第四章可测函数 本章先介绍可测函数定义及其等价描述、简单性质,然后讨论可测函数与简 单函数、连续函数三者之间的相互关系,最后引入依测度收敛概念,并研究依测 度收敛与几乎处处收敛、一致收敛之间的相互关系。引入可测函数概念的目的是 探讨哪些函数才有可能按新思路改造积分定义,引入依测度收敛概念的目的在于 为新积分号下取极限时,削弱“一致收敛”这个苛刻条件作铺垫 §4.1可测函数定义及其简单性质 教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 本节要点可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且 有很好的运算封闭性.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性 特征 先作一下特别申明,今后凡提到的函数都是允许函数值取+∞,一∞的实函 数;士∞也称为广义实数,通常的实数称为有限实数 函数值都是有限实数的函数称为有限函数;若彐M>0,对任意x∈E,有 f(x)|≤M,则称f为E上的有界函数:显然有界函数是有限函数,反之则不然。 关于包括士∞在内的实数运算作如下规定 +∞=sup{x ∞=nfx 其中a为有限实数,从而对于上(下)方无界的单调增(减)数列{an}总存在 极限,且 lim am=+∞(-∞) 对于任何有限实数a, a+(±∞)=(±∞)+a=(±∞)-a=a-(+∞)=±∞ (±∞)+(±∞)=±∞,a/(±∞)=0,0×(±∞)=(±∞)×0=0 对任何有限实数a>0(<0) a×(士∞)=(±∞)×a=(士∞)/a=(±∞)(+∞)
第四章 可测函数 本章先介绍可测函数定义及其等价描述、简单性质，然后讨论可测函数与简 单函数、连续函数三者之间的相互关系，最后引入依测度收敛概念，并研究依测 度收敛与几乎处处收敛、一致收敛之间的相互关系。引入可测函数概念的目的是 探讨哪些函数才有可能按新思路改造积分定义，引入依测度收敛概念的目的在于 为新积分号下取极限时，削弱“一致收敛”这个苛刻条件作铺垫。 §４.１ 可测函数定义及其简单性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质. 本节要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且 有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性 特征. 先作一下特别申明，今后凡提到的函数都是允许函数值取＋∞，－∞的实函 数；±∞也称为广义实数，通常的实数称为有限实数. 函数值都是有限实数的函数称为有限函数；若ョ M＞0，对任意 x∈E，有 |f(x)|≤M，则称 f 为 E 上的有界函数；显然有界函数是有限函数，反之则不然。 关于包括±∞在内的实数运算作如下规定： ＋∞＝ 1 sup x∈R {x}， －∞＝ 1 inf x∈R {x}， －∞＜a＜＋∞ 其中 a 为有限实数，从而对于上(下)方无界的单调增(减)数列{ a n }总存在 极限，且n→∞ lim a n ＝＋∞ (－∞) 对于任何有限实数 a， a＋(±∞)＝(±∞)＋a＝(±∞)－a＝a－( m ∞)＝±∞ (±∞)＋(±∞)＝±∞，a/(±∞)＝0，0×(±∞)＝(±∞)×0＝0 对任何有限实数 a＞0 (＜0) a×(±∞)＝(±∞)×a＝(±∞)/a＝(±∞) ( m ∞)
(士∞)×(士∞)=+∞,(±∞)×(+∞) 反之(士∞)-(±∞),(士∞)+(+∞),(士∞)/(+∞),(士∞)/(±∞), (±∞)/0,a/0,都认为无意义。 以上规定除了0×(士∞)=(士∞)×0=0与数学分析中0,∞作为变化趋势 无穷小、无穷大时,0×(±∞)、(士∞)×0为不定型表面看来不一致以外,其 余规定均与数学分析中的相应结果完全统一。那么这不一致的地方是否有欠妥之 处呢?其实没有,因为这里的0是数,而不仅仅是一个变化趋势为0的无穷小量, 如果要将此0看成无穷小量,那么只有认为对任意n, n→+∞ an=0,当βn ∞,则 Bn=o 0。 由于建立 Lebesgue积分的思路是:作分划时将函数值接近的分在一起,这 就涉及求形如E[a≤f<b]的测度问题。然而,令人遗憾的是第三章的研究使我们 意识到:并非所有的集合都可测,那么在实施通过对值域分划反过来分定义域时, 有可能出现E[a≤f<b]不可测,因此有必要专门研究哪些函数才能保证形如 E[a≤f<b]的集合都可测。由于 E[a≤f<b]=E[f≥a]一E[f≥b], 所以只须研究哪些函数能保证形如E[f≥a]的集合可测。 定义4.1.1设f定义在可测集E上的函数,若对任意的实数a有 E[f≥a]可测,则称f在E上 Lebesgue可测,简称f在E上可测。 定理4.1.1设f定义在可测集E上的函数,则以下四命题等价 1)f在E上可测(对任意的实数a有E[≥a]可测 2)对任意的实数a有E[f>a]可测 3)对任意的实数a有E[f≤a]可测 4)对任意的实数a有E[f<a]可测 证明1)→2)因为E[f>a] E[f≥a+-],由于f在E上可测,所 以对任意n,E[f≥a+-]为可测集,故E[f>a]可测
(±∞)×(±∞)＝＋∞，(±∞)×( m ∞)＝-∞ 反之(±∞)－(±∞)，(±∞)＋( m ∞)，(±∞)/( m ∞)，(±∞)/(±∞)， (±∞)/0，a/0，都认为无意义。 以上规定除了 0×(±∞)＝(±∞)×0＝0 与数学分析中 0，∞作为变化趋势 无穷小、无穷大时，0×(±∞)、(±∞)×0 为不定型表面看来不一致以外，其 余规定均与数学分析中的相应结果完全统一。那么这不一致的地方是否有欠妥之 处呢？其实没有，因为这里的 0 是数，而不仅仅是一个变化趋势为 0 的无穷小量， 如果要将此 0 看成无穷小量，那么只有认为对任意 n， αn ＝0，当 βn n → →+∞ ＋∞，则 αn βn ＝0 n → →+∞ 0。 由于建立 Lebesgue 积分的思路是：作分划时将函数值接近的分在一起，这 就涉及求形如 E[a≤f<b]的测度问题。然而，令人遗憾的是第三章的研究使我们 意识到：并非所有的集合都可测，那么在实施通过对值域分划反过来分定义域时， 有可能出现 E[a≤f<b]不可测，因此有必要专门研究哪些函数才能保证形如 E[a≤f＜b]的集合都可测。由于 E[a≤f<b]＝E[f≥a]－E[f≥b]， 所以只须研究哪些函数能保证形如 E[f≥a]的集合可测。 定义４.１.１ 设 f 定义在可测集 E 上的函数，若对任意的实数 a 有 E[f≥a]可测，则称f在E上 Lebesgue 可测,简称f在E 上可测。 定理４.１.１ 设 f 定义在可测集 E 上的函数，则以下四命题等价 1) f 在 E 上可测(对任意的实数 a 有 E[f≥a]可测) 2) 对任意的实数 a 有 E[f＞a]可测 3) 对任意的实数 a 有 E[f≤a]可测 4) 对任意的实数 a 有 E[f<a]可测 证明 1)⇒2) 因为 E[f＞a]＝U ∞ n=1 E[f≥a＋ n 1 ]，由于 f 在 E 上可测， 所 以对任意 n，E[f≥a＋ n 1 ]为可测集，故 E[f＞a]可测
2)→3)因为对任意的实数a有E[f≤a=E-E[f>a],而已知E[f>a]可 测,所以E一E[f>a]可测,即E[f≤a]可测。 3)→4)与1)→2)同理,4)→1)与2)→3)同理 推论4.1.1f在E上可测对任意的a,b有E[a≤f<b],Ef=+∞] 可测 证明“∈”因为对任意a,n有E[a≤f<a+n]可测,且E[f=+∞可测,则 对任意a,Ef≥a]=UE≤f<bE=+∞]可测,故f在E上可测 “→”因为f在E上可测,则对任意的a,b有E[f≥a],E[f≥b]均可测, 则E≤f<b]=E[≥a]-Ef≥b可测,Ef=+∞]=∩E≥m可测 推论4.1.2定义在零测度集上的任何函数f均在E上可测 事实上,对任意的实数a有0≤皿E[f>a]≤mE=0,故E[f>a]可测,即f 在E上可测。 利用E[f>a]=E[f>a]∩E即得: 推论4.1.3若f在E上可测,则f在E的任一可测子集EO上可测 定理4.1.2设E=UE”,且En可测,则f在E上可测分对vn,f在 En上可测 证明“∈”对任意的实数a,Ef>a]=UEn[f>a],因为f在En上 可测,所以En[f>a]可测,从而E[f>a]可测,即f在E上可测。 因为f在E上可测,所以f在E的可测子集En上可测
2) ⇒3) 因为对任意的实数 a 有 E[f≤a]＝E－E[f＞a]，而已知 E[f＞a] 可 测，所以 E－E[f＞a]可测，即 E[f≤a]可测。 3) ⇒4)与 1) ⇒2)同理，4) ⇒1)与 2) ⇒3)同理. 推论４.１.１ f 在 E 上可测⇔ 对任意的 a，b 有 E[a≤f＜b]，E[f＝＋∞] 可测。 证明 “⇐”因为对任意 a，n 有 E[a≤f＜a+n]可测，且 E[f＝+∞]可测， 则 对任意 a， E[f≥a]＝U ∞ n=1 E[ ] a ≤ f < bU E[f＝＋∞]可测，故f在E 上可测 “⇒”因为 f 在 E 上可测，则对任意的 a，b 有 E[f≥a]，E[f≥b]均可测， 则 E[ ] a ≤ f < b ＝E[f≥a]－E[f≥b]可测，E[f＝＋∞]＝I ∞ n=1 E[f≥n]可测。 推论４.１.２ 定义在零测度集上的任何函数 f 均在 E 上可测 事实上，对任意的实数 a 有 0≤m* E[f＞a]≤m* E＝0，故 E[f＞a]可测，即 f 在 E 上可测。 利用 E 0 [f＞a]＝E[f＞a]∩E 0即得： 推论４.１.３ 若 f 在 E 上可测，则f在E 的任一可测子集 E 0上可测。 定理４.１.２ 设 E＝U ∞ n=1 E n ，且 E n 可测，则 f 在 E 上可测⇔ 对∀ n，f 在 E n 上可测. 证明 “⇐”对任意的实数 a，E[f＞a]＝U ∞ n=1 E n [f＞a]，因为f在E n 上 可测，所以 E n [f＞a]可测，从而 E[f＞a]可测，即f在E 上可测。 “⇒”因为 f 在 E 上可测，所以f在E 的可测子集 E n 上可测
定理4.1.3设fn是定义在可测集E上的可测函数列,则 1) h(x)=sup n(x) g(x)=inf fn(x) 2)m(x)= lim f(x)M(x)= lim fn(x)均为E上的可测函数。 3)若fn存在极限,则f(x)= lim fn(x)也为E上的可测函数 证明1)对任意a由于E[h>a]=UEfn>al,且fn在E上可测, 所以E[fn>a]可测,从而E[h>a],即h在E上可测,同理可证g在E上可测。 2)m(x)=lim fn(x)=supinf fn(x)=sup g(x),It pgN(x)=inf fn(x) 在E上可测,故m(x)在E上可测,同理M(x)在E上可测。 3)若 lim fn存在,则f(x)=m(x)=M(x)在E上可测。 例4.1.1若f(x)在E上可测,则f(x),f(x),|f(x)均在E上 可测。其中 f(x)= ∫(x)x∈E(20) 0,x∈E(f<0) (x)=0,x∈E(20) f(x)x∈E(<0) 分别称为f(x)的正部函数,负部函数。 证明因为对任意a,E[-f>a]=E[<-ad],所以当f可测时,f可测 又因为f(x)=max{f(x),0},f(x)=max{-f(x),0},|f(x)|=max{f(x),n} 故当f可测时,f(x)、f(x)、|f(x)均在E上可测
定理４.１.３ 设 f n 是定义在可测集 E 上的可测函数列，则 1) h(x)＝ 1 sup n≥ f n (x) g(x)＝ 1 inf n≥ f n (x) 2) m(x)＝n→∞ lim f n (x) M(x)＝n→∞ lim f n (x)均为 E 上的可测函数。 3) 若 f n 存在极限，则 f(x)＝n→∞ lim f n (x) 也为 E 上的可测函数。 证明 1) 对任意 a 由于 E[h＞a]＝U ∞ n=1 E[f n ＞a]，且 f n 在 E 上可测, 所以 E[f n ＞a]可测，从而 E[h＞a]，即h在E 上可测，同理可证g在E 上可测。 2) m(x)＝n→∞ lim f n (x)＝ n N N ≥ ≥ supinf 1 f n (x)＝ 1 sup N≥ g N (x)，其中 g N (x)＝ n≥N inf f n (x) 在 E 上可测，故 m(x)在 E 上可测，同理 M(x)在 E 上可测。 3) 若n→∞ lim f n 存在，则 f(x)＝m(x)＝M(x)在 E 上可测。 例４.１.１ 若 f(x)在 E 上可测，则 f + (x)，f − (x)，|f(x)|均在 E 上 可测。其中 f + (x)＝ ( ) ( ) ( ) ∈ < ∈ ≥ 0, 0 , 0 x E f f x x E f ， f − (x)＝ ( ) () ( ) − ∈ < ∈ ≥ , 0 0, 0 f x x E f x E f ， 分别称为 f(x)的正部函数，负部函数。 证明 因为对任意 a，E[-f＞a]＝E[f < −a]，所以当 f 可测时，-f 可测。 又因为 f + (x)＝max{f(x),0}，f − (x)＝max{-f(x),0}，|f(x)|＝max{f(x),n}, 故当 f 可测时，f + (x)、f − (x)、|f(x)|均在 E 上可测
例4.1.2若f(x)在E上非负可测,则{f(x)}n在E上可测。其中 If(x) n,x∈E(f≥n) f(x)x∈E(f<n) 称为f(x)的n-截断函数 证明显然f(x)}n=min{f(x),n在E上可测 定理4.1.4可测函数的和、差、积、商仍为可测函数 此定理留到可测函数的结构后证明会简单得多(参见定理4.3.2),故此处 从略
例４.１.2 若 f(x)在 E 上非负可测，则{f(x)} n 在 E 上可测。其中 {f(x)} n ＝ ( ) () ( ) ∈ < ∈ ≥ f x x E f n n x E f n , , 称为 f(x)的 n-截断函数。 证明 显然{f(x)} n =min{f(x),n}在 E 上可测。 定理４.１.４ 可测函数的和、差、积、商仍为可测函数。 此定理留到可测函数的结构后证明会简单得多(参见定理４.3.２)，故此处 从略