利用分步积分法及、2兀 得 4. tsin kot sin kot ko 4/ cos kot 0-( 0 T (kO)2 i(t)sin kota 4/ tsin katt 41. sin kot tconkot 2 T(ko) ko 2 cock丌 (k=1,2,3…) k
利用分步积分法及 ,得 T 2 = ) ( 1,2,3, ) cos ( 2 ( ) 4 sin sin 4 ( )sin 2 0 ( ) cos 0 ( 4 4 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = = − = = = = − − = − − − − − − k k I k k tconk t k k t T I t k tdt T I i t k tdt T b k k t T I dt k k t k t k t T I a m T T m T T m T k T T m T T T T m k
i()的傅里叶级数展开式为 ()=∑ b k sin kat 2 m(sin at--sin 2at +sin 3at+. 利用函数的对称性质,可使系数a,ak,b的确定得到简化 如果周期函数的波形对称于横轴。即在一个周期内,横轴 上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消,就不存在直流分量。 如图63所示。 (2)如果周期函数的波形对称于坐标原点,即f( f(-t 为奇函数。如图64所示。其傅里叶级数展开式将不含直流分量和 余弦项,只含正弦项。 (3)如果周期函数的波形对称于纵轴,即f(t)=f(-t)为偶函 。如图6.5所示。将它分解成傅里叶级数时,将不含正弦项,只含 直流分量和余弦项。 如果函数的波形是镜像对称,即f()=-f(72)。也就是在 任 内把第二个半波的波形向前移动
利用函数的对称性质, 可使系数a0 ,ak ,bk的确定得到简化。 (1) 如果周期函数的波形对称于横轴。 即在一个周期内, 横轴 上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消, 就不存在直流分量。 如图6.3所示。 (2) 如果周期函数的波形对称于坐标原点, 即f（t）＝－f（－t） 为奇函数。 如图6.4所示。其傅里叶级数展开式将不含直流分量和 余弦项, 只含正弦项。 (3) 如果周期函数的波形对称于纵轴, 即f（t）＝f（－t）为偶函 数。 如图6.5所示。 将它分解成傅里叶级数时, 将不含正弦项, 只含 有直流分量和余弦项。 (4) 如果函数的波形是镜像对称, 即f(t)=－f(t+T/2)。 也就是在 任一周期内把第二个半波的波形向前移动 i(t)的傅里叶级数展开式为 sin 3 ) 3 1 sin 2 2 1 (sin 2 ( ) sin 1 = = − + + = t t t I i t b k t k m k
f(t f(o T 0 图12.5偶函数波形 图126镜像对称波形成
t f (t) 0 Am T 2 T t f (t) 0 T 图 12.5 偶函数波形 图12.6 镜像对称波形成
122周期函数分解为傅里叶级数 振幅频谱图的作法 f(t=+cos ot--coS 3at+-cos Sat--coS 7at+ +S(Ot+-)+S(30t-)+sn(5t+ 4 +-sin( 7ot-=)+ A 3 7o ko 图129振幅频谱图
12.2 周期函数分解为傅里叶级数 + − + = + + + − + + = + − + − + ) 2 sin( 7 7 1 ) 2 sin( 5 5 1 ) 2 sin( 3 3 1 ) 2 sin( 4 cos7 7 1 cos5 5 1 cos3 3 1 cos 4 ( ) t t t t f t t t t t 1. 振幅频谱图的作法 Ak 0 A0 A1 A3 A5 A7 3 5 7 k 图 12.9 振幅频谱图
画出一个直角坐标,以谐波角频率kω为横坐标,在各谐波角 频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫做谱线。如果每条谱 线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振幅频谱 图,如图12.9所示。将各谱线的顶点连接起来的曲线(一般用虚 线表示)称为振幅包络线。 例12.3图12.10(a)为电视机和示波器扫描电路中常用的锯 齿波,试画出其振幅频谱图。 解查表12.1,可得锯齿波电压的傅里叶级数展开式为 A U 3π 4π (a) 图12.10例12.3图
画出一个直角坐标, 以谐波角频率kω为横坐标, 在各谐波角 频率所对应的点上, 作出一条条垂直的线叫做谱线。 如果每条谱 线的高度代表该频率谐波的振幅, 这样画出的图形称为振幅频谱 图, 如图12.9所示。 将各谱线的顶点连接起来的曲线（一般用虚 线表示）称为振幅包络线。 例12.3 图12.10（a）为电视机和示波器扫描电路中常用的锯 齿波, 试画出其振幅频 谱图。 解 查表12.1, 可得锯齿波电压的傅里叶级数展开式为 k Ak 0 (b) Um 2 Um Um Um Um Um t u 0 T (a) Um 图 12.10 例 12.3 图