第四讲( Cauchy积分公式 第四讲( Cauchy积分公式 41 Cauchy积分公式 有界区域的 Cauchy积分公式设f(z)是区域G中的 单值解析函数,G的边界C是分段光滑曲线,a为G内 其中积分路线沿C的正向 证在G内作圆|z-a<r(见图41,保持圆周|z-a|=r 在G内),则根据复连通区域的 Cauchy定理,有 f(z) 图41有界区域的 Cauchy积分公式 此结果应与r的大小无关,故可令r→0.因为 lim(z-a) f(a) f(a) 由引理31,就证得
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 1 ✠ ✡ ☛☞ (✌) Cauchy ✍✎✏✑ §4.1 Cauchy ✒✓✔✕ ✖✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ✤ f(z) ✥✦✧ G ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰ G ✩✱✲ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰ a ✹ G ✺✻ ✼✰✽ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★✿✳❀✸❁ C ✩❂ ❃❄ ❅ ❆ G ✺ ❇ ❈ |z−a| < r(❉❊ 4.1 ✰❋● ❈❍ |z−a| = r ❆ G ✺) ✰✽■❏❑▲▼✦✧✩ Cauchy ◆❖✰P I C f(z) z − a dz = I |z−a|=r f(z) z − a dz, ◗ 4.1 ❘❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴ r ✩❵❛❜❝✰❞❡❢ r → 0 ❄❣✹ limz→a (z − a) f(z) z − a = f(a), ❤✐❖ 3.1 ✰❥❦❧ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a).
§41 cauchy积分公式 无界区域的 Cauchy积分公式 对于无界区域,需要假设f(2)在简单闭合围道C上及C CR 外(包括无穷远点)单值解析.类似地,现在计算 其中a为C外一点,积分路线C的走向是顺时针方向,即绕 无穷远点的正向,如图4.2 在C外再作一个以原点为圆心,R为半径的大圆C 这样,对于C和CR所包围的复连通区域,根据有界区域的 Cauchy积分公式,有 图42无界区域的 Cauchy积分公式 f(2) 这里积分路线CR的走向是逆时针方向.只要R足够大,这个结果当然就与R的具体大小无关 于是,可令R 而得到 dz= f(a) 如果∫(x)满足第三讲引理3.2的要求,则可以计算出沿大圆CR的积分的极限值, [2n=a K=:m2·J(2f(∞) 因 a2=/(0-k 特别当K=0时,就得到 无界区域的 Cauchy积分公式:如果∫(z)在简单闭合围道C上及C外解析,且当z→∞ 时,f(z)一致地趋于0,则 Cauchy积分公式 f(a)= 仍然成立,此处a为C外一点,积分路线C为顺时针方向
Wu Chong-shi §4.1 Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 2 ✠ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ♥♦❜✲✦✧✰♣qr✤ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③ (④⑤❜⑥⑦✼ ) ✪✫✬✭❄⑧⑨⑩✰❶❆❷❸ 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✩❹ ❃✥❺❻❼❽ ❃✰❾❿ ❜⑥⑦✼ ✩❂ ❃✰➀❊ 4.2 ❄ ❆ C ③➁❇ ✻➂➃➄✼ ✹ ❈➅✰ R ✹➆➇✩❵ ❈ CR ✰ ➈➉✰♥♦ C ➊ CR ➋④ ✈ ✩ ❑▲▼✦✧✰■❏P✲✦✧✩ Cauchy ✿✳➌➍✰P ◗ 4.2 ➎❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ 1 2π i I CR f(z) z − a dz + 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a), ➈➏✿✳❀✸ CR ✩❹ ❃✥➐❻❼❽ ❃❄➑q R ➒➓❵✰➈ ➂ ❭❪➔→❥❴ R ✩➣↔❵❛❜❝✰ ♦ ✥ ✰❡❢ R → ∞ ✰↕❧➙ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a) − lim R→∞ 1 2π i I CR f(z) z − a dz . ➀❪ f(z) ➛➒➜➝➞✐ ❖ 3.2 ✩ q➟✰✽❡➃ ❷❸➠❁❵ ❈ CR ✩✿✳✩➡➢✫✰ lim R→∞ 1 2π i I CR f(z) z − a dz = K, K = limz→∞ z · f(z) z − a = f(∞). ❣ ❬✰ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a)−K. ➤➥➔ K = 0 ❻ ✰❥❧➙➦ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ➦➀❪ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③✬✭✰➧➔ z → ∞ ❻ ✰ f(z) ✻➨⑩➩♦ 0 ✰✽ Cauchy ✿✳➌➍ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz ➫→➭➯✰❬➲ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✹❺❻❼❽ ❃❄
第四讲() Cauchy积分公式 第3页 §42解析函数的高阶导数 从 Cauchy积分公式,可以推断出一个重要结论:如果f(z) 在石中解析,则在G内f(2)的任何阶导数f(n)(2)均存在, 并且 f() (-z)n+1 其中C是G的正向边界,z为G内任意一点,如图4.3 证首先求f(2).因为 2ih C-a-h c-2 图4.3高阶导数公式 取极限h→0,左端即为f(z),而右端被积函数的极限为∫()/(-2)2.为了证明在积分号下求 极限合法,不妨考察 f(sds f(eds f(s)dc (-z-h)(-2)J。(-2)2 (-z-h)(-2) 由于f()在C上连续,故在C上有|f(川≤M,设z到C的最短距离为6,l为C的长度,则有 fe(-z-h)(-2) 因此,积分号下求极限合法 f(2) 同样,可以求出 f(2)= f() h h)2(-2)2 f(cds f() 如此继续,即可求出f(n)().口 这个结果说明,一个复变函数,只要在一个区域中一阶导数处处存在(因此是区域内的解析 画数),则它的任何阶导数都存在,并且都是这个区域内的解析函数 在实变函数中并非如此.我们并不能由f(x)的存在推断出f"(x)的存在 复变函数中f(2)在一区域中处处可导(即解析)是一个很高的要求.实变函数中f(x)的存 在只包含当x在数轴上(一定区间内)变化时对f(x)的要求,而复变函数中f()的存在则 包含了在二维平面区域上对f(z)的要求
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 3 ✠ §4.2 ➳➵➸➺➻➼➽➾➺ ➚ Cauchy ✿✳➌➍✰❡ ➃➪➶➠ ✻➂➹q❭➘➦➀❪ f(z) ❆ G ★ ✬✭✰✽❆ G ✺ f(z) ✩➴➷➬➮✯ f (n) (z) ➱✃❆✰ ❐➧ f (n) (z) = n! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) n+1 dζ, ✾ ★ C ✥ G ✩❂ ❃✱✲✰ z ✹ G ✺➴❒✻✼✰➀❊ 4.3 ❄ ❅ ❮❰➟ f 0 (z) ❄❣✹ f(z + h) − f(z) h = 1 2π i 1 h I C f(ζ) ζ − z − h − f(ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ, ◗ 4.3 ÏÐÑÒ❨❩ Ó ➡➢ h → 0 ✰ÔÕ❾ ✹ f 0 (z) ✰↕ÖÕ×✿ ✮✯✩➡➢✹ f(ζ)/(ζ − z) 2 ❄✹Ø❦ Ù❆ ✿✳ÚÛ➟ ➡➢✉Ü✰ÝÞßà I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) − I C f(ζ) dζ (ζ − z) 2 = h I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) 2 . ❤♦ f(ζ) ❆ C ① ▲á✰❞❆ C ① P |f(ζ)| ≤ M ✰ ✤ z ➙ C ✩âãäå✹ δ ✰ l ✹ C ✩æç✰✽P I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ − I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ ≤ |h| · Ml δ 2(δ − |h|) → 0, ❣ ❬✰✿✳ÚÛ➟ ➡➢✉Ü✰ f 0 (z) = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ. è➉✰❡➃ ➟➠ f 00(z) = lim h→0 f 0 (z + h) − f 0 (z) h = lim h→0 1 2π i 1 h I C f(ζ) (ζ − z − h) 2 − f(ζ) (ζ − z) 2 dζ = lim h→0 1 2π i I C 2ζ − 2z − h (ζ − z − h) 2(ζ − z) 2 f(ζ)dζ = 2! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 3 dζ. ➀❬éá✰❾❡➟➠ f (n) (z) ❄ F ➈ ➂ ❭❪ê Ù✰✻➂❑ë✮✯✰➑q❆ ✻➂✦✧ ★✻➬➮✯➲➲✃ ❆ (ìíî ïð ñòóô õö) ✰✽÷✩➴➷➬➮✯ø✃ ❆✰❐➧ø✥ ➈ ➂✦✧ ✺✩✬✭✮✯❄ F ❆ùë✮✯ ★ ❐ú➀❬❄ûü❐Ýý ❤ f 0 (x) ✩✃❆ ➪➶➠ f 00(x) ✩✃❆ ❄ F ❑ë✮✯ ★ f(z) ❆ ✻✦✧ ★ ➲➲❡➮ (❾✬✭) ✥✻➂þÿ✩q➟❄ ùë✮✯ ★ f 0 (x) ✩✃ ❆➑ ④ ➔ x ❆✯✁ ① (✻◆✦✂ ✺) ë✄ ❻ ♥ f(x) ✩ q➟✰↕❑ë✮✯ ★ f 0 (z) ✩✃❆✽ ④Ø ❆☎✆✝✞✦✧①♥ f(z) ✩ q➟❄
§4.3 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 第4页 843 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 在上一节关于解析函数高阶导数公式的证明过程中,f(z)的解析性只是体现在:(1)f(z)可 用 Cauchy积分公式表示;(2)f(z)在C上连续.因此,重复上面的步骤,就可以证明:在一条分 段光滑的(闭合或不闭合)曲线C上连续的函数()所构成的积分 f(a) 1 (S) (称为 Cauchy型积分)是曲线外点z的解析函数,f'(2)可通过积分号下求导而得到 2Pilospards f()=p 例计算积分 f(2)=1 1(d,1≠1 解这是一个 Cauchy型积分.因为在||=1上*=1/,故 f(a) 当|2|>1时,此积分可以用 Cauchy积分公式计算 f(a) tla 当0<||<1时 l「1 f(a) 容易看出,此结果对于z=0仍成立.综合以上结果,就有 )=m lz>1, Ial 由此可见,f(z)在|≠1处解析,尽管〈*在全平面不解析
Wu Chong-shi §4.3 Cauchy ✟☎✆✠✡☛☞☎✆✌✍✎✏ ✟ 4 ✠ §4.3 Cauchy ✑✒✓✒✓✔✕✒✓➻➳➵✖ ❆ ①✻✗❝ ♦✬✭✮✯ÿ➬➮✯ ➌➍✩❦ Ù✘✙ ★ ✰ f(z) ✩ ✬✭✚➑ ✥↔❶❆➦ (1) f(z) ❡ ✛ Cauchy ✿✳➌➍✜✢✣ (2)f(z) ❆ C ① ▲á❄❣❬✰➹ ❑ ① ✞ ✩✤✥✰❥❡➃ ❦ Ù➦❆ ✻✦✳ ✴✵✶✩ (t✉✧Ýt✉) ✷✸ C ① ▲á✩ ✮✯ φ(ζ) ➋★ ➭ ✩✿✳ f(z) = 1 2π i Z C φ(ζ) ζ − z dζ (✩✹ Cauchy ✪✛✜) ✥ ✷✸③✼ z ✩ ✬✭✮✯✰ f 0 (z) ❡▼✘ ✿✳ÚÛ➟ ➮ ↕❧➙✰ f (p) (z) = p! 2π i Z C φ(ζ) (ζ − z) p+1 dζ. ✫ ❷❸✿✳ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ, |z| 6= 1. ✬ ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳❄❣✹❆ |ζ| = 1 ① ζ ∗ = 1/ζ ✰❞ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ(ζ − z) dζ. ➔ |z| > 1 ❻ ✰❬✿✳❡ ➃ ✛ Cauchy ✿✳➌➍❷❸✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ 1 ζ − z dζ = − 1 z . ➔ 0 < |z| < 1 ❻ ✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 z 1 ζ − z − 1 ζ dζ = 0. ✮✯✰➠✰❬❭❪♥♦ z = 0 ➫➭➯❄✱ ✉ ➃①❭❪✰❥P f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ = − 1 z , |z| > 1, 0, |z| < 1. ❤❬❡❉ ✰ f(z) ❆ |z| 6= 1 ➲✬✭✰✲✳ ζ ∗ ❆✴✝✞Ý✬✭❄
第四讲() Cauchy积分公式 第5页 利用 Cauchy型积分,就可以推出含参量积分的解析性 定理42设 1.f(t,2)是t和z的连续函数,t∈园a,可,z∈d 2.对于[a,b上的任何t值,∫(t,z)是石上的单值解析函数 则F(2)=/f(,2)d在G内是解析的,且 (z) af(t, 2) de dt 证因为f(t,2)在G上解析,故对于G内的任何一点2, Cauchy积分公式成立, f(t, 2) f(t,) 代入F(z)的定义,并交换积分次序(因为f(t,2)连续),得 dt f(t, s) 这是一个 Cauchy型积分,f(t,z)dt连续,故F(2)为G内的解析函数,且 f(t, S)dt ds [x9出=B 显然,这个结论也适用于(3,这时应当要求C是分段光滑曲线,当在C上变动 z∈石时,f(t,2)是t和z的连续函数.证明的方法与上面相同
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 5 ✠ ✵✛ Cauchy ✭✿✳✰❥❡➃➪➠ ✶✷✸✛✜✚✬✹✺ ❄ ✻✼ 4.2 ✤ 1. f(t, z) î t ✽ z ò✾✿õö✰ t ∈ [a, b] ✰ z ∈ G ✰ 2. ❀❁ [a, b] ❂ò❃❄ t ❅ ✰ f(t, z) î G ❂ò❆❅óôõö✰ ✽ F(z) = Z b a f(t, z)dt ❆ G ✺✥✬✭✩ ✰➧ F 0 (z) = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ❅ ❣✹ f(t, z) ❆ G ① ✬✭✰❞♥♦ G ✺✩➴➷✻✼ z ✰ Cauchy ✿✳➌➍➭➯✰ f(t, z) = 1 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ. ❇❈ F(z) ✩◆❉ ✰❐❊❋✿✳●❍ (❣✹ f(t, z) ▲á) ✰❧ F(z) = Z b a dt 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C 1 ζ − z "Z b a f(t, ζ)dt # dζ. ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳✰ Z b a f(t, z)dt ▲á✰❞ F(z) ✹ G ✺✩✬✭✮✯✰➧ F 0 (z) = 1 2π i I C 1 (ζ − z) 2 "Z b a f(t, ζ)dt # dζ = Z b a 1 2π i I C f(t, ζ) (ζ − z) 2 dζ dt = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ■→✰➈ ➂ ❭➘❏❑✛♦ Z C f(t, z)dt ❄ ➈ ❻ ❫➔q➟ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰➔ t ❆ C ① ë▲✰ z ∈ G ❻ ✰ f(t, z) ✥ t ➊ z ✩ ▲á✮✯❄ ❦ Ù✩❽Ü❴① ✞▼è ❄