第二讲初等函数和多值函数 §21初等函数 ★幂函数zn 指数函数e2 三角函数sinz,cosz,… ★双曲函数 sinh z, cosh z 它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广 ·如何将相应实变函数推广到复数域 这些函数的解析性 ·这些函数作为复变函数所特有的性质
Wu Chong-shi §2.1 ✁ ✂ ✄ ☎ 20 ✆ ✝✞✟ ✠✡☛☞✌✍✎☛☞ §2.1 ✏ ✑ ✒ ✓ F ✔✕✖ z n F ✗✖✕✖ e z F ✘✙✕✖ sin z, cos z, · · · F ✚ ✛✕✖ sinh z, cosh z,· · · F · · · · · · ✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✕✖✭✮✖✯ ✰✱✲✳✴ • ✵✶✷✩✪✫✬✕✖✲✳✸✮✖✯ • ✹✺✕✖✱✻✼✽ • ✹✺✕✖✾✿✮✬ ✕✖❀❁❂✱✽❃
★幂函数zn ·当n=0,1,2,…时,zn在全平面解析,且当n=1,2,…时,z=∞是奇点 -3,…时,z除z=0外处处解析,在z=∞也解析 ·由幂函数还可以进一步定义(n次)多项式(函数) Pn(2)=an2+an-121-1+…+a1z+a0 和有理函数 R(x)= Pn(2) 其中Pn(2)和Qm(2)分别是n次和m次多项式
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 21 ✆ F ❊❋● z n • ❍ n = 0, 1, 2, · · · ■❏ z n ✭❑▲▼✻✼❏◆❍ n = 1, 2, · · · ■❏ z = ∞ ★❖P✴ • ❍ n = −1, −2, −3, · · · ■❏ z n ◗ z = 0 ❘❙❙✻✼❏✭ z = ∞ ❚✻✼❏ (z n ) 0 = nzn−1 . • ❯✔✕✖❱✤✥❲❳❨❩❬ (n ❭)❪❫❴(✕✖) Pn(z) = anz n + an−1z n−1 + · · · + a1z + a0 ❵ ❛❜❋● R(z) = Pn(z) Qm(z) , ❝ ✰ Pn(z) ❵ Qm(z) ❞❡★ n ❭ ❵ m ❭❢❣❤✴
★指数函数e2 图21(a)指数函数实部 (b)指数函数虚部 ·“指数函数相乘等于指数相加”这个运算法则,对于复指数函数仍然成立 e21,e2=e1+1y1.e2+iy2=e2 +x2,e(y+y2)=c(x1+x2)+1(+y2)=e21+22 ·e2在全平面解析 ·e2在无穷远点无定义.例如,当z沿正实轴、负实轴或虚轴趋于∞时,e2逼近 不同的值.所以,z=∞是指数函数e2的奇点 ·复指数函数的特有性质:周期性,其周期为2mi e2+2ni=e+i(y+27)=e" (cos(y+27)+isin(y +27) e [cosy +ising=etly=e2
Wu Chong-shi §2.1 ✁ ✂ ✄ ☎ 22 ✆ F ✐●❋● e z e z = ex+iy = ex (cos y + i sin y). ❥ 2.1 (a) ❦❧♠❧♥♦ (b) ❦❧♠❧♣♦ • q✗✖✕✖✩rst✗✖✩✉✈✹✇①②③④❏⑤t ✮✗✖✕✖⑥⑦✧⑧✴ e z1 · e z2 = ex1+iy1 · e x2+iy2 = ex1 · e x2 · e iy1 · e iy2 = ex1+x2 · e i(y1+y2) = e(x1+x2)+i(y1+y2) = ez1+z2 . • e z ✭❑▲▼✻✼❏ (ez ) 0 = ez . • e z ✭⑨⑩❶P ⑨ ❩❬✴ ❷ ✵❏❍ z ❸❹✫❺❻❼✫❺❽❾❺❿t ∞ ■❏ e z ➀➁ ➂➃✱➄✴❀✥ ❏ z = ∞ ★ ✗✖✕✖ e z ✱ ❖P✴ • ✮✗✖✕✖✱❁❂✽❃➅➆➇✽❏❝ ➆➇✿ 2π i ❏ e z+2π i = ex+i(y+2π) = ex [cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)] = ex [cos y + i sin y] = ex+iy = ez
★三角函数sinz,cosz 复三角函数sinz,cosz可以用复指数函数定义, 10 图22(a)正弦函数实部 (b)正弦函数虚部 图2.3(a)余弦函数实部 (b)余弦函数虚部 ·sinz,cosz在全平面解析 (co 2=0是它们的唯一奇点 ·sinz和cosz都是周期函数,周期为2π ·sinz和cosz的模可以大于1 -1.1752012 el =1.5430806
Wu Chong-shi ❄❅❆ ✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 23 ✆ F ➈➉❋● sin z, cos z, · · · ✮✘✙✕✖ sin z, cos z ✤✥➊✮✗✖✕✖❩❬❏ sin z = e iz − e −iz 2i , cos z = e iz + e−iz 2 . ❥ 2.2 (a) ➋➌♠❧♥♦ (b) ➋➌♠❧♣♦ ❥ 2.3 (a) ➍➌♠❧♥♦ (b) ➍➌♠❧♣♦ • sin z, cos z ✭❑▲▼✻✼❏ (sin z) 0 = cos z, (cos z) 0 = − sin z. • z = ∞ ★✜✢✱➎❳❖P✴ • sin z ❵ cos z ✣★➆➇✕✖❏➆➇✿ 2π ✴ • sin z ❵ cos z ✱➏✤✥➐t 1 ✴ i sin i = e −1 − e 1 2 = −1.1752012 · · ·, cos i = e −1 + e1 2 = 1.5430806 · · ·
其他三角函数,tanz,cotz,secz,cscz可以用sinz和cosz定义,形式和实数时一样, CsC 2 根据这些定义,容易证明,实三角函数的各种恒等式对于复三角函数仍然成立 ★双曲函数 sinh z, cosh z, 双曲函数 sinha, cosh也是通过复指数函数定义的 sinh sinh tanh cosh coth 2 sech z csch z= sinh z ·双曲函数和三角函数可以互化 cosh z= cos i tanh z=-i tan iz 因此,双曲函数的性质完全可以由三角函数推出 ·周期性,双曲函数 sinh z, cosh z的周期是2r ·导数公式 (sinh z)=cosh z, (cosh z)= sinh z,(tanh z)= sech z
Wu Chong-shi §2.1 ✁ ✂ ✄ ☎ 24 ✆ ❝➑✘✙✕✖❏ tan z, cot z,sec z, csc z ✤✥➊ sin z ❵ cos z ❩❬❏➒❤❵✫ ✖■❳➓❏ tan z = sin z cos z , cot z = cos z sin z , sec z = 1 cos z , csc z = 1 sin z . ➔→✹✺❩❬❏➣↔↕ ➙❏✫ ✘✙✕✖✱➛➜➝s ❤⑤t ✮✘✙✕✖⑥⑦✧⑧✴ F ➞➟❋● sinh z, cosh z, · · · ✚ ✛✕✖ sinh z, cosh z ❚ ★➠➡✮✗✖✕✖❩❬✱✴ sinh z = e z − e −z 2 , cosh z = e z + e−z 2 , tanh z = sinh z cosh z , coth z = cosh z sinh z , sech z = 1 cosh z , csch z = 1 sinh z . • ✚ ✛✕✖❵ ✘✙✕✖✤✥➢➤ sinh z = −i sin iz, cosh z = cos iz, tanh z = −i tan iz. ➥➦❏✚ ✛✕✖✱✽❃➧❑✤✥ ❯✘✙✕✖✲➨✴ • ➆➇✽❏✚ ✛✕✖ sinh z, cosh z ✱➆➇★ 2π i ➩ • ➫✖➭❤ (sinh z) 0 = cosh z, (cosh z) 0 = sinh z, (tanh z) 0 = sech2 z