第二部分数学物理方程
第二部分 数学物理方程
第十二章数学物理方程 和定解条件 说明 ★本章计划讲授学时:6
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第十二章数学物理方程和定解条件 第十二章数学物理方程和定解条件 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程.例如 ·静电势和引力势满足的 Laplace方程或 Poisson方程 ·波的传播所满足的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的 Navier- Stockes方程组和 Euler方程组 描写电磁场运动变化的 Maxwell方程组 ·作为微观物质运动基本规律的 Schrodinger方程和 Dirac方程 弹性力学中的 Saint- Venant方程组 等等.这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组).所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程. 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程。以后讨论这些方程的一般性质 及解法
第十二章 数学物理方程和定解条件 第 1 页 第十二章 数学物理方程和定解条件 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程， 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程．例如， • 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 • 波的传播所满足的波动方程 • 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 • 连续介质力学中的Navier–Stockes方程组和Euler方程组 • 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 • 作为微观物质运动基本规律的Schr¨odinger方程和Dirac方程 • 弹性力学中的Saint-Venant方程组 等等．这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组)．所以，本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程． 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程．以后讨论这些方程的一般性质 及解法．
12.1弦的横振动方程 §121弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上 作小振动.列出弦的横振动方程 图121 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dr的一小段(弦 ).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力——张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)z= dn (T cos 0)x+dz -(T cos O)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx,t)-a(x,t),与dx相 比是一个小量,即 Jau/ax<1 在小振动近似下, sinb≈tan6 略去了“的三级项 略去了一一的二级项 这样,就有 (T)x+dx-(T)x=0 (T)x 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 2=T(
§12.1 弦的横振动方程 第 2 页 §12.1 弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上 作小振动．列出弦的横振动方程． 图12.1 弦的横振动 tan θ1 = µ ∂u ∂x ¶ x , tan θ2 = µ ∂u ∂x ¶ x+dx 取弦的平衡位置为x轴，且令端点坐标为x = 0与x = l． 设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点． 分析弦元受力：它在两个端点x及x + dx处受到张力的作用． 因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力 张力T的作用，而没有法向应力．同 时，略去了重力的作用． 因此有 (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. 小振动近似：x+ dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+ dx, t)−u(x, t)，与dx相 比是一个小量，即 |∂u/∂x| ¿ 1. 在小振动近似下， sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x µ 略去了 ∂u ∂x的三级项 ¶ , cos θ ≈ 1 µ 略去了 ∂u ∂x的二级项 ¶ . 这样，就有 (T)x+dx − (T)x = 0 即 (T)x+dx = (T)x, 说明T不随x变化，弦中各点的张力相等．于是， ρdx ∂ 2u ∂t2 = T "µ ∂u ∂x¶ x+dx − µ ∂u ∂x¶ x # = T ∂ 2u ∂x2 dx
12.1弦的横振动方程 第3页 其中p是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 at a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds- dr du2tdr2-dx 所以,在准确到∂u/ar的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变 化.因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作 位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 a-u a1 Toady+fdr 因此 -- 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力
§12.1 弦的横振动方程 第 3 页 即 ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中ρ是弦的线密度(单位长度的质量)．定义 a = r T ρ , 则方程可以写成 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a就是弦的振动传播速度． 还可以证明：在小振动近似下，张力T与t无关．这是因为弦元的伸长 ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + µ ∂u ∂x¶2 − 1 dx = O µ µ∂u ∂x¶2 ¶ , 所以，在准确到∂u/∂x的一级项(即小振动近似)的条件下，弦元的长度不随时间变 化．因此，按照Hooke定律，T也不随时间变化． 前面又已经证明过，T也不随x变化，所以T是一个常数． 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用，设单位长度所受的外力为f，则仿照 前面的推导，有 ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. 因此， ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , 其中的非齐次项f /ρ是单位质量所受的外力．