续；而当α≤2时，limf(x,J)不存在，此时f(x,y)→(0,0)在原点间断。※全增量与偏增量设P,(xo, yo)P(x, y)e D,△x = x-xo,Ay = y- yo称△z =△ f(xo, yo) = f(x, y)- f(xo, yo)= f(xo +△x, yo +△y)- f(xo, yo)为函数f在点 P,的全增量.和一元函数一样,可用增量形式来描述连续性，即当返回前页后页
前页 后页 返回 ( , ) (0,0) 2 , lim ( , ) x y f x y → 续; 而当 时 不存在，此时 f 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 0 0 0 0 0 设 P x y P x y D x x x y y y ( , ) ( , ) , , , 、 = − = − 0 0 0 0 称 = = − z f x y f x y f x y ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 = + + − f x x y y f x y ( , ) ( , ) 量形式来描述连续性, 即当 为函数 f 在点 P0 的全增量. 和一元函数一样, 可用增
lim△z= 0(△x,△y)-→(0,0)(x,y)eD时，f 在点P,连续如果在全增量中取△x=0或△y=0,则相应得到的增量称为偏增量，分别记作x f(xo, yo)= f(xo +△x, yo)- f(xo, yo)A, f(xo, yo)= f(xo, yo +△y)- f(xo, yo).一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。返回前页后页
前页 后页 返回 ( , ) (0, 0) ( , ) lim 0 x y x y D z → = 时, f 在点 连续. P0 如果在全增量中取 = = x y 0 0, 或 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), x = + − f x y f x x y f x y 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ). y = + − f x y f x y y f x y 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和
若一个偏增量的极限为零，如 lim △xf(xo，yo)=0,Ax-→0则表示当固定y=o时，f(x,）作为x 的函数，它在x连续.同理,若 lim_△,f(xo,yo)=0,则表示当Ay0固定 x=xo时,f(xo,y)在 y连续容易证明：当f在其定义域的内点(x，J）连续时，f(x,yo)在x.与 f(xo,y)在yo都连续. 但是反过来由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性（除非另外增加条件.例如二元函数返回前页后页
前页 后页 返回 若一个偏增量的极限为零, 如 0 0 0 lim ( , ) 0, x x f x y → = 0 y y = 0 则表示当固定 时, f x y ( , ) 作为 x 的函数, 它 在x0 连续. 同理, 0 0 0 lim ( , ) 0, y y f x y → 若 = 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 ( , ) x y 0 0 连续时, 0 f x y ( , ) 0 在 x f x y ( , ) 0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 固定 时， 0 f x y ( , ) 在 y0 连续. 0 x x =
[1, xy ± 0,f(x, y) =[0,xy= 0在原点处显然不连续,但由于f(O,y)=f(x,0)=0,因此它在原点处对x和对y分别都连续例2 设在区域DcR2上f(x,y)分别对x和对 y都连续．试证在下列条件之一满足时,f(x,J)在D上处处连续：(i)对其中一个变量(例如y)满足李普希茨条件，即3 L>0, 使得对任何(x,Ji),(x,y2)E D,恒有后页返回前页
前页 后页 返回 1 0, ( , ) 0 0 xy f x y xy = = ， ， 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 2 D f x y x y R ( , ) 上 分别对 和对 都 连续．试证在下列条件之一满足时， f x y D ( , ) 在 上 处处连续： (i) 对其中一个变量(例如 y) 满足李普希茨条件, 即 L 0, 1 2 使得对任何 ( , ), ( , ) , x y x y D 恒有