欧拉定理 定理:具有一个固定点的刚体的任意位移 等效于绕该定点的某一轴线的转动。 如果能寻找到轴线和旋转的角度,使原始 位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位 置,则欧拉定理即获得证明。 实际上,由于原点不动,只需要本体坐标 的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位 刚体整个就到达目标位
欧拉定理 • 定理：具有一个固定点的刚体的任意位移 等效于绕该定点的某一轴线的转动。 • 如果能寻找到轴线和旋转的角度，使原始 位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位 置，则欧拉定理即获得证明。 • 实际上，由于原点不动，只需要本体坐标 的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位， 刚体整个就到达目标位
欧拉定理的证明 确定旋转轴是x的垂直平分 面与yy的垂直平分面的交线。 轴上任意一点到X和x等距, 同时到y和y也等距。 图中黑的球面三角与红的球 面三角全等。因此当x转到x 时,y同时转到y。因此, 刚体通过一次旋转,到达了 指定位置。这样,描述原点 固定的刚体的状态就等价于 描述一次转动 第24次课
欧拉定理的证明 • 确定旋转轴是xx'的垂直平分 面与yy'的垂直平分面的交线。 轴上任意一点到x和x'等距， 同时到y和y'也等距。 • 图中黑的球面三角与红的球 面三角全等。因此当x转到x' 时，y也同时转到y'。因此， 刚体通过一次旋转，到达了 指定位置。这样，描述原点 固定的刚体的状态就等价于 描述一次转动。 第24次课
转动后刚体上某一点的 新位置 设e为转轴的方向向量。刚体上的任 意一点的位置r在三个方向上分解: 平行方向:r=(re)e 垂直方向:r1=r-(r:e)e=(exr)xe 速度切向:(exr)=(e×r) 在绕e轴旋转一定角度θ之后,新 位置为: r=(re)e+cos Or, +sin (exr
• 设e为转轴的方向向量。刚体上的任 意一点的位置 r 在三个方向上分解： – 平行方向： – 垂直方向： – 速度切向： • 在绕 e 轴旋转一定角度q之后，新 位置为： 转动后刚体上某一点的 新位置 ( ) cos sin q q ⊥ r r e e r e r = + + || r r e e = ( )( ) ( ) r r r e e e r e ⊥ = − = ( ) ( ) = ⊥ e r e r e r o
转动的4元数描述 也可以用4元数来表示转动。 4元数是具有实部及3个虚数单位〔,k)虚部 的4元复数,表示为: q=n+xi+yj+Zk 其中虚数自身的乘积都是-1,可代表三维空 间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的 乘积(这里用*表示)满足矢量叉乘的规则: i*=j米=化米k=-1 i*j=k, j*k=i, k*i=j,j*i=-k, k*j=-i, i*k
• 也可以用4元数来表示转动。 • 4元数是具有实部及3个虚数单位(i, j, k) 虚部 的4元复数，表示为： • 其中虚数自身的乘积都是-1，可代表三维空 间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的 乘积（这里用 * 表示）满足矢量叉乘的规则： 转动的4元数描述 1, , , , , , i i j j k k i j k j k i k i j j i k k j i i k j = = = − = = = = − = − = − q n xi yj zk = + + +
四元数的运算规则 4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉 乘规则,因此4元数的乘法也同样不满足 交换律。但结合律和分配律都是满足的, 可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯 数n和矢量v两部分,运算结果为: g=n+(xi+y + zk)=n+v =n: number, (x,y,z):vector q1=h1+v1,q2=n2+v2,q=n=v q1*q2=n1n2+nv2+m2V1+1×12-v1V2,(q1*g2)=q2*q1 q1*q2-q2*q1=2V×2,V1*V2=V×V2-V1:V2
• 4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉 乘规则，因此4元数的乘法也同样不满足 交换律。但结合律和分配律都是满足的， 可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯 数n和矢量v两部分，运算结果为： 四元数的运算规则 * 1 1 1 2 2 2 * * * 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) : number, ( , , ) : vector , , , ( ) 2 , q n xi yj zk n v n x y z q n v q n v q n v q q n n n v n v v v v v q q q q q q q q v v v v v v v v = + + + = + = + = + = − = + + + − = − = = −