第八章T函数 说明 ★本章计划讲授学时:4 ★§8.3((z)可只作简单介绍 ★§8.5(I函数的普遍表达式)不讲授
Γ ✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 4 F §8.3(ψ(z)) ☛☞✌ ✍ ✎✏✑ F §8.5(Γ ✒✓✔✕✖✗✘ ✙) ✚✝✞
第八章函数 81r函数的定义 定义r函数的最常用定义是 这个积分称为第二类 Euler积分,其中的积分变量t应该理解为argt=0 积分在右半平面代表一个解析函数 因为这是一个反常积分,它既是一个瑕积分(在t=0端),又是一个无穷积分,所以要把它拆 成两部分来分别讨论 t- dt 先看第二部分.显然,当t≥1时,被积函数e-t2-1是t的连续函数,并且作为z的函数,在 全平面解析.由定理42可知,要证明它代表一个解析函数,就只需证明积分一致收敛.因为 所以对于任意正整数N 故对于z平面上任一闭区域(此区域内的任意一点,均有Rez<xo,(见图8.1) NI t 图8.1 这样,只要选择足够大的N(使得N>o),积分/t-N-dt就收敛,故/e-t-1d在z 面的任一闭区域中一致收敛,因此在全平面解析 要证明第一部分的积分在右半平面解析,关键也是证明它的一致收敛性.因为 c= Re
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 1 ✝ ✞✟✠ Γ ✡ ☛ §8.1 Γ ☞✌✍✎✏ ✑✒ Γ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ✜✢✣✤✥✦✧★✩ Euler ✣✤✪✫ ✬✕ ✣✤✭✮ t ✯✰✱✲✦ arg t = 0 ✳ F ✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂✳ ❃✦✜✛❄✢❅✗ ✣✤✪❆❇✛❄✢❈✣✤ (❉ t = 0 ❊) ✪❋ ✛❄✢●❍✣✤✪■❏❑▲❆▼ ◆❖P✤◗✤❘❙❚✳ Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = Z 1 0 e −t t z−1 dt + Z ∞ 1 e −t t z−1 dt. ❯❱✧★P✤✳ ❲❳✪❨ t ≥ 1 ❩ ✪❬✣✓✔ e −t t z−1 ✛ t ✕❭❪✓✔✪❫❴❵✦ z ✕✓✔✪ ❉ ❛❜❝✲❞✳❡✙✱ 4.2 ❢❣✪❑❤ ✐❆❥❦❄ ✢ ✲❞✓✔✪❧♠♥❤ ✐✣✤❄♦♣q✳❃✦ e t = X∞ n=0 t n n! , ■❏rst✉✈✇✔ N ✪ e t > t N N! , e −t < N! tN . ①rs z ❜❝②t ❄③④⑤ (⑥④⑤ ⑦✕t✉❄⑧✪⑨⑩ Re z <x0 ✪ (❶❷ 8.1) e −t t z−1 < N! · t x0−N−1 . ❸ 8.1 ✜❹✪♠❑❺❻❼❽❾✕ N ( ❿➀ N > x0) ✪✣✤ Z ∞ 1 t x0−N−1dt ❧ ♣q✪① Z ∞ 1 e −t t z−1dt ❉ z ❜ ❝ ✕ t ❄③④⑤ ✬ ❄♦♣q✪❃ ⑥❉❛❜❝✲❞✳ ❑❤ ✐✧ ❄ P✤✕ ✣✤❉➁➂❜❝✲❞✪➃➄➅✛ ❤ ✐❆ ✕❄♦♣q➆✳❃✦ e −t t z−1 = e−t t x−1 , x = Re z
因此,对于z平面上右半平面的任一区域,有Rez=x≥6>0 e-t2-1≤t-1 而/-d收敛,故积分/e--dt在z平面上右半平面的任一闭区域中一致收敛,因此在右 半平面解析 把两部分合起来,就得到 在z的右半平面解析.口 ★积分路径的修改 ·上面的积分定义中,积分路径并不需要限定在实轴上,而可修改为 T(2)=/e-tti-ldt, Rez>0 积分路径L是t平面上从t=0出发的半射线,argt=a为常数,la<π/2.取围道C如图8.2 应用留数定理讨论复变积分pe-+2-1d,就能证得这个结论 图8.2 ·进一步修改:积分路径L可以是t平面上从t=0出发的任意分段光滑曲线,只要最后以 Ret→+∞的方式趋于无穷远点即可 ★解析延拓 上面介绍的函数的定义只适用于Rez>0.注意积分的笫二部分是在全平面解析的 因此,为了延拓到z的全平面,只要用适当的方法将积分第一部分延拓到全平面即可 比较直接的方法是将指数函数作 Taylor展开 dt (-) 这个结果是在Rez>0的条件下得到的.但等式左端在右半平面解析,而右端的级数显然在全平 面上(z≠0,-1,-2,…)一致收敛,因而在全平面解析(z≠0,-1,-2,…).这说明,等式右端的级 数表达式就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓
§8.1 Γ ✄☎➇➈➉ ✆ 2 ✝ ❃ ⑥ ✪rs z ❜❝②➁➂❜❝✕ t ❄④⑤✪⑩ Re z = x ≥ δ > 0 ✪ e −t t z−1 ≤ t δ−1 , ➊ Z 1 0 t δ−1dt ♣q✪①✣✤ Z 1 0 e −t t z−1dt ❉ z ❜❝②➁➂❜❝✕ t ❄③④⑤ ✬ ❄♦♣q✪❃ ⑥❉➁ ➂ ❜❝✲❞✳ ▲❖P✤➋➌◗✪❧➀➍ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1 dt ❉ z ✕➁➂❜❝✲❞✳ F ✴✵➎➏➐➑➒ • ②❝✕ ✣✤✙✚ ✬✪✣✤➓➔❫→♥❑➣✙❉↔↕②✪➊ ❢➙➛✦ Γ (z) = Z L e −t t z−1dt, Re z > 0, ✣✤➓➔ L ✛ t ❜❝②➜ t = 0 ➝➞✕➂➟➠✪ arg t = α ✦ ✗✔✪ |α| < π/2 ✳ ➡ ➢➤ C ➥❷ 8.2 ✪ ✯✘ ➦✔✙✱❙❚➧✭✣✤ I C e −t t z−1 dt, ❧➨❤ ➀ ✜✢➩❚✳ ❸ 8.2 • ➫❄➭➙➛➯✣✤➓➔ L ❢ ❏ ✛ t ❜❝②➜ t = 0 ➝➞✕t✉✤➲➳➵ ➸ ➠ ✪♠❑ ✖➺❏ Re t → +∞ ✕➻➼➽s●❍➾⑧➚❢✳ F ✿❀➪➶ ➹ ➘➴➷➬ Γ ➮➱➬✃❐ ❒❮❰Ï Re z > 0 ✳ ÐÑÒÓ➬ ÔÕÖÓ×ØÙÚ ➘ÛÜ➬✪ ÝÞ✪ß àáâã z ➬ÙÚ ➘✪❒ä❰❮ å➬æçèÒÓ ÔéÖÓáâãÙÚ ➘êë✳ ìíîï✕➻ð✛ñò✔✓✔❵ Taylor óô Z 1 0 e −t t z−1 dt = X∞ n=0 (−) n n! Z 1 0 t n+z−1 dt = X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z . ✜✢➩õ✛❉ Re z > 0 ✕ö÷ø➀➍✕✳ùú➼û❊❉➁➂❜❝✲❞✪➊ ➁❊✕ü✔❲❳❉ ❛❜ ❝② (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ❄♦♣q✪❃➊ ❉ ❛❜❝✲❞ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ✳ ✜ý ✐✪ ú➼➁❊✕ü ✔ ❦þ➼ ❧ ✛û❊✣✤❦þ➼❉❛❜❝②✕✲❞ÿ✳
章r函 第3页 ()=c4+∑ (-)n1 !n+ =0
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 3 ✝ Γ ( z) = Z ∞ 1 e − t t z − 1 d t + X∞n=0 ( − ) n n ! 1 n + z
82r函数的基本性质 性质1r(1)=1 直接在r函数的定义中代入z=1即可得到这个结果 性质2r(z+1)=zr(2) 证根据r函数的定义 T(2+1)=ett=dt =2/e-t2-dt=zr(2).口 对于这个结果可以从两个角度来理解 一是尽管在证明过程中用到了条件Rez>0.但由于r(z+1)和zr(2)都在全平面解 析(z=0,-1,-2,…除外),因此,根据解析延拓原理,可以断定,这个递推关亲在 全平面均成立 另一方面,也可以直接通过递推关糸来完成『函数的解析延拓.这时,可将递推关急 改写成 r(x)=-r(z+1) 上式左端的函数在半平面Rez>0上解析,右端的函数在半平面Rez>-1上解析 两者在公共区域Rez>0上相等;由此可见,r(z+1)/z就是右端的I(z)在区域 ez>-1上的解析延拓.而且,如果把延拓后得到的结果仍记为r(z),这就是说, 可以把 看成是r()在区域Rez>1上的定义,而z=0点是r函数的一阶极点,resr(0)=1 ·重复上述步骤,还可以将『函数延拓到区城Rez>-2 r(2) 2(2+1) r(2+2),2≠0,-1 z=-1也是『函数的一阶极点,resr(-1)=-1 如此继续,就可以将『函数解析延拓到全平面,而z=0,-1,一2,…都是『函数的一 阶极点
§8.2 Γ ✄☎➇✁✂✄☎ ✆ 4 ✝ §8.2 Γ ☞✌✍✆✝✞✟ ✠✡ 1 Γ (1) = 1 ✳ îï❉ Γ ✓✔✕✙✚ ✬❥☛ z = 1 ➚❢➀➍✜✢➩õ✳ ✠✡ 2 Γ (z + 1) = zΓ (z) ✳ ☞ ✌✍ Γ ✓✔✕✙✚ Γ (z + 1) = Z ∞ 0 e −t t zdt = −e −t t z ∞ 0 + Z ∞ 0 e −t ztz−1 dt = z Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = zΓ (z). ✎Ï✏✑✒✓ë ✔✕✖✑ ✗✘✙✚Û ✳ • é×✛ ✜Ø✢ ✣✤✥ ✦❰ã à✧★ Re z > 0 ✳✩ ✪Ï Γ (z + 1) ✫ zΓ (z) ✬ ØÙÚ ➘Û Ü (z = 0, −1, −2, · · · ✭✮) ✪ÝÞ✪✯✰ÛÜáâ✱✚✪ë ✔✲✃✪✏✑✳✴ ✵✶Ø ÙÚ ➘✷✸✹✳ • ✺ éæ ➘✪✻ë ✔✼✽✾✤✳✴ ✵✶✙ ✿✸ Γ ➮➱➬ÛÜáâ✳✏❀✪ëè✳✴ ✵✶ ❁ ❂✸ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1). ➹❃❄❅➬ ➮➱Ø❆Ú ➘ Re z > 0 ➹ÛÜ✪❇❅➬ ➮➱Ø❆Ú ➘ Re z > −1 ➹ÛÜ❈ ✖❉Ø❊❋ ●❍ Re z > 0 ➹■❏❈✪Þë❑✪ Γ (z + 1) /z ▲ ×❇❅➬ Γ (z) Ø ●❍ Re z > −1 ➹➬ÛÜáâ✳▼◆✪❖✓Páâ◗❘ã➬✒✓❙❚ß Γ (z) ✪✏ ▲ ×❯✪ ë ✔P Γ (z) = 1 z Γ (z + 1), z 6= 0 ❱✸× Γ (z) Ø ●❍ Re z > 1 ➹➬✃❐✪ ▼ z = 0 ❲ × Γ ➮➱➬é❳❨❲ ✪ res Γ (0) = 1 ✳ • ❩❬➹❭ ❪❫✪❴ë ✔è Γ ➮➱áâã ●❍ Re z > −2 ✪ Γ (z) = 1 z(z + 1)Γ (z + 2), z 6= 0, −1. z = −1 ✻× Γ ➮➱➬é❳❨❲ ✪ res Γ (−1) = −1 ✳ • ❖Þ❵❛✪ ▲ë ✔è Γ ➮➱ÛÜáâãÙÚ ➘✪ ▼ z = 0, −1, −2, · · · ✬ × Γ ➮➱➬é ❳❨❲ ✪ res Γ (−n) = (−1)n n! .