式中,a,a,b称为傅里叶系数,可由下列积分求得: 4=7/(0h=21((m) f(tcos katt f(t)cos katd(ot) f(t)sin kott = f(t)sin kotd(ot) 式(12-1)和式(12-2)各系数之间存在如下关系 Ao=ao (12 Pk = arctan k 4)
式中, a0 , ak , bk称为傅里叶系数,可由下列积分求得: = = = = = = 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ( )sin ( ) 1 ( )sin 2 ( )cos ( ) 1 ( )cos 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 f t k tdt f t k t d t T b f t k tdt f t k t d t T a f t dt f t d t T a T k T k T (12 — 3) k k k km k k b a A a b A a arctan 2 2 0 0 = = + = 式（12 — 1）和式（12 — 2）各系数之间存在如下关系: (12 — 4)
= A sin (o km b k =Akm cosu 例121已知矩形周期电压的波形如图123所示。求U(t) 的傅里叶级数。 解图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 Un(0≤t≤ l() 图12.3例12.1图 <t<T 2 由式(12-3)可知 2丌 2丌
例 12.1 已知矩形周期电压的波形如图12.3所示。 求u（t） 的傅里叶级数。 解 图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 k km k k km k b A a A cos sin = = (12 — 5) 图 12.3 例 12.1 图 t u 0 Um －Um T T 2 ) 2 ( ( ) ) 2 (0 t T T U u t T U t m t m − = 由式（12—3）可知: ( ) ( ) 2 1 2 0 0 = a u t d t
2丌 d(on)]=0 2丌 u(t)cos katd(at) TT Jo Um cos katd(at)+ -Um coskotd (ot sin ratz k丌 u(t)sin katd(at) P2丌 Um sin katd(at)+ T LJom Um sin katd(at) JO
( ) ( ) 0 2 1 2 0 0 = + − = U d t U d t m m = + − = = − = = + − = sin ( ) sin ( ) 1 ( )sin ( ) 1 sin sin 0 cos ( ) 1 cos ( ) 1 ( )cos ( ) 1 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 U k t d t U k t d t b u t k t d t k t k U k t k U U k t d t U k t d t a u t k t d t m m k m m m m k
20 20 sinkotd(ot)==mI cos kot kT 20 COSKTT k丌 当k为奇数时,cosk=-1, kn 当k为偶数时,Cosk丌=1,b=0 40 由此可得(1)="(siot+sin3ot+sn5ot+… + sin kot+…)(k为奇数) k
(1 cos ) 2 cos 2 sin ( ) 2 0 0 k k U k t k U k t d t U m m m = − = = − cos 1, 0 4 cos 1, = = = − = k m k k b k U k b 当k为奇数时, 当k为偶数时, 由此可得 k t k为奇数） k t t t U u t m sin ) ( 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) + + = + + +
例122求图124所示周期信号的傅里叶级数展开式。 解()在一个周期内的表示式为 (t) t(-≤t≤ i() 2 i(t)dt 0 2Im(tdt 图124例122图 r tdt+tdt=0 47 i(t )cos kott=m t cos kott T
例 12.2 求图12.4所示周期信号的傅里叶级数展开式。 解 i (t)在一个周期内的表示式为 t i(t) 0 I m － T 2 T 2 图 12.4 例 12.2 图 − − − = = = = + = = = − 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 cos 4 ( )cos 2 0 2 2 ( ) 1 ) 2 2 ( 2 ( ) T T m T k T T m T T m T m t k tdt T I i t k tdt T a tdt tdt T I tdt T I i t dt T a T t T t T I i t