明.我们用两片经过处理的玻璃片作成尖劈形的液晶盒,当中充 以丝状液晶.如果沿玻璃片附近液晶指向矢与玻璃片相平行,那 么液晶内部就出现了图2,2(a)的展曲形变.如果沿玻璃片附近 指向矢与之相垂直那么液晶内部就出现了图2.2(b)的弯曲形变 如果这两片玻璃片是互相平行放置,而液晶的指向矢在玻璃片附 近是与玻璃片相平行排列,但是沿两片玻璃片处的液晶指向矢之 间有一个不等于m的夹角,那么液晶内部就产生了图22(c)的扭 曲形变,图2.2中的短线段和双向箭头表示指向矢的方向. 三种形变的解析形式可以这样来看.我们在液晶中所要考虑 的P点上选取一个右手笛卡儿坐标系(x13x2x3).假定P点的指 向矢n与正x3轴相重合,那么在P点附近的Q点处的指向矢将成 为n+△n,△n是从P点到Q点指向矢的改变量.我们假设形 变很小,那么|△n|<1.如果n的三个分量被称为(nn2n), 那么An将与m,≈⑨,(i,=1,2,3)有关,我们将看到m 和m2与展曲形变相关;n,2和m与扭曲形变相关;而n,和m 与弯曲形变相关 从图23可以看出,n1(假设为正)的存在表示在x轴上越远 离P点指向矢越倒向x轴.在x轴上n2(假设为正)的存在表示 图2.3n1,和n2给出展曲形变 26·
越远离P点指向矢越倒向x2轴.因此,在一个平面内,指向矢将 向外逐渐扩展开去,故而这种形变称为展曲,图中画出了在x1x平 面内指向矢的组态.nn或n22的存在说明指向矢存在散度,因此 展曲的特点是ⅴ·n≠0. 从图24可以看出,n2(假设为正)的存在表示在正x1轴上 越远离P点指向矢将越在正向倒向x1x平面.同样,n,的存在(假 设为正)表示在正x2轴上越远离P点指向矢越在正向倒向xx2平 面,图中画出了在不同x位置的x2x3平面上指向矢取向改变的 情形.可以看出,各个平面上的指向矢发生了方向的转动,就象平 面发生了扭转一样,因此这种形变称为扭曲.n1,和m21与n的旋 度vn在x轴方向的分量相关.原点处n的方向也是在x3轴 方向因此扭曲的特点是v×n与n相平行 ni,t 图2.4m2,和m1n给出扭曲形变 从图25可以看出,n,(假设为正)的存在表示在正x3轴上 越远离P点指向矢越倒向正x1轴。同样,n2,(假设为正)的存在 表示在正3轴上越远离P点指向矢越倒向正x轴.图中画出了 在正x1x3平面上指向矢的方向改变情形.这里竖直的指向矢形成 了逐渐弯曲的状态,因此相当于弯曲形变.m1,和n2是与指向矢 n的旋度V×n的x2轴和x3轴方向的分量相关的.原点处的指 向矢n却是与x轴方向相合,因此弯曲的特点是V×n与n相 垂直
展曲、扭曲和弯曲是三种基木的形变形式.液晶中实际产生 的形变可能相当复杂,但是无论如 何都只能是这三种基本形变的某种 组合 对于单轴液晶来讲,指向矢 是位置坐标r的函数,即 n(r)给出了在r处液晶分子的从优 取向.按照式(1.1)我们取n为单 位矢量,它的方向可以说就代表液 晶分子的方向.不过对于大多数的 液晶来讲,m的符号并没有多大的 图2.5m1,和n2,3给出 弯曲形变 物理意义.这就是说,对于液晶的宏 观性质来讲,分子的头和尾并没有 多大的区别,在实验上n和一n给出相同的结果.当然,从单个分 子来看,它是有首尾之分的,因为分子的化学结构并不对称.这里 可以说,在用指向矢n(r)来描述液晶的连续体理论中,我们已经 不是在考虑单个分子的性能,而是考虑一种大量分子的统计平均 性能.指向矢n只不过表示在液晶中某一点附近大量分子的平 均取向而已.n和-n的一致性这一点,可以看作是正向排列的 分子与反向排列的分子,其数目基本上是相同的.当然,象具有永 久性偶极矩之类的分子,n的符号也许在一定条件之下会成为重 要的间题,在本书的讨论中我们将认为n和-m没有区别 §2自由能密度与弹性常数 在液晶连续体弹性形变理论中,我们假定指向矢n(r)是r 的缓慢变化的连续函数,并且n(r)与-n(r)是相当的.在液晶 中某一点r处,我们引用一个局域右手笛卡儿坐标系(x1,x2x3), 使正x轴与n(r)的方向重合.对于单轴液晶来讲,1和x2的选
择可以是任意的.我们要讨论的是在r点附近指向矢n(r)的变 化情形.象上节那样,我们令液晶中各点的指向矢n(r)在(x1 x2,x3)坐标系中的分量为[n1(r),n2(r),n2(r)],而用n,≡ (i,=1,2,3)来描述该点的形变.我们要讨论的是,在r点附 近指向矢n(r)的变化,因此所讨论的x13x2,x3本身都是微量。当 我们把n(r)围绕r点用泰勒级数展开时,可以有 n1(r)=n1,x1+n1,x2+n1:x3+高阶项, n2(r)=n2x1+n2ax2+n,x3+高阶项, n3(r)=1十高阶项 (21) 这里我们使用了n是单位矢量的条件.高阶项在计算中是可以忽 略不计的 连续体弹性形变理论讨论的是,在受到外力作用之下液晶发 生了小形变时,力与形变的关系问题.这是一个静态问题,也就是 说讨论的是在受力前液晶的状态与受力后又达到平衡状态时,两 种状态之间的关系问题,从经典力学的角度来看,物体处于平衡 状态时应该是能量处于最低的状态.所以,从能量角度出发来进 行讨论是最适宜的办法.我们取一个体积为V的液晶样品来讨 论它的自由能G.假设单位体积液晶的自亩能,也就是自由能密 度为g.习惯上称g为夫兰克自由能密度.在没有外场作用之下, g当然与指向矢的变化有关。借助于固体弹性理论的胡克定律,在 小形变条件下,我们可以设想自由能密度g是指向矢n(r)的变化 量△n的一阶和二阶函数,而忽略高阶项.关于自由能密度g的 具体形式,我们可以从不同的角度用不同的方法加以推导.在本 章,我们将从宏观唯象的观点,利用液晶的对称性,来寻找自由能 密度的具体表达式.关于从分子相互作用的观点,以及从分子场 的观点推导自由能密度的方法,将留到第九章再进行讨论 我们首先从最简单的丝状液晶着手,用一个比较特殊的情形 来得到一个自由能密度的表达式,然后推广到螺旋状液晶.最后 再用更普遍的形式重新推导出液晶的自由能密度表示式.首先让
我们列举一下丝状液晶的对称性,它们有56 (1)n和一n的等价性,就是说把n用n代换时系统的 切不变.这个对称性是目前液晶理论都承认的基本观点由于 液晶分子本身结构的复杂性,人们也常常对这个对称性提出疑问, 我们这里承认它的正确性 (2)以n为轴的转动不变性,也就是说有C对称性,转动轴 称为C。轴.把整个液晶系统绕m转动任意角(6为实数)系统 的一切性质不变。 3)对包含n在内的平面的镜面反射不变性;就是说对于任 意包含n在内的平面,平面两边的系统是对称的这种对称性一 般称为C对称性 (4)对垂直于m的平面的反射不变性。相对于任意垂直于 n的平面,平面两边的系统是对称的。这就是说,在与C轴相垂 直的方向上系统有二重对称性,一般称为D对称性.这一对称 性当然也反映了第一条n与-n等价的对称性 对于温度为T体积为V的液晶系统,当系统内部发生弹性 形变时,与形变相关的系统自由能G具有 G(T,V,△n) g(T,r,△n)dx 2,2 的形式,这里△n是液晶中一点的指向矢相对于坐标原点处指向 矢的改变量.式(2.1)指出,△m是各种形变n;的函数,因此弹性 形变自由能密度g(T,r,△n)是n,的函数.在小形变条件下, 我们可以把g用n,的幂级数加以展开.在具体间题中一般需要 的是自由能密度的改变量而不是g的绝对值,因此在展开式中可 以忽略常数项.在保留到n;的二阶项条件下,展开式可以写作 g=inn十4,l i,j,l=1,2,3 (231) 的形式,和;M是展开式中的比例系数。在本书中除特别指出 以外,都使用习惯的求和约定法则:凡是一项当中有两个相同指 标时(称为哑标或傀标)就要把这个指标对1,2和3作连加的计