经济数学基础 第6章定积分 第6章定积分典型例题与综合练习 典剋例题 1、定积分的换元法与分部积分例1计算定积分2-3x2dr 解: 方法1>先求被积函数的原函数 6 3x2d(-3x2) 2-3x2d(2-3x2) 还原-(2-3x2)2 再利用NL公式 方法2> 2 du 63 例2求不定积分c 185
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——185—— 第 6 章定积分 典型例题与综合练习 一、典型例题 1、定积分的换元法与分部积分例 1 计算定积分 − 3 2 3 1 2 x 2 3x dx ． 解： <方法 1>先求被积函数的原函数 − = − = 2 − 3 d(3 ) 6 1 2 3 d 2 1 2 3 d 2 2 2 2 2 x x x x x x x = − − − = − 2 − 3 d(2 − 3 ) 6 1 2 3 d( 3 ) 6 1 2 2 2 2 x x x x − x = u − udu 6 1 2 3 2 = − u + c 2 3 9 1 − − x + c 2 3 2 (2 3 ) 9 1 还原 再利用 N-L 公式 9 1 (2 3 ) 9 1 2 3 d 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 − = − − = x x x x <方法 2> − = − − − 3 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 2 3 (2 3 ) d 6 1 x 2 3x dx x x x − = − 0 1 2 d 6 1 2 3x u u u = 1 0 2 1 d 6 1 u u 9 1 3 2 6 1 1 0 2 3 = u = 例 2 求不定积分 e e 1 ln x dx ．
经济数学基础 第6章定积分 解:利用积分区间的可加性和分部积分法 ∫x=上hx减+hxd 2 「xdx=xhx术-J1d=c-(c-1)=1 故 2、广义积分 +oo-2x dx 例1计算无穷积分 xe- dx=- 解: 2x2=l 40 综合练习 填空题 1.设函数f(x)在a,b上连续,又F(x)是f(x)的一个原函数,F(a)=-1, f(x) 则 2.设f(x)为连续函数,积分 /()s“=q(a≠O换元后变为积分 p(x) 则 p'(x) 186
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——186—— 解：利用积分区间的可加性和分部积分法 = − + e 1 1 e 1 e e 1 ln x dx ln xdx ln xdx − = − + 1 e 1 1 e 1 1 e 1 ln xdx x ln x 1dx e 2 1 e 1 1 e 1 = − + − = − = − e 1 e 1 e 1 ln xdx x ln x 1dx = e − (e −1) = 1 故 e 2 ln d 2 e e 1 = − x x 2、广义积分 例 1 计算无穷积分 + − 0 2 e d 2 x x x ． 解： e d( 2 ) 4 1 e d 0 2 2 0 2 2 2 + − + − x x = − − x x x − − = − 0 2 e d 4 1 2x u u u 4 1 e 4 1 0 = − = − u 二、综合练习 1、填空题 1．设函数 f (x) 在 [a , b] 上连续，又 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， F(a) = −1， F(b) = −3 ，则 = b a f (x)dx ． 2．设 f (x) 为连续函数，积分 1 0 f (t)dt 经代换 u = at (a 0) 换元后变为积分 ． 3．若 + = 0 2 1 d ( ) x t t p x ，则 p (x) = ．
经济数学基础 第6章定积分 -d +∞1 d f(“)dn 1+x 6.发散 2.单选题 -xdx= (1-x)d (x-1)dx+.(1-x)dx (1-x)dx+.(x-1)dx cos tdt (A)COS 3x: (B)-6cos 3xsin 3x: (C)sin-3x:(D)O d 则a=() (A)1:(B)2:(C)2:(D)-1 1.D;2.A:3.C 3、多选题 下列不等式成立的有()
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——187—— 4． = + x x x x d 1 e d d 3 2 2 ． 5． = − x x e d 0 2 ． 6． = + x x d 1 1 ． 1． − 2 ；2． a u a u f 0 a ( )d 1 ；3． 2 1 1 + x − ；4．0；5． 2 1 ；6．发散 2.单选题 1. − = 1 xdx 2 0 （ ）． (A) (1 x)dx (1 x)dx 2 1 1 0 − + − ；(B) (x 1)dx (x 1)dx 2 1 1 0 − + − (C) (x 1)dx (1 x)dx 2 1 1 0 − + − ；(D) (1 x)dx (x 1)dx 2 1 1 0 − + − 2． = t t x x cos 3 d d d 0 2 （ ）． (A) cos 3x 2 ；(B) −6cos3xsin 3x ；(C) sin 3x 2 ；(D)0 3．若 2 1 e d 0 = − x ax ，则 a = （ ）． (A) 1；(B) 2 1 ；(C) 2；(D) –1 1.D；2.A；3.C 3、多选题 1．下列不等式成立的有（ ）．
经济数学基础 第6章定积分 dx≥「x2d xdx≤ dx sin xdx2 cos xdx In xdx≥1 (C) 2.下列等式成立的有() d d rx (a) dr o cos tdt=3cos 3x (c) dxjo2Idt=_sin 2x (D)dr(3r2+1)d=3x2-6x+4 LABCD: 2.BD 4、配伍题 确定积分值 (xe+x'+-)d (A) ①;(B)2 tan xdx ③2. 2.确定函数的导数 op(x) (A)设 (x) (B)设 则 F(x)= (C)设 dtmF'(O)=;③-1 1.(A)②\(B)③\(C)① 2.(A)①\(B)③\(C)② 5、是非题 1.若f(x)是可积的偶函数,则 ∫(x)dx=0 188
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——188—— (A) 1 0 2 1 0 xdx x dx ；(B) 2 1 2 2 1 xdx x dx (C) 2 2 sin xdx cos xdx ；(D) ln d 1 e 1 e + x x 2．下列等式成立的有（ ）． (A) t t x x x cos3 d 3cos3 d d 3 0 = ；(B) 2 2 e d 2 e d d 0 x x t t x x = (C) t t x x x 2 d sin 2 d d 0 cos = − ；(D) (3 1)d 3 6 4 d d 2 0 1 2 + = − + − t t x x x x 1.ABCD；2.BD 4、配伍题 1．确定积分值 (A) + + = − x x x x )d 2 1 ( e 1 1 3 2 ；①；(B) = − 2 2 cos d x x ；②1； (C) = − 1 1 tan xdx ；③2. 2.确定函数的导数 (A)设 = x a t t t x d ln ( ) ，则 (1) = ；①； (B)设 = − 1 2 ( ) 2 d x I x t t t ，则 I(1) = （ ）；② 1 (C)设 − = x a t F(x) e dt ，则 F(0) = ；③–1 1.（A）② \（B）③ \（C）①； 2.（A）① \（B）③ \（C）② 5、是非题 1.若 f (x) 是可积的偶函数，则 ( )d = 0 − f x x a a ．
经济数学基础 第6章定积分 ln F(x) td i 则 d 4.无穷积分x当P>1时收敛,当P≤1时发散 2. 6、计算题 求下列各函数的导数: F(x)= dt 0√1+t 2.求下列不定积分: 1+In x (2x+x2)d dx (1) (2) (3)1x+1:(4) (5)Jo Sin xcos xdx (7)J. xcos2xdx xIn xdx 求下列广义积分 d (2) x(n x) 1.(1) 1+x (2)-x sIn x 2.(1)h23:(2)4:(3)22;(4) 2 (5)0;(6) (7) 4 18
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——189—— 2. = e 1 e 1 d d ln x u u x x ． 3.若 = x F x t t 2 0 ( ) sin d ，则 F(x) = 2sin 2x ． 4.无穷积分 x x p d 1 1 + 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散． 1.×； 2.× ； 3.√； 4.√； 6、计算题 1．求下列各函数的导数： （1） + = x t t F x 0 d 1 1 ( ) ；（2） − = 1 2 ( ) sin d x F x t t t 2．求下列不定积分： （1） + 1 0 2 (2 x )dx x ；（2） + 2 e 1 d 1 ln x x x ；（3） + 2 1 2 d 1 x x x ；（4） + 1 0 2 1 d x x x ； （5） 0 3 sin x cos xdx ；6） − 1 0 xe dx x ；（7） 2 0 cos2 d x x x ；（8） e 1 x ln xdx . 3．求下列广义积分： （1） + 1 d x x ；（2） + e 2 d (ln ) 1 x x x 1．（1） 1+ x 1 ；（2） x sin x 2 − 2．（1） 3 1 ln 2 1 + ；（2）4；（3） 2 3 ln 2 1 + ；（4） 2 −1 （5）0；（6） e 2 1− ；（7） 2 1 − ；（8） 4 e 1 2 +