第十章6函数 说明 ★本章计划讲授学时:4 ★关于常微分方程的(reen函数问题,控 制在2学时左右
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第十章6函数 ★介绍一种新的“函数”,δ函数 ★δ函数是由物理学家P.A.M. Dirac首先引进的,在近代物理学中有着广泛的应用.它 可以用于描写物理学中的一切点量,例如点质量、点电荷、瞬时源等,物理图象清晰 ★在数学上,δ函数可以当作普通函数一样进行运算,如进行微分和积分变换,甚至应 用于求解微分方程,而且得到的结果和物理结论是一致的 运用δ函数,可以为我们处理有关的数学物理问题,带来极大的便利 ★δ函数是一类“奇怪”的函数,按照“古典”的数学概念是无法理解的.它的严格数学 理论,要涉及泛函分析的知识 ★本章将从物理学的直观出发,引进δ函数的概念,介绍它的最基本的知识及其初步应
✁✂ δ ✄ ☎ 1 ✆✝✞ δ ✟ ✠ F ✡☛☞✌✍✎ ✏ ✑✒✓✔ δ ✑✒✕ F δ ✑✒✖ ✗✘✙ ✚✛ P. A. M. Dirac ✜✢ ✣✤✎✔✥✦✧✘✙ ✚★✩✪ ✫✬✎✭✮✕✯ ✰ ✱✮✲✳ ✴✘✙ ✚★✎☞✵✶✷✔✸✹✶✺✷✻✶ ✼✽✻✾✿❀❁✔✘✙ ❂❃❄❅✕ F ✥✒ ✚❆✔ δ ✑✒✰ ✱❇❈❉❊✑✒☞❋✤●❍■✔✹ ✤●❏❑▲▼❑◆❖✔P◗✭ ✮✲❘❙❏❑❚❯✔❱❲❳❨✎❩❬▲✘✙❩❭✖ ☞❪✎✕ F ❍✮ δ ✑✒✔✰ ✱❫❴❵❛✙✩ ❜✎ ✒ ✚✘✙ ❝❞✔❡❢❣❤✎✐❥✕ F δ ✑✒✖☞ ❦ ✏ ❧♠✓ ✎ ✑✒✔♥♦ ✏♣q✓ ✎ ✒ ✚rs✖t✉✙❙✎✕✯ ✎✈✇✒ ✚ ✙ ❭✔① ②③✬✑❑④✎⑤⑥✕ F ⑦⑧⑨⑩✘✙ ✚✎❶❷ ❸❹✔✣✤ δ ✑✒✎ rs✔✡☛✯ ✎❺❻⑦✎⑤⑥③❼❽ ❾✭ ✮ ✕
810.16函数 作为δ函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 图10.1单位点电荷的电荷密度 如图10.1,设在无穷直线上0<x<l区间内有均匀的电荷分布,总电量为1个单位,在区间 外无电荷,则电荷密度函数为 <x< 对于任意一个在-/2<x<l/2内连续的函数∫(x),根据中值定理,有 f(x)61(x)dx=f(1),-1/2≤6≤1/2 实际上,积分限不一定是±∞.只要a<-1/2,b>1/2,就有 f(x)6(x)dx=f(6l),-1/2≤6≤1/2. 作为极限情形,当l→0时,就得到点电荷的密度函数,记为 0,当x<0; 当x=0 而且,对于任意一个在x=0点连续的函数f(x),有 f(x)6(x)dx=f(0) 实际上,积分限不一定是±∞.只要a<0,b>0,就有 f(x)6(x)dx=f(0) 显然,还可以把区间内的电荷分布函数修改为其他任意连续函数,再重复上面的讨论 作为它们的极限情形,我们总会得到同样的结果
§10.1 δ ✄ ☎ 2 §10.1 δ ❿ ➀ ❈❫ δ ✑✒✎ ✘✙➁➂✔✢➃❭✶❀ ✻ ✸✹✶ ✼✽✎ ✼✽❑➄ ➅➆✑✒✎ ✒ ✚➇➈✕❫ ➉➊➋➌✔➍①➃❭☞➎➏➐✕ ➑ 10.1 ➒➓➔→➣↔→➣↕➙ ➛➜ 10.1 ✔➝➞➟➠➡➢➤ 0 < x < l ➥➦ ➧➨➩➫➭ ➯➲➳➵✔➸ ➯➺➻ 1 ➼➽➾✔➞ ➥➦ ➚➟ ➯➲✔➪ ➯➲➶➹➘➴➻ δl(x) = 0, ➷ x < − l 2 ; 1 l , ➷ − l 2 < x < l 2 ; 0, ➷ x > l 2 . ➬➮➱✃❐➼ ➞ −l/2 < x < l/2 ➧❒❮➭➘➴ f(x) ✔❰Ï ÐÑÒÓ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. ÔÕ➤✔Ö➳×Ø❐ ÒÙ ±∞ ✕ÚÛ a < −l/2, b > l/2 ✔Ü➨ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. Ý ➻Þ×ßà✔➷ l → 0 á✔Üâãä ➯➲➭➶➹➘➴✔å➻ δ(x) = lim l→0 δl(x) = 0, ➷ x < 0; ∞, ➷ x = 0; 0, ➷ x > 0. æç✔➬➮➱✃❐➼ ➞ x = 0 ä❒❮➭➘➴ f(x) ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0). ÔÕ➤✔Ö➳×Ø❐ ÒÙ ±∞ ✕ÚÛ a < 0, b > 0 ✔Ü➨ Z b a f(x)δ(x)dx = f(0). èé✔ê✰ ✱ë ìíî✎ ✼✽❑➄✑✒ïð❫ ❼ñòóôõ✑✒✔ö÷ø❆ ù✎➃❭✕ ❈❫✯❵ ✎❣ú➏➐✔❴❵ûü❳❨ ý❋✎❩❬✕
6函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系,或者说, 它给出的对应关系 6(x) 当x≠0 在通常意义下是没有意义的 6函数表示的是(任意阶可微)函数序列的极限.它所给出的“函数值”只是在积分运算中 才有意义 f(x)6(x)dx=f(0),特别是 6(x)dx=1 ★这个积分应该理解为 f(r)8(a)dr=lim/ f(a)6u(a)dr 从计算的角度来看,引进δ函数的目的,即在于简化对函数序列进行微积分计算、而后取极 限的过程.由于函数序列是由具有足够好的连续性质的函数组成的,所以,在计算中可以把δ函 数当作(任意阶)连续可微的函数处理,甚至可以定义6函数的导数6(x):对于在x=0点连续并 有连续导数的任意函数f(x),有 //(a'(z)dr=f(tr)o(a) - -/ f(r)8(a)dr f(0) 这里,就把6函数当作普通的连续函数一样进行分部积分 ★δ函数并不是给出普通的数值之间的对应关系,也并不像普通函数那样具有唯一、确定的表 达式 ★凡是具有 lim/ f(r)(r)dr= f(o) l→0 性质的函数序列(x),或是具有 f(ar)8n (r)dr= f(o) 性质的函数序列6n(x),它们的极限都是6函数
✁✂ δ ✄ ☎ 3 F δ ➘➴✔þ ØÙÿ✃✁✂➭➘➴✄ ☎þ✆ ➨✝✞➘➴✟ ✠ ✡ ➺☛➦➭➬☞✌✍✔✎✏✑✔ ☎ ✝✞➭ ➬☞✌✍ δ(x) = ( 0, ➷ x 6= 0; ∞, ➷ x = 0 ➞ ÿ✃✁✂Ù✆ ➨ ✃✁ ➭ ✕ F δ ➘➴ ✒✓➭Ù (➱✃✔✕✖) ➘➴✗✘➭Þ×✕☎ ✙ ✝✞➭ ✏➘➴Ñ✓ÚÙ➞ Ö➳✚✛ Ð ✜ ➨ ✃✁ ✕ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0), ✢✣Ù Z ∞ −∞ δ(x)dx = 1. F ✤➼Ö➳ ☞✥Ó✦➻ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx. ✧★✛➭✩➹✪✫✔✬✭ δ ➘➴➭ ✮➭✔✯➞➮✰✱➬ ➘➴✗✘✭✲✖ Ö➳ ★ ✛✻ æ✳✴Þ ×➭✵✶✕✷➮ ➘➴✗✘Ù ✷✸➨✹✺✻➭❒❮✼✽➭➘➴✾✿➭✔✙❀✔➞★ ✛ Ð✕❀❁ δ ➘ ➴➷Ý (➱✃✔ ) ❒❮✕✖➭➘➴❂Ó✔❃❄✕❀ Ò✁ δ ➘➴➭❅➴ δ 0 (x) ✄ ➬➮➞ x = 0 ä❒❮þ ➨❒❮❅➴➭➱✃➘➴ f(x) ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx = f(x)δ(x) ∞ −∞ − Z ∞ −∞ f 0 (x)δ(x)dx = −f 0 (0). ✤❆✔Ü❁ δ ➘➴➷Ý❇ ÿ➭❒❮➘➴❐❈ ✭✲➳❉Ö➳ ✕ F δ ➘➴þ ØÙ✝✞❇ ÿ➭➴Ñ☛➦➭➬☞✌✍✔❊þ Ø❋ ❇ ÿ➘➴● ❈✸ ➨❍ ❐ ✻ ■ Ò➭✒ ❏❑✕ F ▲Ù✸ ➨ lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(0) ✼✽➭➘➴✗✘ δl(x) ✔✎ Ù✸ ➨ limn→∞ Z ∞ −∞ f(x)δn(x)dx = f(0) ✼✽➭➘➴✗✘ δn(x) ✔☎▼➭Þ×◆Ù δ ➘➴✕
图10.26函数的通近序列举例 有关δ函数的等式,也应当从积分意义下去理解.例如 r6(x) 6(-x)=0(x) 6(-x)=-6(x) ax)=6(x), g(x)6(x)=g(0)6(x) 就分别应该理解为 f(r)rb(r)dr =0, f(r)8(-c)dr f(r)8(a)dx, f(ar)8(-c)dr f(a)8(ar)dz, f(r)6(ar)dr=/f(a)25(r)dr, ★6函数还可以表示成初等函数的微商.由于 因此 6(x)= dn(ar)
§10.1 δ ✄ ☎ 4 n √ π e −n2x 2 n π 1 1 + n2x2 sin nx πx ➑ 10.2 δ ❖P↔◗❘❙❚❯❱ F ➨ ✌ δ ➘➴➭❲ ❑ ✔❊☞ ➷ ✧ Ö➳ ✃✁✂❳Ó✦ ✕❨➛ xδ(x) = 0, δ(−x) = δ(x), δ 0 (−x) = −δ 0 (x), δ(ax) = 1 |a| δ(x), g(x)δ(x) = g(0)δ(x) Ü➳✣ ☞✥Ó✦➻ Z ∞ −∞ f(x)xδ(x)dx = 0, Z ∞ −∞ f(x)δ(−x)dx = Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx, Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (−x)dx = − Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx, Z ∞ −∞ f(x)δ(ax)dx = Z ∞ −∞ f(x) 1 |a| δ(x) dx, Z ∞ −∞ f(x)g(x)δ(x)dx = Z ∞ −∞ f(x) g(0)δ(x) dx. F δ ➘➴❩ ✕❀ ✒✓✿❬❲➘➴➭✖❭✕✷➮ Z x −∞ δ(x)dx = η(x), ❪❫✔ δ(x) = dη(x) dx .