G2的外部面上存在不等于点 v的点t。现在，在G中连接点u与t得新平面图G* ,它比G 多一条边。这与G的极大性相矛盾。 v u e G1 G2 G