152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 “*”算符是一个线性变换,它把p次微分形式变换为相应的n-p次微分形式 √ det g1,dr 其中(i,D)构成(1,2,3)的偶排列,detG表示矩阵G的行列式值 运算法则4 et gdr∧dx-∧dx (vdet GdrA"Adx)=1 注意√ det gdr1dx2dx3正好是通常的三维空间的体积元 例5柱坐标系,detG=r2, d6∧dz+ dz∧dr+r-dr∧d6. 例6球坐标系,detG=r4sin26, sin6ad6∧dφ+ sin b-do∧dr+ d是旋度curl的协变微分形式,这可以从它作用在一次微分形式a1dx1+a2dx2+ a3dx3的结果 d(aldr+ a2d r-+adr") r2 ar3 看出 d*是散度div的协变微分形式 "d"(adz+a2dz2+adz) 1a/√aetG 正交曲线坐标系中的 Laplace算符d·d是 Laplace算符V2≡V.V≡ div grad的协变微 分形式
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 5 页 “∗”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 ∗ dx i = √ det G gii dx I , ∗ dx I = gii √ det G dx i , 其中(i, I)构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4 ∗ 1 = √ det Gdx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 , ∗ ( √ det Gdx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 ) = 1. 注意 √ det Gdx 1dx 2dx 3正好是通常的三维空间的体积元． 例5 柱坐标系，det G = r 2， ∗ du = r ∂u ∂r dθ ∧ dz + 1 r ∂u ∂θ dz ∧ dr + r ∂u ∂z dr ∧ dθ. 例6 球坐标系，det G = r 4 sin2 θ， ∗ du = r 2 sin θ ∂u ∂r dθ ∧ dφ + sin θ ∂u ∂θ dφ ∧ dr + 1 sin θ ∂u ∂φdr ∧ dθ. ∗d是旋度curl的协变微分形式，这可以从它作用在一次微分形式a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3的结果 ∗ d(a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3 ) = µ ∂a3 ∂x2 − ∂a2 ∂x3 ¶ g11 √ det G dx 1 + µ ∂a1 ∂x3 − ∂a3 ∂x1 ¶ g22 √ det G dx 2 + µ ∂a2 ∂x1 − ∂a1 ∂x2 ¶ g33 √ det G dx 3 看出． ∗d ∗是散度div的协变微分形式， ∗ d ∗ (a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3 ) = 1 √ det G ∂ ∂x1 ³√ det G g11 a1 ´ + 1 √ det G ∂ ∂x2 ³√ det G g22 a2 ´ + 1 √ det G ∂ ∂x3 ³√ det G g33 a3 ´ . 正交曲线坐标系中的Laplace算符 ∗d ∗d是Laplace算符∇2 ≡ ∇ · ∇ ≡ div grad的协变微 分形式．
152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 第6页 例7柱坐标系, a/ auu d du= or or dr n A dz+a02 d6∧dz∧dr dz a dr a de d"d a2u a2m 因此, Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 1a2a2 例8球坐标系 dr∧d∧dd d∧d∧dr+ lo a dr ade = r2 Or(ror)+r2 sin ae sin 80)+rasin 0 002 所以, Laplace算符在球坐标系下的表达式是 0(2 72 ar ar 0
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 6 页 例7 柱坐标系， d ∗ du = ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ dr ∧ dθ ∧ dz + 1 r ∂ 2u ∂θ2 dθ ∧ dz ∧ dr + r ∂ 2u ∂z2 dz ∧ dr ∧ dθ, ∗ d ∗ du = 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 . 因此，Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 ∇ 2 ≡ 1 r ∂ ∂r µ r ∂ ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + ∂ 2 ∂z2 . 例8 球坐标系， d ∗ du = ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ sin θdr ∧ dθ ∧ dφ + ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 sin θ ∂ 2u ∂φ2 dφ ∧ dr ∧ dθ, ∗ d ∗ du = 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 . 所以，Laplace算符在球坐标系下的表达式是 ∇ 2 ≡ 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂ ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂ ∂θ ¶ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2 ∂φ2
15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 选定坐标系以后,在求解定解问题时,往往还需要考虑两个问题. 坐标架如何放置,包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择,以最大限度地 利用问题中的对称性,使求解过程得到充分的简化 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开 坐标架的不同放置,数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换 在这些线性变换下, Laplace算符的形式如何变化,上一节已经作出了原则的回 答: Laplace算符的形式具有不变性 ★ Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置,涉及到的是平移变换, 容易看出 因此, Laplace算符在平移变换下是不变的,即 An2+a2、 02a2a2 ★ Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向,涉及到坐标系之间的正交变换 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x,y,2}和{a,y,2} a12a13 所谓正交变换,指的是变换矩阵 A=a21a22a23 a31a32a33 满足正交关系 aikaik
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 第 7 页 §15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 选定坐标系以后，在求解定解问题时，往往还需要考虑两个问题． • 坐标架如何放置，包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择，以最大限度地 利用问题中的对称性，使求解过程得到充分的简化 • 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开． 坐标架的不同放置，数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换． 在这些线性变换下，Laplace算符的形式如何变化，上一节已经作出了原则的回 答：Laplace算符的形式具有不变性． F Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置，涉及到的是平移变换， x 0 = x − a, y 0 = y − b, z0 = z − c. 容易看出， ∂ 2 ∂x02 = ∂ 2 ∂x2 , ∂ 2 ∂y02 = ∂ 2 ∂y2 , ∂ 2 ∂z02 = ∂ 2 ∂z2 . 因此，Laplace算符在平移变换下是不变的，即 ∂ 2 ∂x02 + ∂ 2 ∂y02 + ∂ 2 ∂z02 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 . F Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向，涉及到坐标系之间的正交变换． 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x, y, z}和{x 0 , y0 , z0 }， x y z = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x 0 y 0 z 0 . 所谓正交变换，指的是变换矩阵 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 满足正交关系 X k=1,2,3 aikajk = X k=1,2,3 akiakj = δij