抽象代数2.4~2.6
抽 象 代 数 2.4~2.6
2.4循环群1.理解生成子群、生成系、循环群的定义2.能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元3.理解在同构意义下，循环群只有两类4.掌握循环群子群的情况
2.4 循环群 1. 理解生成子群、生成系、循环群的定义 2. 能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元 3. 理解在同构意义下，循环群只有两类 4. 掌握循环群子群的情况
2.4循环群设M是群G的非空子集，则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个，G中所有包含M的子群的交记作<M>，则<M><G, 且 M ≤<M>。易知G中任意一个包含M的子群必然包含<M>所以<M>是G中包含M的最小子群
2.4 循环群 设M是群G的非空子集， 则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个， G中所有包含M的子群的交记作<M>，则 <M>≤G，且 。 易知G中任意一个包含M的子群必然包含<M>， 所以<M>是G中包含M的最小子群。 M M
2.4循环群定义：称<M>为群G中由子集M生成的子群，并称M是<M>的一个生成系1）一个群或子群可能有很多个生成系2)M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当M={al, a2,..., an}时,<M>也记为<al, a2, ..,an>，特别M=[a}时，记<M>=<a>，这就是循环群
2.4 循环群 定义：称<M>为群G中由子集M生成的子群，并 称M是<M>的一个生成系。 1) 一个群或子群可能有很多个生成系。 2) M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当 M={a1, a2, ., an}时，<M>也记为<a1, a2, ., an>，特别M={a}时，记<M>=<a>，这就是循环 群
2.4循环群定义：如果群G可以由一个元素a生成，即G=<a>，则称G为由a生成的循环群，并称a为G的一个生成元G=(a)={...,a-?, a-l, a° =e, a, α?, ...若群的运算是加法G=(a)=}..., -2a, -a, Oa = 0, a, 2a, ...}
2.4 循环群 定义：如果群G可以由一个元素a生成，即 G=<a>，则称G为由a生成的循环群，并称a为G 的一个生成元。 若群的运算是加法 2 1 0 2 G a a a a e a a = { , , , , , } − − = = ， G a a a a a a = ={ 2 , , 0 0, , 2 , } − − =