3.2正规子群和商群※群G的平凡子群e与G都是G的正规子群，称为群G的平凡正规子群；G的其他正规子群称为G的非平凡正规子群※交换群的子群都是正规子群。※G的中心C是G的正规子群※ 若N\G，又N<H<G，显然有 N<H
3.2 正规子群和商群 ※ 群G的平凡子群 e 与G都是G的正规子群，称 为群G的平凡正规子群；G的其他正规子群称为 G的非平凡正规子群。 ※ 交换群的子群都是正规子群。 ※ G的中心C是G的正规子群。 ※ 若 N G ，又N≤H≤G，显然有 N H
3.2正规子群和商群例1：N=((1),(12 3),(132)是S3的正规子群但子群H1={(1), (1 2))}、H2={(1), (1 3))、H3=(1);(23)都不是S3的正规子群
3.2 正规子群和商群 例1：N={(1), (1 2 3), (1 3 2)}是S3的正规子群， 但子群H1={(1), (1 2)}、H2={(1), (1 3)}、H3={(1), (2 3)}都不是S3的正规子群
3.2正规子群和商群定理：设G是群，N<G，则N<GaNaN(VaEG)或者改述为：设G是群，N<G，则N\GVaEG,VnEN,有ana-N
3.2 正规子群和商群 定理：设G是群，N≤G，则 或者改述为：设G是群，N≤G，则 1 N G aNa a N G ( ) − 1 N G a G n ana N , , N 有 −
3.2正规子群和商群例2: A,≤S,例3：Klein四元群K4=(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3))是S4的正规子群，也是A4的正规子群。有B4={(1), (1 2)(3 4)) ≥ K4 ≥ S但 BS4因此正规子群无传递性
3.2 正规子群和商群 例2： 例3：Klein四元群 K4={(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} 是S4的正规子群，也是A4的正规子群。 有B4={(1), (1 2)(3 4)} 但 因此正规子群无传递性 A n n S 4 4 K S B4 4 S