.2 绪论 本教材中提供了部分上机作业题，在平时作业中布置一些上机编程题目，其目 的是通过编程上机，加深对方法实施的理解和体会，训练和提高数学与计算机应用 能力和水平 0.2误差与有效数字 1.绝对误差与绝对误差界 近似计算必然产生误差，误差表示精确值与近似值的距离。 定义0.1设x*为精确值（或准确值），x是*的一个近似值，称e=x*-x 为近似值x的绝对误差或误差 绝对误差=精确值一近似值 误差e的值可正可负，如果得不到精确值x“,也就算不出绝对误差e的值.常 用限制误差绝对值的范围ε描述和控制误差的范围. 定义0.2如果精确值x*与近似值x的误差的绝对值不超过某正数，即 e=lx'-x≤e 称ε为绝对误差限或误差限， 精确值x*也可表示为x*=x士c.通常，在误差允许的范围内的近似值工，即 认为是精确值，这也是计算中控制循环中止的常用手段。 例0.1若经四舍五入得到x=123.456,对于数123.4559,123.4555,123.4561 123.4564的近似值都是x=123.456,即第四位小数大于5时，必然进位到第三位小 数：第四位小数小于5时，必然舍去.它的误差限是 14=lg-到≤104×5=2×10-3 若x°=0.0123456，则它的误差限是 le=l女-到≤108×5=5×10-7 2.相对误差与相对误差限 在很多情况下，绝对误差并不能全面地反映近似程度.例如，某电器公司两次 进货的某型号电风扇分别为1000台和2000台，其中开箱不合格电风扇分别为8 和12（绝对误差的值）.不合格率分别为8/1000=0.8%和12/2000=0.6%（相对误差的
0.2误差与有效数字 3 值)，这说明该电风扇的质量有所提高。我们把绝对误差与准确值的比值定义为相 对误 定义03设r为精确值，工是r的一个近似值，称6，=兰=严为近 似值x的相对误差。 在实际计算中，有时得不到精确值x,当e较小时x可用近似值x代替，即 相对误差= 绝对误差 情确值 或相对误差=绝对误差 近似值 相对误差，的值也可正可负，与绝对误差一样不易计算，常用相对误差限控 制相对误差的范围 定义0.4如果有正数e,使得e,=仁≤，则称e,为x的相对误差限 产生误差的因素很多，产生误差的原因主要如下， (1)原始误差 由客观存在的模型抽象到物理模型产生的误差.包括模型误差和原始数据误差， (2)截断误差. 用有限项近似无限项时，由截取函数的部分项而产生的误差，称为截断误差。 二示在计算中用一六之 例如：。x=1+x++··+可+.=》” n=o n! 之·。的截断误差E)= (3)舍入误差. n=N+1 n! 在数值计算中，通常都按有限位进行运算.例如，按照四舍五入的原则，2/3= 0.666667或2/3=0.667，由舍入产生的误差，称为舍入误差. 在实际计算中的数据通常是近似值，它们由观察、估计或计算而得到，这些数 在计算机表示后也会带来进一步误差，即误差的积累和传播.关于误差的传播似乎 没有多少统一的理论，通常积累误差的界是以通例分析为基础而建立的. 3.有效位数 定义05当x的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的 位数称为x的有效位数 例如，x=12.34,y=0.004067均有4位有效数字，而3.00与3.0000分别有3 位和5位有效位数
·4 绪论 有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差，因此，在计算中也应 注意保持一定的有效位数. 数值计算的近似计算免不了有误差相随，只能尽量约束和控制误差 (1)选择收敛的稳定的方法. 对同一问题选择不同的数值计算方法，可能得到不同的计算结果.在计算方法 中，除了给出方法的数值计算公式，还要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误 差的特性.选择收敛性要求低、稳定性好的方法是约束误差扩张最重要的措施.例 如，样条插值函数比高次多项式的效果好得多，是构造插值函数的首选方法， (2)提高数值计算精度. 数值在计算机中存放的位数称为字长.有限位的字长是带来舍入误差和抑制 数值计算精度的根源.对同一种方法，在字长大的计算机上的计算效果要比在字长 小的计算机上优越 同一计算问题，简化计算步骤、减少运算次数、控制除法中分母的值等措施都 会约束和减少舍入误差。 例如，将多项式表达式f(e)=anx”+an-1xn-1+.+a1x+ao改写为 f(x)=(.(anx+an-1)z+.+a1)x+ao 在计算机上，用同一种数值计算方法对数据选用不同的数值类型，有时会直接 影响到计算效果.例如，对病态的线性方程组，采用单精度数据的Gauss消元方 法，其数据解大大失真，而用双精度数据Gass列主元消元方法却可得到满意的数 值解 0.3矩阵和向量范数 0.3.1向量范数 1.向量范数的定义 在一维空间中，实轴上任意两点a,b的距离用两点坐标差的绝对值a-1表 示.绝对值是单变量的一种度量距离的定义. 范数是在广义长度意义下，对函数、向量和矩阵的一种度量定义.任何对象的 范数值都是一个非负实数.使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离， 向量范数是度量向量长度的一种定义形式.范数有多种定义形式，只要满足向量范 数定义的三个条件即可定义一个范数. 对任一向量X∈R”,按照一个规则确定一个非负实数与它对应，记该实数为
0.3矩阵和向量范数 .5. 川X,若IX川满足下面三个性质： (1)任取X∈R”,有川X≥0，当且仅当X=0时，川XI=0: (非负性) (2)任取X∈R”,aeR有laXl=laIX: (齐次性) (3)任取X,Y∈R”,有IX+YI≤IX‖+IY (三角不等式) 那么称实数XI为向量X的范数. 定义0.6向量X=(G1,2,.,n)T的p范数（但6lder范数）定义为 1/P ,-(ar”1 (0.1) 其中，经常使用三种Lp向量范数是p=1,2,0,即 1-范数（曼哈顿范数） ,-2=a+++a 2-范数（欧几里得范数 ∑=√好+号+.+ 00-范数 (max(l lnl} 注Ixe=imP+2P++nP)p=惑z}. 例0.2计算向量X=(1,3,a)T的向量范数 Xl1=1+3+la=4+la 1X2=(12+32+a2)1/2=V10+a2 max{1,3,lal}max{3,lal} 例0.3设A是一个正定矩阵，对任何向量X∈R”,定义函数X4 √XTAX,IXlA是一种向量范数. 1/ 例0.4当0<p<1,IXIl2= 不是向量范数 1
6 绪论 证明取a=(1,0,.,0)T,6=(0,.,0,1)T,则 llalle =1,Il8llp =1,llalle llallp =2.lla+3llp=21/ Ila+g到lp>allp+ll3p 所以0<p<1不是向量范数 2.不同向量范数的关系 同一向量，在不同的范数定义下，得到不同的范数值.定理0.1给出有限维线性 空间R”中任意向量范数都是等价的. 定理01若B1(X),R2(X)是Rn上两种不同的范数定义，则必存在0< m<M<oo,使X∈R",均有 mR2(X)≤R1(X)≤MR2(X) (0.2) 或 m≤≤Mx0) (证明略) 可以验证，对于向量的1,2和∞范数有下列等价关系 Xle≤Ixh≤nXIl aXh≤ aXIB≤≤IXIe 例0.5R2中向量1范数、2范数、4范数和o0范数的单位“圆”，如图0.1 所示 图0.1范数的单位“圆