第十五章正交曲面坐标系 说明 ★本章计划讲授学时:4
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第十五章正交曲面坐标系 第十五章正交曲面坐标系 要能应用分离变量法,取决于两个条件:一个是所讨论的空间区域形状,一个是定 解问题的数学形式 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程,可以用 Helmholtz方程 F2u+k2u=o 统一描述它们的空间部分.这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的 对于所讨论的空间区域,总要适当地放置坐标架,使得区域的边界面与坐标面重 合,从而实现齐次边界条件的分离变量 如果我们所要讨论的空间区域,是圆柱形(包括它的特殊情形,二维平面上的圆形 区域)或球形,乃至其他更特别的形状,如果仍然选择直角坐标系,无论怎样放置 坐标架,总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合.因此,即使边界条件是齐 次的,也无法分离变量 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系 圆形区域,首选平面极坐标系 圆柱形区域,首选柱坐标系 球形区域,首选球坐标系 在这些坐标系下, Laplace算符的具体形式如何? Helmholtz方程是否可以分离变量?如何分离变量?
第十五章 正交曲面坐标系 第 1 页 第十五章 正交曲面坐标系 要能应用分离变量法，取决于两个条件：一个是所讨论的空间区域形状，一个是定 解问题的数学形式． 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程，可以用Helmholtz方程 ∇ 2 u + k 2 u = 0 统一描述它们的空间部分．这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的． 对于所讨论的空间区域，总要适当地放置坐标架，使得区域的边界面与坐标面重 合，从而实现齐次边界条件的分离变量． 如果我们所要讨论的空间区域，是圆柱形(包括它的特殊情形，二维平面上的圆形 区域)或球形，乃至其他更特别的形状，如果仍然选择直角坐标系，无论怎样放置 坐标架，总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合．因此，即使边界条件是齐 次的，也无法分离变量． 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系： • 圆形区域，首选平面极坐标系 • 圆柱形区域，首选柱坐标系 • 球形区域，首选球坐标系 在这些坐标系下，Laplace算符的具体形式如何？ Helmholtz方程是否可以分离变量？如何分离变量？
151正交曲面坐标系 §15.1正交曲面坐标系 作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广,可以定义曲面坐标系 x2=(x,y,2),x2=n(x,y,x),x3=(x,y,x) 它的坐标面是三组曲面 常数,x2=常 常数. 空间任意一点的坐标x2,x2,x3),就由过该点的三个坐标面决定,为了保证x2,x2和x3是独立 的,应当要求它们的 Jacobi行列式 axl arl a(1, 22,23)_ax2 ax2 ax2 d(, y ar dy O2/≠0 对于空间的任意一点,如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的,那么,这个坐标系就 称为正交曲面坐标系.例如,在直角坐标系中,过空间任意一点(x0,3o,20)的三个坐标面 就是互相垂直的 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系,当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 矢量来判断.更常用的办法②是计算出弧长③ dy -+d dy dT+ ax2 drd 其中 y ①这里的x2(=1,2,3)中,上标标记空间点的坐标(分量),并不表示方次 ②这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形 ③在微分几何中,更常略去式中的和号,而直接写成 按照 Einstein规则,此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标,一个是下指标)求和
§15.1 正交曲面坐标系 第 2 页 §15.1 正交曲面坐标系 作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x 1 , x2 , x3 }， x 1 = ξ(x, y, z), x 2 = η(x, y, z), x 3 = ζ(x, y, z), 它的坐标面是三组曲面 x 1 = 常数, x 2 = 常数, x 3 = 常数. 空间任意一点的坐标(x 1 , x2 , x3 )，就由过该点的三个坐标面决定．为了保证x 1 , x2和x 3是独立 的，应当要求它们的Jacobi行列式 ∂(x 1 , x2 , x3 ) ∂(x, y, z) ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x1 ∂x ∂x1 ∂y ∂x1 ∂z ∂x2 ∂x ∂x2 ∂y ∂x2 ∂z ∂x3 ∂x ∂x3 ∂y ∂x3 ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. 对于空间的任意一点，如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的，那么，这个坐标系就 称为正交曲面坐标系．例如，在直角坐标系中，过空间任意一点(x0, y0, z0)的三个坐标面 x = x0, y = y0, z = z0 就是互相垂直的． 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系，当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 法矢量来判断．更常用的办法② 是计算出弧长③ ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = µ ∂x ∂x1 dx 1 + ∂x ∂x2 dx 2 + ∂x ∂x3 dx 3 ¶2 + µ ∂y ∂x1 dx 1 + ∂y ∂x2 dx 2 + ∂y ∂x3 dx 3 ¶2 + µ ∂z ∂x1 dx 1 + ∂z ∂x2 dx 2 + ∂z ∂x3 dx 3 ¶2 = X i,j=1,2,3 gijdx i dx j , 其中 gij = gji = ∂x ∂xi ∂x ∂xj + ∂y ∂xi ∂y ∂xj + ∂z ∂xi ∂z ∂xj . ①这里的x i (i = 1, 2, 3)中，上标i标记空间点的坐标(分量) ，并不表示方次． ②这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形． ③在微分几何中，更常略去式中的和号，而直接写成 ds 2 = gijdx idx j . 按照Einstein规则，此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标，一个是下指标)求和．
151正交曲面坐标系 第3页 如果 则称此坐标系为正交曲线坐标系.9构成的矩阵G称为此空间的度规( metric). 例1柱坐标系,x=rcos0,y=rsin6,z=z, ds-= dx+dy+dz 所以,柱坐标系是正交曲面坐标系,g11=1,g22=r2,g33=1 例2球坐标系,x=rsinθcosd,y= rsin 0 sin g,z=rcosθ (sin 0 cos odr rcos 8 cos ode - sin 0 sin do) +(sin 0 sin ddr +rcos 0 sin de+rsin 0 cos odo)2 +(cos edr-rsin ede 球坐标系也是正交曲面坐标系 1,q2=r2,g33=r2sin2
§15.1 正交曲面坐标系 第 3 页 如果 gij = giiδij 则称此坐标系为正交曲线坐标系．gij构成的矩阵G称为此空间的度规(metric)． 例1 柱坐标系，x = r cos θ, y = r sin θ, z = z， ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (cos θdr − r sin θdθ) 2 + (sin θdr + r cos θdθ) 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2 . 所以，柱坐标系是正交曲面坐标系，g11 = 1, g22 = r 2 , g33 = 1． 例2 球坐标系，x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ， ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ − r sin θ sin φdφ) 2 + (sin θ sin φdr + r cos θ sin φdθ + r sin θ cos φdφ) 2 + (cos θdr − r sin θdθ) 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin2 θdφ 2 . 球坐标系也是正交曲面坐标系，g11 = 1, g22 = r 2 , g33 = r 2 sin2 θ．
152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 第4页 §152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 通过外微分法介绍正交曲线坐标系中 Laplace算符的一般形式 这种方法的优点在于它的协变性,即可以脱离开坐标系的具体定义,而得到最普遍 的表达式 作为最初步的介绍,略去数学上的严格定义,只给出有关的运算规则 外微分法则介绍外微分算符、*算符及楔积运算,以及微分形式的概念 外微分算符d.它作用在(标量)函数f上 得到的d∫称为一次微分形式(简称一次形式) 例3对于柱坐标系, 例4对于球坐标系 dr+ode 算法则1外微分算符d在不同坐标系中的表达式 af 次微分形式df给出的正是梯度grad∫≡Ⅴ∫的协变微分形式,{dx2,i=1,2,3}构 成一组正交基(正交标准基应该是√gndr2,i=1,2,3) 外微分算符d可以作用在p次微分形式a=∑andr1上,得到p+1)次微分形式: dn=d(∑dr)=∑∑ aidz a dz dx≡dx∧dx2∧…Ada2 运算∧称为楔积 运算法则2 dx Adx=-dxA dx 因此 dx2∧d 运算法则3」设a为次微分形式,月,7是q次微分形式 d(+)=dB+d?, d(a∧B)=(da)AB+(-)a∧(dB), d(da)=0
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 4 页 §15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 通过外微分法介绍正交曲线坐标系中Laplace算符的一般形式． 这种方法的优点在于它的协变性，即可以脱离开坐标系的具体定义，而得到最普遍 的表达式． 作为最初步的介绍，略去数学上的严格定义，只给出有关的运算规则． 外微分法则 介绍外微分算符、∗算符及楔积运算，以及微分形式的概念． 外微分算符d．它作用在(标量)函数f上， d : f 7→ df = X ∂f ∂xi dx i , 得到的df称为一次微分形式(简称一次形式)． 例3 对于柱坐标系， du = ∂u ∂r dr + ∂u ∂θ dθ + ∂u ∂z dz. 例4 对于球坐标系， du = ∂u ∂r dr + ∂u ∂θ dθ + ∂u ∂φdφ. 运算法则1 外微分算符d在不同坐标系中的表达式， df = X i ∂f ∂xi dx i = X i ∂f ∂yi dy i . 一次微分形式df给出的正是梯度grad f ≡ ∇f的协变微分形式, {dx i , i = 1, 2, 3}构 成一组正交基(正交标准基应该是√giidx i , i = 1, 2, 3)． 外微分算符d可以作用在p次微分形式α = PαIdx I 上，得到(p + 1)次微分形式： dα = d³X I αIdx I ´ = X i X I ∂αI ∂xi dx i ∧ dx I , 其中 dx I ≡ dx i1 ∧ dx i2 ∧ · · · ∧ dx ip . 运算∧称为楔积． 运算法则2 dx i ∧ dx j = −dx j ∧ dx i , 因此， dx i ∧ dx i = 0. 运算法则3 设α为p次微分形式，β, γ是q次微分形式， d(β + γ) = dβ + dγ, d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−) pα ∧ (dβ), d(dα) = 0