第十七章柱函数 说明 ★本章计划讲授学时:7 ★第10-11页(关于J(2)及N(2)的零点 为教学参考资料,不讲授
3 ✁ F ✂☎✄☎✖✟✗✘✆☎✝✏✞☛✠☛✙ 7 F ✚ 10–11 ✛ (✜✣✢ Jν(z) ✤ Nν(z) ✥✣✦✣✧) ★✘✩ ✞✘✪✟✫✟✬✮✭✏✯✱✰✌✆☛✝
第十七章柱函数 第十七章柱函数 将 Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时,曾经得到常微分方程 l d dr(r) r dr ]+12--m 如果k2-≠0,作变换x=Vk2-Ar,y(x)=R(r),则方程变为(u阶) Bessel方程 d dy (r) y(x)=0 r dr 其中 Bessel方程有两个奇点:x=0和x=∞;x=0是正则奇点,x=∞是非正则 奇点 在正则奇点x=0处,指标p=土v 第六章中已经求出了 Bessel方程在x=0点的正则解. 下面扼要地罗列一下已经得到的结果 当v≠整数时, Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 如果v=整数n,则Jn(x)和J-n(x)线性相关 J-n(x)=(-)Jn(x), 这时, Bessel方程的第一解仍是Jn(x),第二解则可取为 Nn(a)=-Jn(a)In (n-k-1)!/x)2k-n 中(m+k+1)+(k+1)(2) 2k+n k!(k+n)! 并且约定,当n=0时,需去掉表达式中第二项的有限和
第十七章 柱 函 数 第 1 页 第十七章 柱 函 数 将Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时，曾经得到常微分方程 1 r d dr · r dR(r) dr ¸ + h k 2 − λ − µ r 2 i R(r) = 0. 如果k 2 − λ 6= 0，作变换x = √ k 2 − λr, y(x) = R(r)，则方程变为(ν阶)Bessel方程 1 x d dx · x dy(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ y(x) = 0, 其中µ = ν 2． Bessel方程有两个奇点：x = 0和x = ∞；x = 0是正则奇点，x = ∞ 是非正则 奇点． 在正则奇点x = 0处，指标ρ = ±ν． 第六章中已经求出了Bessel方程在x = 0点的正则解． 下面扼要地罗列一下已经得到的结果． 当ν 6= 整数时，Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 J±ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k ± ν + 1) ³ x 2 ´2k±ν . 如果ν = 整数 n，则Jn(x)和J−n(x)线性相关， J−n(x) = (−) n Jn(x), 这时，Bessel方程的第一解仍是Jn(x)，第二解则可取为 Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! ³ x 2 ´2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! £ ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1)¤ ³ x 2 ´2k+n , 并且约定，当n = 0时，需去掉表达式中第二项的有限和．
171 Bessel函数的基本性质 第2页 §171 Bessel函数的基本性质 Bessel程中的v2,即,通常是由本征值问题 p9=0, 中(0)=重(2),更(0)=更(2丌) 决定的,u=m2,m=0,1,2 因此,本节中将着重介绍整数阶 Bessel函数的性质.下面先列出以前已经得到过的一些结 果(图171中给出了前几个 Bessel函数的图形) l0(x) 2(x) J3(x) J4(x) 图171 Bessel函数 1.J-n(x)和Jn(x)线性相关, 证明见6.4节. 2.Jn(x)的奇偶性 Jn(-x)=(-)"Jn(x) 可以从u=n时的表达式直接看出 3.Jn(x)的生成函数 ∑Jn(x)t",0<<∝ n=一 证明见5.4节例7 整数阶 Bessel函数的其他一些性质
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 2 页 §17.1 Bessel函数的基本性质 Bessel方程中的ν 2，即µ，通常是由本征值问题 Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π) 决定的，µ = m2 , m = 0, 1, 2, · · · ． 因此，本节中将着重介绍整数阶Bessel函数的性质．下面先列出以前已经得到过的一些结 果(图17.1中给出了前几个Bessel函数的图形)． 图17.1 Bessel函数 1. J−n(x)和Jn(x)线性相关， J−n(x) = (−) n Jn(x). 证明见6.4节． 2. Jn(x)的奇偶性， Jn(−x) = (−) n Jn(x). 可以从ν = n时的表达式直接看出． 3. Jn(x)的生成函数 exp · x 2 µ t − 1 t ¶¸ = X∞ n=−∞ Jn(x)t n , 0 < |t| < ∞. 证明见5.4节例7． 整数阶Bessel函数的其他一些性质：
171 Bessel函数的基本性质 第3页 4.Jn(x)的积分表示 Jn(a) cos(rsin 8-ne) 证在生成函数表达式 exp=(t-D)l-2 Ja(aje 中令t=ef isin e ∑Jn(a)e 这就是函数esn°的 Fourier展开式(复数形式).由 Fourier展开的系数公式,就能证得 1 Jn(r)=2T_ 2 cos(a sin 8-n0)+isin(a sin 0-ne)de 在右端积分的被积函数中,虚部是奇函数,所以积分为0;实部是偶函数,所以就能直接化为 上面的积分表示.口 如果将被积函数中的整数n改为任意复数〃,这样得到的并不是函数J(x)的积分表 5.如果在生成函数表达式中令t 还可以得到 Jn(r)i =J()+∑PJn(x)m0+J-)-"e10 =l(2)+∑[PJ,(xk+(-y-J(a=- =J(x)+2∑i"Jn()cosn 特别是,如果再令x=kr,于是就有 0()+2∑iJn(kr)c 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量,并且把k理解为波数,同时取相位的时间因 子为e-t,则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分:左端是沿正x轴方向传
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 3 页 4. Jn(x)的积分表示 Jn(x) = 1 π Z π 0 cos(x sin θ − nθ)dθ. 证 在生成函数表达式 exp · x 2 µ t − 1 t ¶¸ = X∞ n=−∞ Jn(x)t n 中令t = eiθ， 1 2 µ t − 1 t ¶ = 1 2 ¡ e iθ − e −iθ ¢ = i sin θ e ix sin θ = X∞ n=−∞ Jn(x)einθ . 这就是函数e ix sin θ的Fourier展开式(复数形式)．由Fourier展开的系数公式，就能证得 Jn(x) = 1 2π Z π −π e ix sin θ ³ e inθ´∗ dθ = 1 2π Z π −π [cos(x sin θ − nθ) + i sin(x sin θ − nθ)] dθ. 在右端积分的被积函数中，虚部是奇函数，所以积分为0；实部是偶函数，所以就能直接化为 上面的积分表示． 如果将被积函数中的整数n改为任意复数ν，这样得到的并不是函数Jν(x)的积分表 示． 5. 如果在生成函数表达式中令t = ieiθ，还可以得到 e ix cos θ = X∞ n=−∞ Jn(x)in e inθ = J0(x) + X∞ n=1 h i n Jn(x)einθ + J−n(x)i−n e −inθi = J0(x) + X∞ n=1 h i n Jn(x)einθ + (−) n i −n Jn(x)e−inθi = J0(x) + 2 X∞ n=1 i n Jn(x) cos nθ. 特别是，如果再令x = kr，于是就有 e ikr cos θ = J0(kr) + 2 X∞ n=1 i n Jn(kr) cos nθ. 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量，并且把k理解为波数，同时取相位的时间因 子为e −iωt，则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分：左端是沿正x轴方向传
171 Bessel函数的基本性质 第4页 播①的平面波,因为它的等相位面是 kr cos6-ut=常数 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波(理由见下面的性质8).因此,这个展开式的意 义就是平面波按柱面波展开 以上介绍的都是整数阶 Bessel函数的性质.下面再介绍几个性质,对任意阶 Bessel函数都 成立 6. Bessel函数J(x)和J-(x)的 Wronsk行列式 Jv(a)J-v(a) W[J(x),J-u(x)≡ sin丌 Jy(a) J-v(a) 证根据 Bessel方程 r dr de 1 d r d J-p(x)=0 以xJ-(x),xJ(x)分别乘这两个方程,相减即得 j_(d dJv(a-j,(a da[da d dJ-v(a) {x[-()()-J()J-()}=0 所以 )J-v(r)-J-v(a)Jl(r)=WJ, 积分常数C就是J(x)J(x)-J-u(x)J(x)中x-1项的系数 2k+1 上HI(++1) (u+1) (u+2)(2 J(x)=r(v+1)2 r(u+2)2 () k!r(k-+1) (_+1) (-+1)2(2 ①传播方向当然与相位的时间因子的规定有关.如果取时间因子为e,那么这个平面波就是向负x轴方向传播
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 4 页 播①的平面波，因为它的等相位面是 kr cos θ − ωt = 常数; 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波(理由见下面的性质8)．因此，这个展开式的意 义就是平面波按柱面波展开． 以上介绍的都是整数阶Bessel函数的性质．下面再介绍几个性质，对任意阶Bessel函数都 成立． 6. Bessel函数Jν(x)和J−ν(x)的Wronski行列式 W [Jν(x), J−ν(x)] ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Jν(x) J−ν(x) J 0 ν(x) J0 −ν(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − 2 πx sin πν. 证 根据Bessel方程 1 x d dx · x dJν(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ Jν(x) = 0, 1 x d dx · x dJ−ν(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ J−ν(x) = 0. 以xJ−ν(x), xJν(x)分别乘这两个方程，相减即得 J−ν(x) d dx · x dJν(x) dx ¸ − Jν(x) d dx · x dJ−ν(x) dx ¸ = d dx n x £ J−ν(x)J0 ν(x) − Jν(x)J0 −ν(x) ¤ o = 0. 所以 Jν(x)J0 −ν(x) − J−ν(x)J0 ν(x) ≡ W [Jν(x), J−ν(x)] = C x . 积分常数C就是Jν(x) J0 −ν(x) − J−ν(x) J0 ν(x)中x −1项的系数． Jν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) ³ x 2 ´2k+ν = 1 Γ (ν + 1) ³ x 2 ´ν − 1 Γ (ν + 2) ³ x 2 ´ν+2 + · · · J 0 ν(x) = 1 Γ (ν + 1) ν 2 ³ x 2 ´ν−1 − 1 Γ (ν + 2) ν + 2 2 ³ x 2 ´ν+1 + · · · J−ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k − ν + 1) ³ x 2 ´2k−ν = 1 Γ (−ν + 1) ³ x 2 ´−ν − 1 Γ (−ν + 2) ³ x 2 ´−ν+2 + · · · J 0 −ν(x) = 1 Γ (−ν + 1) −ν 2 ³ x 2 ´−ν−1 − 1 Γ (−ν + 2) −ν + 2 2 ³ x 2 ´−ν+1 + · · · ①传播方向当然与相位的时间因子的规定有关．如果取时间因子为e iωt，那么这个平面波就是向负x轴方向传播 的．