0.3矩阵和向量范数 7 3.向量的极限 向量范数的定义提供了度量两个向量的距离标准，即可定义向量的极限和收敛 概念了. 定义0.7设{X,k=1,2,·,n)为R”上向量序列，若存在向量a∈R 有imX因-a=0,则称向量列X)是收敛的，a称为该向量序列的极限. 由向量范数的等价性，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关.向量的极限是 通过它的所有分量的极限定义的.不论选取哪种范数，向量序列Xm)=(xm ,.,m)T收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即m存在 若imx=x,则X=(c1,2,.,xn)T就是向量序列{X,k=1,2,.,n 的极限在数值计算中，当迭代的向量序列中相邻两个向量的误差x+)一-x内 小于给定精度时，视Xk+)为极限向量X 0.3.2矩阵范数 1.矩阵范数定义 设A∈Rn×n,记方阵A的范数为‖A,矩阵范数满足下列性质： (1)IA≥0，当且仅当A=0时，IA=0: (非负性) (2)入∈R,AA=AA; (齐次性》 (3)对于任意两个同阶矩阵A,B有 IA+BI≤IA‖+IB到 (三角不等式) (4设A,B为同阶矩阵，则川AB引≤川A|IB (⑤)对XeR”,恒有 AXI≤IA|·IX (相容性) 只要满足(1)，（②），(3)就可以定义一个矩阵范数.矩阵范数可用向量范数定义 定义0.8设A∈Rnxn,定义矩阵范数 IAXI A=婴网 (0.3) 下面简化矩阵范数(0.3)的定义. X∈R”,设‖=1且X=t永，则 器器园器器
.8 绪论 即 A=器A 这样，A2在R2上X的选取范围由一张平面压缩到单位圆周上：在R3上 选取范围由三维空间压缩到单位球面上 定义09设川·川是R”上的一个向量范数，则由 A=,AX,A∈R"X” (0.4) 定义的实值函数川4|是一个矩阵范数. 这类范数称为算子范数、诱导范数或从属范数.几何直观上，矩阵范数是矩阵 对向量的最大拉伸 2.常用矩阵范数 对应于向量的三种范数，相应的三种矩阵范数形式为 (列和范数) (行和范数) IlAll2 =VAI 其中为=警A,:是ATA的特征值 *证明矩阵的范数是R”上满足X=1向量范数川AX的上确界，那么 找到这个上确界也就找到了矩阵的范数 (1)任取X∈R”,设川X1=1,则 (区（器三2≤器2 即 ≤器a
0.3矩阵和向量范数 9 设极大值在长列达到有，器{它a}-a取X==@,1 0,.,0)T,e除第k个分量为1外，其余分量均为0，于是有川4elh1=I(a1k,a2k,. 由定义h-故≥三一器{它小圆有 =票{店 (2)任取X,设X=1,则 u器aw1-感{} 器宫w器{空 即 器含 另一方面，设极大值在k行达到，取X=e=(sign ak1,sign ak2,·,sign akn)T, 这里 于是 ul (3)ATA为半正定对称矩阵，具有非负特征值，并具有n个相互正交的单位 特征向量.设ATA的特征值为1≥2≥·≥A≥0，相应的特征向量为 u1,2,n,其中山为相互正交的单位向量
·10 绪论 设X=1西+22+十，h,并且x6=1,∑好=1.则 AT AX Aiiu +A2z2u2++Aninun AX服=(Ax,AN)=(ArAX,X)=A≤∑子=A =1 即对任意X2=1均有 lAXl2≤VA 故A2≤V=(p(4TA)克.取X=,则有 AXIk=肥，AXI2=V 得到 IlAll2=VAi 如果A是对称矩阵，那么ATA=AA,设A的特征值是，i=1,2,n: 则有 lA2=max{V风}= 按(0.8)定义的矩阵范数满足矩阵范数中所需的各种条件，称它为从属于该向 量范数的矩阵范数.由(0.8)定义对一切非零向量X,有 IAX‖≤IAIX (0.5) 使得(0.5)成立的矩阵与向量范数称为相容性.根据定义，对任一种从属范数 有川=1，即单位矩阵的范数是1. 还要介绍一种矩阵范数，称为弗罗贝尼乌斯(Frobenius)范数，用lAr表示， 其定义为 (0.6) 因为Frobenius范数易于计算，在实用中是一种十分有用的范数.但它不能从属于 任何一种向量范数，因为r=n立. 与向量范数的等价性质类似，不同定义的矩阵范数之间也是等价的， 例o84-(;）分求AnA
0.3矩阵和向量范数 11 解Al1=max{0-1+5,3+7)=10 Al∞=max0-1+3,5+7}=12 a-()()(） ATA的特征值为 1=77.7771,2=6.2229 Al2=V77.777i=8.8191 l4lF=(1+9+25+49)/2=V84=9.1652 3.谱半径与收敛矩阵 若入是矩阵A的特征值，X为其特征向量，AX=入X,对任一相容的矩阵 范数 IAJIXII=AXI=AXII&ILAILIXII |A|≤A细 (0.7) 即矩阵特征值的模不大于矩阵的任一范数. 定义0.10p(A)=max入，这里，2，·，n为A的特征值，p(A)称为 A的谱半径. 由矩阵谱半径定义，可得到矩阵范数的另一重要性质，ρ(A)≤川A.由矩阵谱 半径定义，记IA2=(p4TA)/2. 定义0.11设{A,k=1,2,.}为Rn×n上的矩阵序列，若存在A∈Rn×m, 使得 mlA肉-A=0 则称序列{A,k=1,2,.}是收敛的，并称A为该序列的极限. 由矩阵范数的等价性，矩阵序列{A),k=1,2,.}的收敛性与矩阵范数的定 义无关 定义0.12当imAk=0时，称A为收敛矩阵. 定理0.2mA=0的充分必要条件是p(A)<1 证明每个复方阵都可以相似到Jordan标准形，故只需考虑A=In+N是 Jordan块的情形.A=XI+C以A-1N+.+Cg-k-n+1Nm-1,其中 C=kk-1)-k-i+1)