1l矩阵的QR分解 Givens矩阵与 Givens变换 定义:设实数c与s满足c2+s2=1,称 (i<j) 为 Givens矩阵(初等旋转矩阵),也记作T=T(,s)。由 Givens矩阵 所确定的线性变换称为 Givens变换(初等旋转变换)。 说明:(1)实数c2+s2=1,故存在θ,使c=cos(6),s=sin()。 (2)y=T1x中T;确定了将向量变成y的一种变换,正是 Givens变 coS(e 换。二阶情况下,y= x确定的正是平面直角坐标系 sin(θ)cos() 中绕原点的一个旋转变换(旋转度)。 (3)以上实 Givens也可推广称为复初等旋转矩阵
11 矩阵的 QR 分解 一．Givens 矩阵与 Givens 变换 1． 定义：设实数 c 与 s 满足 2 2 c s 1 + = ，称 Tij 1 1 c s (i) 1 1 s c (j) 1 1 = − ( i j ) 为 Givens 矩阵（初等旋转矩阵），也记作 T T (c,s) ij ij = 。由 Givens 矩阵 所确定的线性变换称为 Givens 变换（初等旋转变换）。 说明：（1）实数 2 2 c s 1 + = ，故存在 ，使 c cos( ),s sin( ) = = 。 （2） ij y T x = 中 Tij 确定了将向量变成 y 的一种变换，正是 Givens 变 换。二阶情况下， cos( ) sin( ) y x sin( ) cos( ) = − 确定的正是平面直角坐标系 中绕原点的一个旋转变换（旋转 度）。 （3）以上实 Givens 也可推广称为复初等旋转矩阵
j03 (k) 其中c与s仍为满足c2+s2=1的实数,1,02,03,64为实角度。 显然,det(Ui1)=c2ele,+)+s2ee:+0 当日1+04=62+日3时,de(Ui1)=ee+) 当61+64=2+63=2n时,det(Uik)=1 性质 (1)[Tc,)丁=[(s)]=Tc,-,T为正交矩阵。 det [( (2)设x=[5152…5n,y=I=[mmn2…m,则有 mi=csi +s5 -ssi+cs nk=5k(k≠i,j
ik j j 1 2 U j j 3 4 1 1 ce se (i) 1 1 (k) se ce 1 1 = − 其中 c 与 s 仍为满足 2 2 c s 1 + = 的实数， 1 2 3 4 ,,, 为实角度。 显然， 1 4 2 3 2 2 j( ) j( ) det(U ) c e s e ik + + = + 当 1 4 2 3 + = + 时， 1 4 j( ) det(U ) e ik + = 当 1 4 2 3 + = + = 2n 时， det(U ) 1 ik = 2. 性质 （1） 1 T T (c,s) T (c,s) T (c, s) ij ij ij − = = − , Tij 为正交矩阵。 ( ) det T c,s 1 ij = （2）设 T 1 2 n x = ， T ij 1 2 n y T x = = ，则有 i i j j i j k k c s s c (k i, j) = + = − + =
当2+2≠0时,总可以选c=5 5使 十 十 2 0 定理1设x=[512…5n丁≠0,则存在有限个 Givens矩阵的乘积 T,使得Tx=xe1 说明:(1)=2=√xx(为实数时,=√"x(x为复数时) (2)e1=「100 证明lξ1≠0的情形 (1)构造T12(c,s):c 51 十 +E2053 (2)对T12x再考虑T3(c,s):c= +岛+号”+B+ 13112 十 2 十 4 (3)依此类推,构造 十…十 TIk(C,): c +号2+…+2S= +8+… (k=2,3,n hn(n-1(+5++0
当 2 2 i j + 0 时，总可以选 i 2 2 i j c = + ， j 2 2 i j s = + 使 2 2 T i i j 2 2 ij 1 2 i j n j T x 0 0 = + → = + = 定理 1. 设 T 1 2 n x 0 = ，则存在有限个 Givens 矩阵的乘积 T，使得 Tx x e = 1 说明：（1） 2 T 2 x x x x = = (x 为实数时)， H x x x = (x 为复数时）。 （2） T 1 e 1 0 0 0 = [证明]： 1 0 的情形 （1）构造 1 2 12 2 2 2 2 1 2 1 2 T (c,s) :c ,s = = + + T 2 2 T x 0 12 1 2 3 4 n = + （2） 对 T x 12 再考虑 2 2 1 2 3 13 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 T (c,s) :c ,s + = = + + + + T 222 T T x 0 0 13 12 1 2 3 4 n = + + （3）依此类推，构造 2 2 1 k k 1k 2 2 2 2 2 2 1 2 k 1 2 k T (c,s) :c ,s + + = = + + + + + + (k=2,3,…..n) ( ) T 2 2 2 T T T T T x 0 0 0 1k 1k 1 1k 2 13 12 1 2 k k 1 n − − + = + + +
直至可k=n。令T=TnTn-1T…T12,则有 +十 0 xe 31=0的情形,从第一个不为零的ξ;开始运用上述方法即可 推论:对于任何非零列向量x∈R"及任何单位列向量x(z=1),均存在 着有限个 Givens矩阵的乘积T,使Tx=xz 证明由上述定理,对x存在有限个Gcms矩阵T2,13,…,T的乘 积 )=mTmx1…Tm,使Tx=xe1 对z同理存在有限个 Givens矩阵T2),T3)…,T2)的乘积 (2)(2) n11n-1…113112, 使T(2z=zle XT (2) (2) (1) 即, (1)(1) In In-1 2 其中 (2)T(2) ln1…:1)= T(1) In In I1n-1 2) 2)r(1)r(1 In in-1 为有限个 Givens矩阵的乘积。 二 Householder矩阵与 Householder变换
直至可 k=n。令 T T T T T = 1n 1n 1 12 − ，则有 T 2 2 2 Tx 0 0 0 x e 1 2 n 1 = + + = 1 = 0 的情形, 从第一个不为零的 i 开始运用上述方法即可 推论：对于任何非零列向量 n x R 及任何单位列向量 z( z 1) = ，均存在 着有限个 Givens 矩阵的乘积 T，使 Tx x z = 。 [证明]：由上述定理，对 x 存在有限个 Givens 矩阵 (1) (1) (1) T ,T , ,T 12 13 1n 的乘 积 (1) (1) (1) (1) (1) T T T T T 1n 1n 1 13 12 − = ，使 (1) T x x e = 1 对 z 同理存在有限个 Givens 矩阵 (2) (2) (2) T ,T , ,T 12 13 1n 的乘积 (2) (2) (2) (2) (2) T T T T T 1n 1n 1 13 12 − = ，使 (2) T z z e e = =1 1 即， ( ) ( ) ( ) 1 (1) (2) (2) (2) (1) 1 (2) (2) (2) (1) (1) (1) 1n 1n 1 12 1n 1n 1 12 T x x T z T ( x z) T T x x z T T T T T T x x z − − − − = = → = = 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 (2) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (1) 1n 1n 1 12 1n 1n 1 12 12 13 1n 1n 1n 1 12 T T T (2) (2) (2) (1) (1) (1) 12 13 1n 1n 1n 1 12 T T T T T T T T T T T T T T T T T T − − − − − − − − = = 为有限个 Givens 矩阵的乘积。 二 Householder 矩阵与 Householder 变换
(51 平面直角坐标系中,将向量x=[512]关于e1轴作为交换,则得到 511「10‖1 I-2 =Hx 般地,可将其推广 1.定义:设单位列向量u∈R,称H=1-2u1为 Householder矩阵(初 等反射矩阵),由 Householder矩阵所确定的线性变换(y=Hx)成为 Householder变换 2.性质 (1)HT=H(实对称),H1=HT(正交),H2=I(对合),H1=H (自逆),detH 为证明第5条,可利用如下引理。 引理:设A∈R,B∈R",则det(m+AB)=det(n+BA) 证明|参考如下的分块矩阵 的行列式,用A左乘第一行块加 a I 到第二行块,然后用(-B)左乘第二行块加到第一行块,有 B B det OI ARA=det(Im +AB)=det/n+BA 0 det(In +Ba 故, det(H)=detI+(-2uu)=1+u1(-2u)=1-2=-1
( ) 2 2 e ( ) 1 1 e ( ) 1 2 , ( ) 1 2 ,− 平面直角坐标系中，将向量 T 1 2 x = 关于 1 e 轴作为交换，则得到 ( ) 1 1 T 2 2 2 2 1 0 y I 2e e x Hx 0 1 = = = − = − − 一般地，可将其推广 1. 定义：设单位列向量 n u R ，称 T H I 2uu = − 为 Householder 矩阵（初 等反射矩阵），由 Householder 矩阵所确定的线性变换（ y Hx = ）成为 Householder 变换 2 . 性质 （1） T H H= （实对称）， 1 T H H − = （正交）， 2 H I = （对合）， 1 H H − = （自逆）， det H 1 = − 为证明第 5 条，可利用如下引理。 引理：设 m n n m A R ,B R ，则 det I AB det I BA ( m n + = + ) ( ) [证明]：参考如下的分块矩阵 n m I B A I − 的行列式，用 A 左乘第一行块加 到第二行块，然后用（-B）左乘第二行块加到第一行块，有 ( ) ( ) n n n m n m m m I B I B I BA 0 det det det I AB det det I BA A I 0 I BA A I + = = + = = + − + − 故， ( ) ( ) T T det H det I 2uu 1 u ( 2u) 1 2 1 = + − = + − = − = −