目录 绪论。 。,。,。+41 01数值计算方法与算法.1 0.2误差与有效数字.2 0.3矩阵和向量范数.4 031向量范数。，。，····.。.·。····+··.·····.4 0.3.2矩阵范数.7 0.3.3矩阵的条件数.12 第1章插值.15 1.1拉格朗日（亿agrange)插值多项式.15 111线性插值.16 11.2二次插值.18 1.1.3n次拉格朗日插值多项式.20 1.2牛顿(Newton)插值多项式.25 1.21差商及其计算.25 1.2.2 Newton插值.27 *1.3 Hermite插值.32 1.4三次样条函数.38 1.41分段插值. .38 1.4.2三次样条插值的M关系式.40 1.43三次样条插值的m关系式 .44 习题1.45 第2章最小二乘拟合.47 21拟合函数.47 2.2多项式拟合 .49 23矛盾方程组.54 习题2.58 第3章非线性方程求解.60 3.1迭代法.60 3.11实根的对分法.60
·vi进 目录 312不动点迭代.62 3.2 Newton迭代法.65 3.3弦截法 .69 3.4求解非线性方程组的Newton方法.70 习题3. .73 第4章求解线性方程组的直接法.75 4.1Gus8消元法.76 4.11Guss顺序消元法.77 4.1.2Gaus列注元消元法.81 42直接分解法.84 4.21D0 olittle分解.85 4.2.2Cout分解.89 42.3特殊线性方程组.90 习题4.94 附录.95 第5章求解线性方程组的迭代方法.97 5.1简单（们acobi)迭代 .98 5.1.1 Jacobi选代计算公式.98 5.1.2 Jacobi迭代收敛条件.100 5.2高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代。 101 5.2.1 Gauss-.Seidel迭代计算.101 5.2.2 Gauss-Seidel选代矩阵.102 5.2.3Gaus-Seidel迭代算法 .103 5.3松驰迭代 105 5.3.1松弛选代计算公式.105 5.3.2松驰迭代矩阵.105 *5.4经典迭代格式的统一. ,.106 习题5. 0.107 第6章数值积分和数值微分. .110 6.1牛顿-柯特斯数值积分.110 6.1.1插值型数值积分.111 6.l.2牛顿柯特斯(Newton-Cotes)积分.112 6.2复化数值积分 .117 6.2.1复化梯形积分 .117
目录 .ix. 6.2.2复化Simpson积分.119 6.2.3自动控制误差的复化积分.121 6.2.4龙贝格(Romberg)积分.124 *6.3重积分计算.125 *6.4高斯(Gauss)型积分.128 6.4.1勒让德（亿egendre)多项式.129 6.4.2Gaus-Legendre积分.130 6.5数值微分.132 6.5.1差商与数值微分.132 65.2插值型数值微分. 135 习题6.137 第7章常微分方程数值解.139 71欧拉(Eulr）公式.140 7.1.1基于数值微商的Euler公式140 *7.12 Euler公式的收敛性.143 7.1.3基于数值积分的近似公式 .145 7.2 Runge-Kutta方法 .146 7.2.1二阶Runge-Kutta方法.146 7.2.2四阶Runge-Kutta公式.149 73线性多步法.151 7.4常微分方程组的数值解法 .154 7.41一阶常微分方程组的数值解法.154 7.4.2高阶常微分方程数值方法.157 *7.5常微分方程的稳定性.157 习题7.162 第8章计算矩阵的特征值和特征向量.164 81幂法.16 8.11幂法计算.164 8.12幂法的规范运算.167 82反幂法.171 *8.3实对称矩阵的Jacobi方法.172 *8.4QR方法简介.179 8.4.1QR方法初步.179 8.4.2矩阵的QR分解.180
目录 习题8.183 参考文献.184 附录1 上机作业题 .185 附录2C语言程序示例. .189 附录3在符号语言Mathematica中做题.19g
绪 论 0.1数值计算方法与算法 数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的 解数学问题的方法，简称计算方法.它的计算对象是那些在理论上有解而又无法用 手工计算的数学问题，以及没有解析解的数学问题.例如，解一个有300个未知量 的线性方程组；计算6阶矩阵的全部特征值. 在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法.例如，在航天航空、地质勘 探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字体设计中都有计算方法的踪影.在20 世纪70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程.随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理 工科学生的必修课程. 计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科，计算方法既有数学类课程中理 论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征.计算方法的前提课程是 微积分、线性代数、常微分方程和一门计算机语言 大多数人学习计算方法的目的是为了使用方法，在学习计算方法中，在套用计 算公式、修改计算公式和创建计算公式中，都需要不同程度的专业知识和数学基础。 要注重学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想和常用手法，获取近似计算的能 力，并能触类旁通地应用到各个领域中.一些有创造力的工程师不仅擅长使用某些 计算方法，而且能创建出简便有效的计算方法.例如，样条函数、快速傅里叶变换 和有限元方法都是有创造力的工程师们创建的，再由数学家们完善这些方法的理论 基础，并从理论上进行提高和推广 从方法的计算公式到在计算机上实际运行，两者之间还有距离，这是数学能力 与计算机应用技术能力之间的距离，还与计算机的运行环境和编程工具有关，为了 缩小两者之间的距离，本教材将给出部分计算公式的算法描述.用算法容易准确而 简便地描述计算公式，在算法中能简洁地表达计算公式中的“循环”和“迭代”等 操作.有了方法的算法，将它转化成C或PASCAL等语言的程序上机运行也就容 易了. 在学习计算方法过程中，如果能用某种语言编制该方法的程序并运行通过，那 么有利于准确而深刻地掌握该方法的计算步骤和过程