§3.3开集的可测性 定义3.3.1若E可以表成至多可列个闭集之并,则称E为Fa型集;若 E可以表成至多可列个开集之交,则称E为G型集;若E可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果,则称E为 Borel集 由开集与闭集的对偶性可直接得到Fa型集与G6型集的对偶性:F为Fa型 集<=>CF是G型集,G为G型集<=>CG是F型集 证明留作习题。 推论3.3 切Fσ集、G°集、 Borel集均为可测集。 反过来,可测集不一定是Fσ集、G集、 Borel集但与这些集合非常接近,下 述三个定理将给出具体描述。 定理3.3.1以下三命题是等价的 1)E可测 )对任意ε>0存在开集G满足GE,且m(G-E)<e 3)存在G6集G0满足G0彐E,且m"(G0-E)=0 证明:1)=>2)因为E可测,若皿<+∞,对由外测度定义知,对任意ε> 存在开集G→E满足mG<mE+ε,即m(G-E)<ε;若mE=+∞,则存在E满足 mEn<+∞,且E={」En,对任意ε>0存在开集0nEn满足m0n<mEn+ 令G=U0”, 则开集GE,从而m(GB)≤∑m(0")<∑5=
§３.３ 开集的可测性 定义３.３.１ 若 E 可以表成至多可列个闭集之并，则称E为F σ 型集；若 E 可以表成至多可列个开集之交，则称E为Gδ 型集；若 E 可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果，则称 E 为 Borel 集。 由开集与闭集的对偶性可直接得到 F σ 型集与 G δ 型集的对偶性：F 为 F σ 型 集<＝>CF 是 Gδ 型集,G 为 Gδ 型集<＝>CG 是 F σ 型集。 证明留作习题。 推论３.３.１: 一切 F σ 集、G δ 集、Borel 集均为可测集。 反过来，可测集不一定是 F σ 集、Gδ 集、Borel 集但与这些集合非常接近， 下 述三个定理将给出具体描述。 定理３.３.１ 以下三命题是等价的 1) E 可测 2) 对任意 ε＞0 存在开集 G 满足 G ⊃ E，且 m* (G-E)＜ε。 3) 存在 Gδ 集 G 0满足 G 0 ⊃ E，且 m* (G 0 -E)＝0。 证明：1)＝>2)因为 E 可测，若 mE＜＋∞，对由外测度定义知，对任意 ε＞ 0 存在开集 G ⊃ E 满足 mG＜mE+ε，即 m(G-E)＜ε；若 mE＝＋∞，则存在 E n 满足 m* E n ＜＋∞，且 E＝U ∞ n=1 E n ，对任意 ε＞0 存在开集 O n ⊃ E n 满足 mO n ＜mE n + n 2 ε ， 令 G＝U ∞ n=1 O n ， 则开集 G ⊃ E，从而 m * (G-E)≤∑ ∞ m=1 m* (O n -E n )＜∑ ∞ m=1 n 2 ε ＝ε
2)=>3)对任意ε=-存在开集Gn满足GnE,且mGn-E)<-,令 G∩G则G为G集,且G满足G=E,且m(GE)<m(Gn-E)<→0, 故m(G0-E)=0 3)=1)因为存在G6集G°满足G02E,且m(G0-E)=0,所以G°-E可测, 从而E=G0-(G0-E)可测。证毕 利用E与E可测的等价性,开集与闭集、G。集与Fσ的对偶性不难得到下 述定理: 定理3.3.2以下三命题是等价的 1)E可测 2)对任意ε>0存在闭集F满足E=F,且m(E-F)< 3)存在Fa集F0满足E彐F0,且m"(E-F0)=0 证明留给读者。 将定理3.3.1与定理3.3.2相结合即得: 定理3.3.3以下三命题是等价的 1)E可测 2)对任意ε>0存在开集G,闭集F满足F∈EcG,且m(GF)<ε 3)存在G6集G0,Fa集满足F0cEcG0,且m(G0-F0)=0
2)＝>3) 对任意 ε＝ n 1 存在开集 G n 满足 G n ⊃ E，且 m* (G n -E)＜ n 1 ，令 G 0 =I ∞ n=1 G n 则 G 0为 Gδ 集，且 G 0满足 G 0 ⊃ E，且 m* (G 0 -E)＜m* (G n -E)＜ n 1 →0， 故 m* (G 0 -E)＝0。 3)＝>1) 因为存在 G δ 集 G 0满足 G 0 ⊃ E，且 m* (G 0 -E)＝0，所以 G 0 -E 可测， 从而 E＝G 0 -(G 0 -E) 可测。证毕 利用E与E c 可测的等价性，开集与闭集、Gδ 集与 F σ 的对偶性不难得到下 述定理： 定理３.３.２ 以下三命题是等价的 1) E 可测 2) 对任意 ε＞0 存在闭集 F 满足 E ⊇F，且 m* (E-F)＜ε。 3) 存在 F σ 集 F 0满足 E ⊇F 0，且 m* (E-F 0 )＝0。 证明留给读者。 将定理３.３.１与定理３.３.２相结合即得： 定理３.３.３ 以下三命题是等价的 1) E 可测 2)对任意 ε＞0 存在开集 G，闭集 F 满足 F⊂ E⊂ G，且 m(G-F)＜ε。 3)存在 Gδ 集 G 0，F σ 集满足 F 0 ⊂ E⊂ G 0，且 m(G 0 -F 0 )＝0