第二十二章数学物理方程综述 说明 ★本章讲授学时可根据实际情况安排
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§221二阶线性偏微分方程的分类 第2页 §221二阶线性偏微分方程的分类 在本课程的数学物理方程部分中,总共讨论了三种类型偏微分方程 波动方程 热传导方程 ·稳定问题,如 Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz方程等 定解问题的解.这三类方程,描写了不同的物理过程,它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如,见13.6~13.8各节的讨论).在数学上,这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见124节) 阶线性偏微分方程,是否就只有这三种类型? 回答是:对于两个自变量的情形,一定如此 下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例,作一个典型讨论.对于更多个自变量的情 形,问题要复杂一些,但讨论的基本方法是一样的 两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是 Ox2+2 Ox +ea+ fu+g=0, 其中a,b,c,d,e,∫和g是x,y的已知函数,通常假设它们是连续可微的.显然,函数a,b,c中 至少有一个不恒为0,否则,就不成其为二阶偏微分方程 首先考虑a和(或)c不恒为0的情形.不妨设a≠0.这时可作变换 E=p(a, y) 为了保证和n仍然是独立变量,这一组变换必须满足 0(x.0≠O 在这一组变换下,有 霾一次 dr an ar a ar a =0+ab a- ax2 aE2f ax Ox aEOn f(ar)ant ax2 a ar2 a a-u_apau/ap a-u ab ad-4 ardy ar dy af2(ax dy aEan ar dy an2 a- a-0 du ay as dray an D-()+物买m+()+赛+物
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 2 页 §22.1 二阶线性偏微分方程的分类 在本课程的数学物理方程部分中，总共讨论了三种类型偏微分方程 • 波动方程 • 热传导方程 • 稳定问题，如Laplace方程，Poisson方程，Helmholtz方程等 定解问题的解．这三类方程，描写了不同的物理过程，它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如，见13.6 ∼ 13.8各节的讨论)．在数学上，这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见12.4节)． 二阶线性偏微分方程，是否就只有这三种类型？ 回答是：对于两个自变量的情形，一定如此． 下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，作一个典型讨论．对于更多个自变量的情 形，问题要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的． 两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是： a ∂ 2u ∂x2 + 2b ∂ 2u ∂x∂y + c ∂ 2u ∂y2 + d ∂u ∂x + e ∂u ∂y + fu + g = 0, (z) 其中a, b, c, d, e, f和g是x, y的已知函数．通常假设它们是连续可微的．显然，函数a, b, c中， 至少有一个不恒为0，否则，就不成其为二阶偏微分方程． 首先考虑a和(或)c不恒为0的情形．不妨设a 6≡ 0．这时可作变换 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y). 为了保证ξ和η仍然是独立变量，这一组变换必须满足 ∂(ξ, η) ∂(x, y) 6= 0. 在这一组变换下，有 ∂u ∂x = ∂ξ ∂x ∂u ∂ξ + ∂η ∂x ∂u ∂η = ∂φ ∂x ∂u ∂ξ + ∂ψ ∂x ∂u ∂η , ∂u ∂y = ∂φ ∂y ∂u ∂ξ + ∂ψ ∂y ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x2 = ³ ∂φ ∂x ´2 ∂ 2u ∂ξ2 +2∂φ ∂x ∂ψ ∂x ∂ 2u ∂ξ∂η + ³ ∂ψ ∂x ´2 ∂ 2u ∂η2 + ∂ 2φ ∂x2 ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂x2 ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x∂y = ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂ 2u ∂ξ2 + ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y + ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´ ∂ 2u ∂ξ∂η + ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y ∂ 2u ∂η2 , + ∂ 2φ ∂x∂y ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂x∂y ∂u ∂η , ∂ 2u ∂y2 = ³ ∂φ ∂y ´2 ∂ 2u ∂ξ2 +2∂φ ∂y ∂ψ ∂y ∂ 2u ∂ξ∂η + ³ ∂ψ ∂y ´2 ∂ 2u ∂η2 + ∂ 2φ ∂y2 ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂y2 ∂u ∂η
§221二阶线性偏微分方程的分类 第3页 所以,方程(型)变为 2+2B0a au Fu+G A +2b 物+物物)+物物 C=a( φ+c0+d2 y ay ay 容易证明 lo ay do ay dy dy a O(5,m) (x,y) 为了书写简便起见,令 du 则方程(#)变为 次2+2B +更(s, 0. (##) 这样,我们就希望,通过适当选择变换,使得A,B,C中有一个或几个为0,达到使方程简化的 目的 为此,要介绍一个定理 定理如果φ(x,y)=C是方程 da + c(dr) (a) 的一般积分,则=叭(x,y是方程 do do 的一个特解
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 3 页 所以，方程(z)变为 A ∂ 2u ∂ξ2 + 2B ∂ 2u ∂ξ∂η + C ∂ 2u ∂η2 + D ∂u ∂ξ + E ∂u ∂η + F u + G = 0, (#) 其中， A = a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + c ³ ∂φ ∂y ´2 , B = a ∂φ ∂x ∂ψ ∂x + b ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y + ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´ + c ∂φ ∂y ∂ψ ∂y , C = a ³ ∂ψ ∂x ´2 + 2b ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y + c ³ ∂ψ ∂y ´2 , D = a ∂ 2φ ∂x2 + 2b ∂ 2φ ∂x∂y + c ∂ 2φ ∂y2 + d ∂φ ∂x + e ∂φ ∂y , E = a ∂ 2ψ ∂x2 + 2b ∂ 2ψ ∂x∂y + c ∂ 2ψ ∂y2 + d ∂ψ ∂x + e ∂ψ ∂y , F = f, G = g. 容易证明 B 2 − AC = ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y − ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´2 ¡ b 2 − ac¢ (>) = ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(ξ, η) ∂(x, y) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¡ b 2 − ac¢ . 为了书写简便起见，令 Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ ≡ D ∂u ∂ξ + E ∂u ∂η + F u + G, 则方程(#)变为 A ∂ 2u ∂ξ2 + 2B ∂ 2u ∂ξ∂η + C ∂ 2u ∂η2 + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. (##) 这样，我们就希望，通过适当选择变换，使得A, B, C中有一个或几个为0，达到使方程简化的 目的． 为此，要介绍一个定理． 定理 如果φ(x, y) = C是方程 a ¡ dy ¢2 − 2bdydx + c ¡ dx ¢2 = 0 (a) 的一般积分，则ξ = φ(x, y)是方程 a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + c ³ ∂φ ∂y ´2 = 0 (b) 的一个特解．
§221二阶线性偏微分方程的分类 第4页 证因为(x,y)=C,故有 axd+ady=0即dy=-a/ydr 这里,不妨设0/0y≠0.代入方程(a),就有 a(dy ).-2bdydr + c(dr) +cl(dr m)+2mm+(m)](m)=0 所以(b)成立.定理得证.口 这个定理告诉我们,如果想要选择变换ξ=φ(x,y)使A=0,或是选择变换η= v(x,y)使C=0,就可以通过求解常微分方程 ①+C=0 的解来得到.在一般情况下,这样能得到两个无关解,称为偏微分方程(为的特征线 在具体求解方程(c)时,又需要区别下列三种情形 1.b2-ac>0.这时,从方程(c)可以求得两个实函数解 φ(x,y)=C1及v(x,y)=C2 也就是说,偏微分方程(呀有两条实的特征线.于是,令 s=叭(x,y),n=v(x,y), 就可以使得A=C=0.同时,根据(米)式,就可以断定B一定不为0.所以,方程(##)就变 成 +(次)=0 或者进一步作变换 5+T 于是有 所以 又可以进一步将方程化为 这种类型的方程称为双曲型方程.波动方程就属于这种类型
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 4 页 证 因为φ(x, y) = C，故有 ∂φ ∂xdx + ∂φ ∂y dy = 0 即 dy = − ∂φ/∂x ∂φ/∂y dx. 这里，不妨设∂φ/∂y 6= 0．代入方程(a)，就有 a ¡ dy ¢2 − 2bdydx + c ¡ dx) 2 = h a ³ − ∂φ/∂x ∂φ/∂y ´2 − 2b ³ − ∂φ/∂x ∂φ/∂y ´ + c i¡ dx ¢2 = h a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + ³ ∂φ ∂y ´2 i³ dx ∂φ/∂y ´2 = 0, 所以(b)成立．定理得证． 这个定理告诉我们，如果想要选择变换ξ = φ(x, y)使A = 0，或是选择变换η = ψ(x, y)使C = 0，就可以通过求解常微分方程 a µ dy dx ¶2 − 2b dy dx + c = 0 或 dy dx = b a ± 1 a p b 2 − ac (c) 的解来得到．在一般情况下，这样能得到两个无关解，称为偏微分方程(z) 的特征线． 在具体求解方程(c)时，又需要区别下列三种情形： 1. b 2 − ac > 0. 这时，从方程(c)可以求得两个实函数解 φ(x, y) = C1 及 ψ(x, y) = C2, 也就是说，偏微分方程(z)有两条实的特征线．于是，令 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y), 就可以使得A = C = 0．同时，根据(>)式，就可以断定B一定不为0．所以，方程(##) 就变 成 ∂ 2u ∂ξ∂η + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. (M) 或者进一步作变换 ρ = ξ + η, σ = ξ − η, 于是有 ∂ ∂ξ = ∂ ∂ρ + ∂ ∂σ , ∂ ∂η = ∂ ∂ρ − ∂ ∂σ . 所以 ∂ 2u ∂ξ∂η = ∂ 2u ∂ρ2 − ∂ 2u ∂σ2 , 又可以进一步将方程化为 ∂ 2u ∂ρ2 − ∂ 2u ∂σ2 + Φ1 ³ ρ, σ, u, ∂u ∂ρ , ∂u ∂σ ´ = 0. 这种类型的方程称为双曲型方程．波动方程就属于这种类型．
§221二阶线性偏微分方程的分类 2.b2-ac<0.这时,可以重复上面的讨论,只不过得到的(x,y)和(x,y)是一对共 轭的复函数,或者说,偏微分方程(的两条特征线都不是实的.于是 n=v(a, y) 是一对共轭的复变量.这样也能够得到以复变量和为自变量的方程(△).进一步引进两个新 的实变量 P=8+, i(-n) 于是 09.0 所以 方程(△)又可以进一步化为 + 这种类型的方程称为椭圆型方程.显然, Laplace方程、 Poisson方程和 Helmholtz方程都属于 这种类型 3.b2-ac=0.这时,方程(c)一定有重根 dr 因而只能求得一个解,例如,o(x,y)=C.作变换￡=φ(x,y)就可以使A=0.但是, 由(来)式可以断定,一定有B2-AC=0,这意味着B也一定为0.所以,完全可以任意选取另 一个变换,n=v(x,y),只要它和=φ(x,引)彼此独立、即 ≠0 即可.这样,方程(##)就化为 +更(5,n 0 dn2 这种类型的方程称为抛物型方程.热传导方程就属于这种类型 以上的讨论是在α和c不恒为0的前提下进行的.在适当选择变换后,总可以使 得A,B,C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0 而且,事实上,如果再作进一步的变换,还可以把不为0的系数变为1或-1. 当A=C=1,B=0时,方程是椭圆型 A=-C=士1,B=0时,方程为双曲型 A=B=0,C=1或A=1,B=C=0是,方程为抛物型 如果a和c恒为0.那么,一定有b≠0.这正是双曲型方程
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 5 页 2. b 2 − ac < 0. 这时，可以重复上面的讨论，只不过得到的φ(x, y) 和ψ(x, y)是一对共 轭的复函数，或者说，偏微分方程(z)的两条特征线都不是实的．于是 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y) 是一对共轭的复变量．这样也能够得到以复变量ξ和η为自变量的方程(M)．进一步引进两个新 的实变量 ρ = ξ + η, σ = i¡ ξ − η ¢ , 于是 ∂ ∂ξ = ∂ ∂ρ + i ∂ ∂σ , ∂ ∂η = ∂ ∂ρ − i ∂ ∂σ . 所以 ∂ 2u ∂ξ∂η = ∂ 2u ∂ρ2 + ∂ 2u ∂σ2 , 方程(M)又可以进一步化为 ∂ 2u ∂ρ2 + ∂ 2u ∂σ2 + Φ2 ³ ρ, σ, u, ∂u ∂ρ , ∂u ∂σ ´ = 0. 这种类型的方程称为椭圆型方程．显然，Laplace方程、Poisson方程和Helmholtz 方程都属于 这种类型． 3. b 2 − ac = 0. 这时，方程(c)一定有重根 dy dx = b a , 因而只能求得一个解，例如，φ(x, y) = C．作变换ξ = φ(x, y)就可以使A = 0．但是， 由(>)式可以断定，一定有B 2 − AC = 0，这意味着B也一定为0．所以，完全可以任意选取另 一个变换，η = ψ(x, y)，只要它和ξ = φ(x, y)彼此独立、即 ∂(ξ, η) ∂(x, y) 6= 0 即可．这样，方程(##)就化为 ∂ 2u ∂η2 + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. 这种类型的方程称为抛物型方程．热传导方程就属于这种类型． 以上的讨论是在a和c不恒为0的前提下进行的．在适当选择变换后，总可以使 得A, B, C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0． 而且，事实上，如果再作进一步的变换，还可以把不为0的系数变为1 或−1． 当A = C = 1, B = 0时，方程是椭圆型； A = −C = ±1, B = 0时，方程为双曲型； A = B = 0, C = 1或A = 1, B = C = 0是，方程为抛物型． 如果a和c恒为0．那么，一定有b 6≡ 0．这正是双曲型方程．