欧拉角 转动自由度为3,可 以用3个角度来表示 刚体的转动。首先, 沿z轴旋转φ角。然后 沿x轴旋转θ角。最后 沿着z轴旋转v角。 ·前两次旋转确定了z轴 的指向,如同地球球 面上的点用经纬度确 定,这两个参量确定 z轴单位向量
• 转动自由度为3，可 以用3个角度来表示 刚体的转动。首先， 沿z轴旋转j角。然后 沿x轴旋转q角。最后 沿着z轴旋转y角。 • 前两次旋转确定了z轴 的指向，如同地球球 面上的点用经纬度确 定，这两个参量确定 了z轴单位向量。 欧拉角
欧拉角旋转的矩阵表示 其中,角φ称为进动角,角θ称为章动角,角 q称为自转角。欧拉角经过三次沿坐标轴的转动, 转动之后刚体上任意一点的空间坐标变为(e右 肩标是欧拉角旋转的顺序) Ir=e (2)(2)(2 [ed,e d,e](e, e(2))r(y, e )o [el()(ob eojr(o, e l)r(0, e2))(s, e[rl r=r(,e r(e,e)r(v, e r] 或反过来从空间坐标求本体坐标: r]=R(v, e )r(O, e 2)r(,e)rl
• 其中，角 j 称为进动角，角 q 称为章动角，角 j 称为自转角。欧拉角经过三次沿坐标轴的转动， 转动之后刚体上任意一点的空间坐标变为（e右 肩标是欧拉角旋转的顺序） • 或反过来从空间坐标求本体坐标： 欧拉角旋转的矩阵表示 (0) (0) (0) (3) (3) (3) (2) (2) (2) (3) (1) (1) (1) (2) (3) (0) (0) (0) (1) (2) (3) (1) [ , , ][ ] [ , , ][ ] [ , , ] ( , )[ ] [ , , ] ( , ) ( , )[ ] [ , , ] ( , ) ( , ) ( , )[ ] [ ] ( , x y z x y z x y z z x y z x z x y z z x z z R R R R R R R y q y j q y j = = = = = = r e e e r e e e r e e e e r e e e e e r e e e e e e r r e (2) (3) ) ( , ) ( , )[ ] R R x z q y e e r (3) (2) (1) [ ] ( , ) ( , ) ( , ) [ ] T T T R R R y q j z x z r e e e r =
欧拉角旋转的矩阵表示 因此[r]=R(0,e.)R(,e)R,e)r coSo -sino 0(100 cosy -siny sin o cos p 0 0 cos0 -sin siny cosy 0 0010 sin e cos9人0 ]R(, [e2)e(2) e(2)]=[el) es), e.]R( el (3)7 sin be+ cos e (2) cole (3) sIn ve a (2) singer t cos ye
• 因此 欧拉角旋转的矩阵表示 (1) (2) (3) [ ] ( , ) ( , ) ( , )[ ] cos sin 0 1 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 cos sin sin cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 R R R z x z x y z j q y j j y y j j q q y y q q = − − = − r e e e r (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (1) (2) (2) (2) (3) (3) (2) (3) (3) [ , , ] [ , , ] ( , ) [ , , ] [ , , ] ( , ) sin cos cos sin sin cos T x y z x y z x T x y z x y z z z y z x x y y x y R R q y q q y y y y = = = + = − = + e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
有限角旋转的不可交换性 旋转的次序是不可交换的,例如同样是做以x为 轴转90°,再以y为轴转90°,z轴的方向指向 y,但如果次序相反,则z轴最终指向X,可见结 果不同。同样,如果旋转用4元数表示,这意味 着4元数相乘不满足交换率。如果旋转用矩阵表 示,这等价于矩阵相乘也不满足交换率
• 旋转的次序是不可交换的，例如同样是做以x为 轴转90° ，再以y为轴转90° ，z轴的方向指向- y，但如果次序相反，则z轴最终指向x，可见结 果不同。同样，如果旋转用4元数表示，这意味 着4元数相乘不满足交换率。如果旋转用矩阵表 示，这等价于矩阵相乘也不满足交换率。 有限角旋转的不可交换性 y x y x z z
无穷小角度旋转的可交换性 ·但无限小角度的旋转次序是可交换的。分析一下 4元数相乘,不满足交换率的项是叉乘项 q1=n1+1,q2=n2+v2 q1*2=nn2+n12+几21+(v×) 当转动角是一阶无穷小的2d0时候,q=1ed0, 两次连续进行时,叉乘项是二阶小量,可被忽略。 q1*q2=1+edB+e2dB2+td.(e1×e2)-dd6Be1:已2 sl+ed+e2d2≈2*q1→2e:12+e2d2) 因此,无穷小角度旋转是可交换的,且能表示为 转轴方向的大小为dθ的矢量,并满足合成法则
• 但无限小角度的旋转次序是可交换的。分析一下 4元数相乘，不满足交换率的项是叉乘项 • 当转动角是一阶无穷小的2dq时候，q=1+edq， 两次连续进行时，叉乘项是二阶小量，可被忽略。 • 因此，无穷小角度旋转是可交换的，且能表示为 转轴方向的大小为dq的矢量，并满足合成法则。 无穷小角度旋转的可交换性 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 , ( ) q n v q n v q q n n n v n v v v v v = + = + = + + + − 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 2( ) q q e d e d d d e e d d e e e d e d q q d d q q q q q q q q q q = + + + − + + + e e