§51大数定律 上述定理中要求随机变量X1,2y的方差存在 但这些随机变量服从相同分布的场合,并不需要这 一要求,我们有以下的定理 弱大数定理(辛钦定理) 设随机变量X1X2Ym,,相互独立,服从同 分布,且具有数学期望E(X=(4=12…),则对于 任意正数E有 iP1∑X-以< n→0 k=1 即序列X=∑X依概率收敛于山X->H 12141
12/41 上述定理中要求随机变量X1 ,X2 ,...的方差存在. 但这些随机变量服从相同分布的场合, 并不需要这 一要求, 我们有以下的定理. 1 1 lim 1 = − = → m n k k n X n P = = n k Xk n X 1 1 弱大数定理(辛钦定理) 设随机变量X1 ,X2 ,...,Xn ,...相互独立, 服从同一 分布, 且具有数学期望E(Xk )=μ (k=1,2,...), 则对于 任意正数, 有 §5.1 大数定律 即序列 依概率收敛于μ， ⎯→ m P X
§51大数定律 伯努利大数定理(辛钦定理的推论) 设n是n次独立重复试验中事件4发生的次数 P是事件4在每次试验中发生的概率,则对于任意正 数>0,有 b01n-F=1或mPn ≥E}=0 n→0 证因为nAb(n2y),且根据第四章中随机变量分解的思 想,有n=X1+X2+…+Xm,其中,X1,X2,Yn相互独立, 且都服从以P为参数的(0-1)分布, l,在第次实验中事件发生 0,在第次实验中事件4不发生 13/41
13/41 伯努利大数定理(辛钦定理的推论) 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对于任意正 数>0, 有 lim = 1 − → p n n P A n 或 lim = 0 − → p n n P A n §5.1 大数定律 证 因为nA~b(n,p), 且根据第四章中随机变量分解的思 想, 有 nA=X1+X2+...+Xn , 其中, X1 ,X2 ,...,Xn相互独立, 且都服从以p为参数的(0-1)分布， Xi= ，在 第 次实验中事件 不发生 在 第 次实验中事件 发 生 A A 0 i 1, i
§51大数定律 因而E(Xk=,D(Xp(1-p)(k=1,2,,n),由定理一得 iP(X1+X2+…+Xn)-p<E}=1 n1→0 h团<E}=1. 伯努利大数定理表明,事件发生的频率nAm依概率收敛 于事件的概率,以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概 率的合理性 近似:当n很大时,事件发生的频率nA与概率有较大偏差的 可能性很小,因此由实际推断原理,由于小概率事件几乎不 发生,当试验次数很大时,可以用事件的频率来代替事件的 概率 14/41
14/41 lim 1. ( ) 1, 1 lim 1 2 = − = + + + − → → p n n P X X X p n P A n n n 即 §5.1 大数定律 因而E(Xk )=p, D(Xk )=p(1-p) (k=1,2,...,n)，由定理一得 伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA /n依概率收敛 于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概 率的合理性 近似：当n很大时，事件发生的频率nA /n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不 发生，当试验次数很大时，可以用事件的频率来代替事件的 概率