§51大数定律 概率中的几种收敛 ●依概率收敛 ●依分布收敛(弱收敛,只在连续点保证收敛) ●几乎必然收敛,也叫几乎处处收敛 141
7/41 §5.1 大数定律 概率中的几种收敛 ⚫ 依概率收敛 ⚫ 依分布收敛(弱收敛，只在连续点保证收敛) ⚫ 几乎必然收敛，也叫几乎处处收敛
§51大数定律 定义已知随机变量序列Y,H2,,Ym与随机变量 Y。如果对VE>0,都有imP{Yn-yK}=1, n→0 那么我们就称随机变量序列{Vn;n∈Z}依概率收 敛到随机变量Y,记为YPY. 依概率收敛的本质是Yn对Y的绝对偏差小于任一给 定量的可能性将随着n的增大而增大 ≥特别当为退化分布时,即P{Y=a}=1,则称序列依概 率收敛于a即Yn>a 如果把极限放到绝对值上,即差值的极限小于任意正 数的概率为1则称为几乎处处收敛 8141
8/41 §5.1 大数定律 定义 已知随机变量序列Y1 ,Y2 ,...,Yn ,... 与随机变量 Y。如果对 ，都有 那么我们就称随机变量序列{Yn，nZ+ }依概率收 敛到随机变量Y ，记为 依概率收敛的本质是Yn对Y的绝对偏差小于任一给 定量的可能性将随着n的增大而增大. 特别当Y为退化分布时,即P{Y=a}=1,则称序列依概 率收敛于a,即 0 lim {| − | } = 1, → P Y Y n n Y Y. P n ⎯→ Y a P n ⎯→ 如果把极限放到绝对值上，即差值的极限小于任意正 数的概率为1则称为几乎处处收敛
§51大数定律 ●依概率收敛序列的性质 (只考虑收敛于常数a的情况): 若 n,y一P>b,又设函数g(xy)在点(a,b)连续, 则g(Xn,Y)->g(a,b) ●这样上述弱大数定理可以描述为 ●定理一设随机变量X1X2, 相互独立,且具有相同 的数学期望和方差:E(X)=,D(X)=02(k=1,2,),则序 列X=∑X依概率收敛于H, 即X 9/41
9/41 §5.1 大数定律 依概率收敛序列的性质 ⚫ (只考虑收敛于常数a的情况)： 若 ， ，又设函数g(x,y)在点(a,b)连续， 则 这样上述弱大数定理可以描述为 定理一 设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立，且具有相同 的数学期望和方差：E(Xk )=μ，D(Xk )=σ 2 (k=1,2,…)，则序 列 依概率收敛于μ， 即 X a P n ⎯→ Y b P n ⎯→ g(X ,Y ) g(a,b) P n n ⎯→ = = n k Xk n X 1 1 ⎯→ m P X
§51大数定律 ●在概率极限理论中研究随机变量序列收敛性的同时当然也 要研究相应的分布函数序列的收敛性 如:中心极限定理,第六章的经验分布函数Fx)等 ≥定义3设{Fn(x),∈N是一列定义在R上的有界非减右连续 函数,如果存在一个满足同样条件的函数F(x)使得 imF(x)=F(x),x∈C(F), °则称{F(x),∈N弱收敛到F(x),记为F(x)0>F(x) 如果Fn(x)是一列分布函数,并且存在分布函数F(x),使 得F(x)0F(x)那么我们就称F1(x)依分布收敛到F(x), 记为Fn(x)-dyF(x) 10141
10/41 §5.1 大数定律 在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也 要研究相应的分布函数序列的收敛性 如：中心极限定理，第六章的经验分布函数Fn (x)等 定义3 设 {Fn (x),nN}是一列定义在R上的有界非减右连续 函数，如果存在一个满足同样条件的函数F(x)使得 则称{Fn (x),nN}弱收敛到F(x)，记为 如果Fn (x)是一列分布函数，并且存在分布函数F(x) ，使 得 ，那么我们就称Fn (x)依分布收敛到F(x) ， 记为 。 lim F (x) F(x), x C(F), n n = → F (x) F(x) n ⎯ → F (x) F(x) n ⎯ → F (x) F(x) d n ⎯→
§51大数定律 依概率收敛包含了依分布收敛,反之不成 立,依分布收敛是弱收敛 ●所谓“弱大数定律”,是指上述收敛为依 概率收敛( n probability), ●所谓“强大数定律”,是指上述收敛为 “几乎必然收敛”( almost surely/with probability one 11/41
11/41 §5.1 大数定律 依概率收敛包含了依分布收敛，反之不成 立，依分布收敛是弱收敛 所谓“弱大数定律”，是指上述收敛为依 概率收敛(in probability)， 所谓“强大数定律”，是指上述收敛为 “几乎必然收敛”(almost surely/with probability one)