四元数表示旋转 转动可以用一个归一化的4元数来表示 r=xi+ y +zk,已=ei+j+巳k,已*e=1 q=coS0+esing, q =cos 8-esin 8, g*q=1 q*r*q =(r*g+2sin gexr *q =r+2sin e(exr)*q r+2singcos Bexr-(exr)*esing r+sin 2gexr+(cos 20-1r-(relel Cos26r-(r·)l)+ exrsin2e+(r·e)l 对比可知得到的是角度为20的旋转
• 转动可以用一个归一化的4元数来表示。 • 对比可知得到的是角度为2q的旋转。 四元数表示旋转 * * * * * * , , 1 cos sin , cos sin , 1 ( 2sin ) 2sin ( ) 2sin [cos ( ) sin ] sin 2 (cos 2 1)[ ( ) ] cos 2 ( ( ) ) sin 2 ( ) x y z r xi yj zk e e i e j e k e e q e q e q q r q r q r q e r q r e r q r e r e r e r e r r r e e r r e e e r r e e q q q q q q q q q q q q q = + + = + + = = + = − = = = + = + = + − = + + − − = − + +
旋转的复合 两次旋转连续进行可以复合为一次 q1=cos 8, +e, sing, g,=cos B,+e, sin 8, 7=q**④,F2=q2**2=92*1**91*2=(2*91)*r*(q2*) q=q2*q1,q*q=(q2*)*(q2*q)=92*91*q1*g2=92*2=1 连续多次的旋转最后都能用一次旋转替代,这与 欧拉定理是一致的 4元数用了4个分量表示一次旋转,而旋转的自由 度为3,用矢量部分就能表示。冗余的1个量对应 于加入了模为1的归一化条件的约束条件 用4元数表示旋转的方法广泛应用于计算机的3维 绘图等方面
• 两次旋转连续进行可以复合为一次 • 连续多次的旋转最后都能用一次旋转替代，这与 欧拉定理是一致的。 • 4元数用了4个分量表示一次旋转，而旋转的自由 度为3，用矢量部分就能表示。冗余的1个量对应 于加入了模为1的归一化条件的约束条件。 • 用4元数表示旋转的方法广泛应用于计算机的3维 绘图等方面。 旋转的复合 1 1 1 1 2 2 2 2 * * * * * 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 * * * * * 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 cos sin , cos sin , , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 q e q e r q r q r q r q q q r q q q q r q q q q q q q q q q q q q q q q q = + = + q q q q = = = = = = = = =
刚体旋转的矩阵表示 以z轴为转轴,进行一次转动,转动θ之后刚体上 任意一点的空间坐标变为 r'=(re)e+cos g(r-(re)e) +sine×r ze+(xcos 6-ysin 0)e, +(xsin 6+y cos e)e ·变换矩阵为 cos -sing o(x [r]=R(O, e[r]= sin cos 0 0 y 01八z 同样我们可以获得绕x轴或绕y轴旋转的变换矩阵
• 以z轴为转轴，进行一次转动，转动q之后刚体上 任意一点的空间坐标变为 • 变换矩阵为 • 同样我们可以获得绕x轴或绕y轴旋转的变换矩阵。 刚体旋转的矩阵表示 ( ) cos ( ( ) ) sin ( cos sin ) ( sin cos ) z z z z z z x y z x y x y q q q q q q = + − + = + − + + r r e e r r e e e r e e e cos sin 0 [ ] ( , )[ ] sin cos 0 0 0 1 z x R y z q q q q q − = = r e r
旋转时坐标的矩阵变换 用]表示任意矢量e的空间坐标排成的列。 本体坐标系从原始位置转动到当前位置,其3个轴的单位基矢 量为ex,ey,ez°把3个单位基矢量的空间坐标排为3列,构成 矩阵3X3的矩阵ReJe]e]。则矩阵R是旋转的变换矩 阵。此矩阵的各列是归一的且彼此正交(单位基矢量性质)。 因RR=,故R不为0,有逆矩阵存在,右乘R1得R=R1。 此矩阵的逆矩阵是自身的转置 刚体上本体坐标为(Xy2)的任意一点当前空间位置为 []=x[ex+ ye+ ze=[RIo 这给出旋转前后刚体上任一点(在原坐标系中的)坐标的变换
旋转时坐标的矩阵变换 • 用[e]表示任意矢量e的空间坐标排成的列。 • 本体坐标系从原始位置转动到当前位置，其3个轴的单位基矢 量为ex，ey，ez。把3个单位基矢量的空间坐标排为3列，构成 矩阵3x3的矩阵R =[ [ex ] [ey ] [ez ] ] 。则矩阵R是旋转的变换矩 阵。此矩阵的各列是归一的且彼此正交（单位基矢量性质）。 • 因 RTR=I，故|R|不为0，有逆矩阵存在，右乘R-1得RT=R-1 。 此矩阵的逆矩阵是自身的转置。 • 刚体上本体坐标为(x,y,z)的任意一点当前空间位置为 [r’] = x[ex ] + y[ey ] + z[ez ] = [R][r] 这给出旋转前后刚体上任一点（在原坐标系中的）坐标的变换
欧拉定理的矩阵证明 由于R是单位基矢量为ex,e,e2的空间坐标排为3列构成,因 此(基矢量下标加0是指旋转前的坐标): exo, eyo,ez0]R=[ex,ey,ezI ·这给出了旋转前后单位基矢量的变换。 刚体从初始位置,不管经过多少次定点旋转,最终位置与初 始位置之间的变换矩阵R可通过单位基矢量的坐标排列得到 若存在转轴X,它在旋转变换R作用下不变,即说明可以通过 次旋转从初始位置转到最终位置 RR=I→R|=土1,因初始时的R|=1,需舍弃负根。 R-HR-RRI-R‖RH(I-R)Ⅰ-R →|R-I=0,(R-D)X=0(X≠0)2RX=X 第25次课
欧拉定理的矩阵证明 | | 1, | | | | | || | | ( ) | | | | | 0, ( ) 0( 0), T T T T T R R I R R I R R R I R R I R I R R I R I X X RX X = = − = − = − = − = − − = − = = • 由于R是单位基矢量为ex，ey，ez的空间坐标排为3列构成，因 此（基矢量下标加0是指旋转前的坐标）： [ ex0，ey0，ez0 ] R = [ ex，ey，ez ] • 这给出了旋转前后单位基矢量的变换。 • 刚体从初始位置，不管经过多少次定点旋转，最终位置与初 始位置之间的变换矩阵R可通过单位基矢量的坐标排列得到。 若存在转轴X，它在旋转变换R作用下不变，即说明可以通过 一次旋转从初始位置转到最终位置。 因初始时的|R|=1，需舍弃负根。 第25次课