第五章解析函数的局域展开 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★§5.8为教学参考资料,不讲授
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F §5.8 ☛☞✟✌✍✎ ✏ ✑✒✝✞
学时头教 参考 贫 料,不析函数的局域性展开 §5.1解析函数的 Taylor展开 个幂函数在它的收敛圊内代表一个解析函数 如何把一个解析函数表示成幂级数? 定理5.1( Taylor)设函数f(2)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何z 点,f(2)可用幂级数展开为(或者说,f(2)可在a点展开为幂级数) f(2)=∑an(2 其中 f() C取逆时针方向 证根据 Cauchy积分公式,对于圆C内任意一点z,有 )=如 f() 但是, 此级数在/r<1的区域中一致收敛,因此可以逐项积分, ( n=0 (S-a n+ds f(n)(a) 说明 1.定理的条件可以放宽,只要f(2)在C内解析即可 ①以后的围道积分,除特别说明的以外,均为逆时针方向
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 1 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛ §5.1 ✜✢✣✤✥ Taylor ✦✧ ★✩✪✫✬✭✮✯✰✱ ✲✳✴✵★✩✶✷✫✬✸ ✹✺✻★✩✶✷✫✬✵✼✽✪✾✬ ✿ ❀❁ 5.1 (Taylor) ❂❃❄ f(z) ❅❆ a ❇ ❈❉❊ ❈ C ❋● C ❍■❏❑▲▼◆ ❈❋❊❖P z ◗ ❑ f(z) ❘❙❚❯❄❱❲❇ (❳❨❩❑ f(z) ❘❅ a ◗ ❱❲❇❚❯❄) f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ❬ ❭ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! , C ❪❫❴❵❛ ❜ ❝ ✸ ❞ ❡❢ Cauchy ❣❤✐❥❑▼◆ ❈ C ❋❖❦❧◗ z ❑♠ f(z) = 1 2π i I C f(ζ) ζ − z dζ. ♥♦❑ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a X∞ n=0 z − a ζ − a n . ♣ ❯❄❅ z − a ζ − a ≤ r < 1 ❊qr ❭ ❧st✉❑✈♣ ❘❆✇①❣❤❑ f(z) = 1 2π i I C "X∞ n=0 (z − a) n (ζ − a) n+1 # f(ζ)dζ = X∞ n=0 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ (z − a) n = X∞ n=0 an(z − a) n , an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! . ❩ ②③ 1. ④⑤❊⑥⑦❘❆⑧⑨❑⑩❶ f(z) ❅ C ❋■❏❷❘✸ ❝ ❸❹❺❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄❺❸➅❿➆➇➈➉➊➋➌➍
51解析函数的 Taylor展开 这时对于给定的z,总可以以α为圆心作一圆C",把z包围在圆内.f(z)在C"内及 上是解析的 2.这里 Taylor展开的形式和实变函数中的 Taylor公式相同,但是条件不同 ★在实变函数中,f(x)的任何阶导数存在,还不足以保证 Taylor公式存在(或 Taylor公式收 敛) ★在复变函数中,解析的要求(一阶导数存在)就足以保证 Taylor级数收敛 3.收敛范围函数∫(z)的奇点完全决定了 Taylor级数的收敛半径.设b是f(2)的离a点最 近的奇点,则一般说来,收敛半径R=|-a ∫(z)在圆|z-a<|-叫内处处解析,∫(z)可以在圆内展开为 Taylor级数(或者说 Taylor级数在圆|z-a<阝b-叫内收敛)·这就是说,f(z)的 Taylor级数收敛半径不小 于|-a 收敛半径一般也不能大于阝-a.否则,b点就包含在收敛圆内,因而幂级数在收敛 圆内处处解析,与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点,见5.5节) 1+z2 ∑(-)"a z|< 函数的奇点z=±就决定了 Taylor级数的收敛半径R=|±i=1 而在实数范围内, Taylor级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论 )nx2n,-1<x<1 1+ 就难以理解收敛半径为何是1,因为函数1/(1+x2)在整个实轴上都是连续可导、并且任何阶导数 都是存在的! 4. Taylor展开的唯一性给定一个在圆C内解析的函数,则它的 Taylor展开是唯一的,即 展开系数an是完全确定的 证假定有两个 Taylor级数在圆C内都收敛到同一个解析函数f(z) f(2)=a0+a1(2-a)+a2(2-a)2+…+an(z-a)+ a+a1(z-a)+a2(2-a)2+…+aln(z-a)+ 取极限z 则由于级数在C内的任一闭区域中一致收敛,故有 逐项微商,再取极限z→a,又得
§5.1 ✄☎✆✝✞ Taylor ☛☞ ✌ 2 ✍ ➎➏➐➑➒➓✯ z ❑ ➔→ ➣➣ a ↔ ✲↕➙★ ✲ C 0 ❑✻ z ➛➜✭ ✲✳✸ f(z) ✭ C 0 ✳➝ C 0 ➞➟✶✷✯✸ 2. ➠➡ Taylor ❱❲❊➢❥➤➥➦❃❄ ❭ ❊ Taylor ✐❥➧➨❑♥♦⑥⑦➩➨✸ F ❅➥➦❃❄ ❭ ❑ f(x) ❊❖P➫➭❄➯❅❑➲➩➳❆➵➸ Taylor ✐❥➯❅ (❳ Taylor ✐❥t ✉) ✸ F ❅➺➦❃❄ ❭ ❑■❏❊❶➻ (❧➫➭❄➯❅) ➼➳❆➵➸ Taylor ❯❄t✉✸ 3. ➽➾➚➪ ❃❄ f(z) ❊➶◗➹➘➴④➷ Taylor ❯❄❊t✉➬➮✸❂ b ♦ f(z) ❊➱ a ◗✃ ❐ ❊➶◗ ❑▲❧❒❩❮❑t✉➬➮ R = |b − a| ✸ f(z) ✭ ✲ |z − a| < |b − a| ✳❰❰✶✷❑ f(z) → ➣✭ ✲✳ÏÐ↔ Taylor ✾✬ (ÑÒÓ❑ Taylor ✾✬✭ ✲ |z − a| < |b − a| ✳✰✱) ✸➎Ô➟Ó❑ f(z) ✯ Taylor ✾✬✰✱ÕÖ×Ø ➑ |b − a| ✸ ✰✱ÕÖ★ÙÚ×ÛÜ➑ |b − a| ✸ÝÞ❑ b ß Ô ➛à✭✰✱ ✲✳❑áâ✪✾✬✭✰✱ ✲✳❰❰✶✷❑ã b ß↔äß✯åæ çè (é ê b ß➟→ëäß❑ì 5.5 í) ✸ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ❃❄❊➶◗ z = ±i ➼ ➴ ④➷ Taylor ❯❄❊t✉➬➮ R = | ± i| = 1 ✸ î ❅➥❄ï ð❋❑ Taylor ❯❄❊t✉➬➮ñ❃❄òóôõ❊ö÷➼ø❆ùú✸ 1 1 + x 2 = X∞ n=0 (−) nx 2n , −1 < x < 1, ➼ø❆⑤■t✉➬➮❇P♦ 1 ❑✈❇❃❄ 1/(1 + x 2 ) ❅ûü➥ý❍þ♦ÿ ❘➭✁ ✂✄❖P➫➭❄ þ ♦ ➯❅❊ ☎ 4. Taylor ✆✝✞✟✠✡ ☛④❧ü❅ ❈ C ❋■❏❊❃❄❑▲☞❊ Taylor ❱❲♦✌ ❧❊❑❷ ❱❲÷❄ an ♦➹➘✍ ④❊✸ ❞ ✎ ④♠✏ü Taylor ❯❄❅ ❈ C ❋þt✉✑➨❧ü■❏❃❄ f(z) ❑ f(z) = a0 + a1(z − a) + a2(z − a) 2 + · · · + an(z − a) n + · · · = a 0 0 + a 0 1 (z − a) + a 0 2 (z − a) 2 + · · · + a 0 n (z − a) n + · · · . ❪✒✓ z→a ❑▲ ✔◆❯❄❅ C ❋❊❖❧✕qr ❭ ❧st✉❑✖♠ a0 = a 0 0 . ✇①✗✘❑✙❪✒✓ z → a ❑✚✛ a1 = a 0 1
展开的唯一性给它 如此继续,即可证得 an,n=0,1,2, Taylor开的唯一性告诉我们: 不论用什么方法,得到的f(2)在同一个圆内的 Taylor展开是唯一的.因此,不一定要用求 导数的办法定展开系数 ★如果在同一点展开的两个 Taylor级数相等,则可以逐项比较系数 必须是在同一点展开的两个 Taylor级数相等,才可以逐项比较系数. 同一个函数在不同点展开得到的两个 Taylor级数,即使有公共的收敛区域,也不能直 接比较展开系数
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 3 ✍ ✜♣✢❑❷❘➸✛ an = a 0 n , n = 0, 1, 2, · · · . Taylor ❱❲❊✌ ❧ò✣✤✥✦③ F ➩ú❙✧★❛✩❑✛✑❊ f(z) ❅➨❧ü ❈❋❊ Taylor ❱❲♦✌ ❧❊✸✈ ♣ ❑➩❧④❶❙➻ ➭❄❊✪✩④❱❲÷❄✸ F ✜✫ ❅➨❧◗ ❱❲ ❊✏ü Taylor ❯❄➧✬❑▲❘❆✇① ✭✮÷❄✸ • ✯✰♦ ❅➨❧◗ ❱❲❊✏ü Taylor ❯❄➧✬❑✱❘❆✇① ✭✮÷❄✸ • ➨❧ü❃❄❅➩➨◗ ❱❲✛✑❊✏ü Taylor ❯❄❑❷✲♠✐✳❊t✉qr❑✴ ➩✵✶ ✷ ✭✮❱❲÷❄✸
52m级讲法举例 参考 5.2 Taylor级数求法举例 求 Taylor级数的方法很难一一罗列,这里只介绍一些普通常见的方法 基本公式 e2=1+x++…++ n=0 -)n2n+1 2=6(2n+1) 2|<1 n=0 ★对于其他函数,总是尽量利用这些基本公式 1+z2 有理函数总可以用部分分式的方法化为更简单的形式 3z+222 1-2 z2+2∑(2)n 有些函数可以表示成更简单的函数的导数或积分,从而可以容易地求出其 Taylor级数, (n+1)z,|z|< 如果函数可以表示成两个(或几个函数的乘积,而每一部分的 Taylor晨开比较容易求出时, 则可采用级数相乘的方法 2k.)2 k=0 <
§5.2 Taylor ✸ ✝✹✺✻✼ ✌ 4 ✍ §5.2 Taylor ✽✤✾✿❀❁ ➻ Taylor ❯❄❊❛✩❂ø❧❧❃❄✸➠➡⑩❅❆❧❇❈❉❊❋❊❛✩✸ F ●❍✐❥③ e z = 1 + z + z 2 2! + · · · + z n n! + · · · = X∞ n=0 z n n! , |z| < ∞, sin z = e iz − e −iz 2i = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 , |z| < ∞, cos z = e iz + e−iz 2 = X∞ n=0 (−) n (2n)! z 2n , |z| < ∞, 1 1 − z = X∞ n=0 z n , |z| < 1. F ▼◆❬■ ❃❄❑❏ ♦❑▲▼❙➠❇●❍✐❥✸ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 −z 2 n = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ♠⑤❃❄❏❘❆❙◆❤❤❥❊❛✩❖❇P◗❘❊➢❥❑ 1 1 − 3z + 2z 2 = − 1 1 − z + 2 1 − 2z = − X∞ n=0 z n + 2X∞ n=0 (2z) n = X∞ n=0 2 n+1 − 1 z n , |z| < 1 2 . ♠❇❃❄❘❆❙❚❯P◗❘❊❃❄❊➭❄❳❣❤❑❱ î ❘❆❲❳❨➻❩ ❬ Taylor ❯❄✸ 1 (1 − z) 2 = d dz 1 1 − z = d dz X∞ n=0 z n = X∞ n=1 nzn−1 = X∞ n=0 (n + 1)z n , |z| < 1. F ✜✫❃❄❘❆❙❚❯✏ü (❳❬ü) ❃❄❊❭❣❑î❪ ❧◆❤❊ Taylor ❱❲ ✭✮❲❳➻❩❴❑ ▲❘❫❙❯❄➧❭❊❛✩✸ 1 1 − 3z + 2z 2 = 1 1 − z · 1 1 − 2z = X∞ k=0 z k · X∞ l=0 2 l z l = X∞ k=0 X∞ l=0 2 l z k+l = X∞ n=0 Xn l=0 2 l ! z n = X∞ n=0 2 n+1 − 1 z n , |z| < 1 2