《固体物理学》课程教学资源（讲义）第四章 能带理论（4.2）一维周期场中电子运动的近自由电子近似

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 §42一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算 一维自由电子近似模型:金属中电子受到粒子周期性势场的作用,如图XCH004001所示。假定周 期性势场的起伏较小。作为零级近似,可以用势场的平均值代替离子产生的势场:=(x) 周期性势场的起伏量V(x)-1=△V作为微扰来处理。 1)零级近似下电子的能量和波函数 V(x) Potential Energy of Single Atom Periodical Potential Energy of Atoms in Crystal 空格子中电子的能量和波函数 (n2a(n-1)ana(n+1)a(n+2)a(n+3)a 考虑一维由N个原子组成的金属,金属的线度 L=Na,其中a为晶格常数 零级近似下:H=hd2 2m dr2 +l ate 零级近似下的薛定谔方程 E 方程的解就是在恒定场下自由粒子的解:v()10h2k2 L 引|入周期性边界条件后,k的取值:k=12z 为整数。 v(x)=e“满足正交归一化条件:「ve*vgx=k 2)微扰下电子的能量本征值 哈密顿量:H=H1+,H=-2d2H=(x)-F=4P 2m dx 根据微扰理论,电子的能量本征值:E4=EB+E(+E(2)+… 级能量修正:EA=<k|Hk>,<kHk>=<k(x)-V|k> REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 §4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 一维自由电子近似模型：金属中电子受到粒子周期性势场的作用，如图 XCH004_001 所示。假定周 期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：V = V (x) —— 周期性势场的起伏量V (x) −V = ∆V 作为微扰来处理。 1）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 考虑一维由 N 个原子组成的金属，金属的线度： L = Na ，其中 a 为晶格常数。 零级近似下： V dx d m H = − +2 2 2 0 2 = 零级近似下的薛定谔方程： 0 0 0 2 2 2 0 2 ψ ψ ψ V E dx d m − + = = 方程的解就是在恒定场V 自由粒子的解： ikx k e L x 1 ( ) 0 ψ = ， V m k Ek = + 2 2 2 0 = 引入周期性边界条件后， k 的取值： Na k l 2π = —— l 为整数。 —— ikx k e L x 1 ( ) 0 ψ = 满足正交归一化条件： ' 0 0 0 ' * kk L ψ k ψ k dx = δ ∫ 2）微扰下电子的能量本征值 哈密顿量： H = H0 + H' ， 2 2 2 0 2 dx d m H = = − ， H'=V (x) −V = ∆V 根据微扰理论，电子的能量本征值： . Ek = Ek 0 + Ek (1) + Ek (2) +" 一级能量修正： E =< k H k > , k | '| (1) < k | H'| k >=< k |V (x) −V | k > REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 二级能量修正:E3=XBk E0-E0 式中k≠k <kH|k>=<k|(x)-|k>=<k|(x)|k> 按原胞划分写成:<k|(x)k>=∑e-(x)d 引入积分变量ξ,x=5+na 利用势场函数的周期性:V(5)=V(+na) <kl(r)k>=>e-i(k-k)na[l e-i(k-k)V(E)d5 <kV(x)|k>= -i(k-k)a ik'-k=n 11-e-(k-k) (2x)和k=,(2)代入得到: k'k= <k|(x)k>=[e(5)d]=(n) 所以 k-k≠n-:<kl|(x)|k>=0 (n)=e-y(dE-周期场(x)的第n个傅里叶系数 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 ∫ = − − L ikx ikx k e dx L e V x V L E 0 (1) 1 ( ( ) ) 1 ， ∫ = − − L ikx ikx k e dx V L e V x L E 0 (1) 1 ( ) 1 ， 0 (1) Ek = 二级能量修正： ∑ − < > = ' 0 ' 0 2 (2) '| '| k k k k E E k H k E ，式中 k ≠ k' < k'| H'| k >=< k'|V (x) −V | k >=< k'|V (x) | k > —— ∫ − − < >= L i k k x e V x dx L k V x k 0 ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | 按原胞划分写成： ∑∫ − = + − − < >= 1 0 ( 1) ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | N n n a na i k k x e V x dx Na k V x k 引入积分变量ξ ， x = ξ + na 利用势场函数的周期性：V (ξ ) =V (ξ + na) ∑ ∫ − = + − − − − < >= 1 0 ( 1) ( ' ) ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | N n n a na i k k na i k k e e V d Na k V x k ξ ξ ξ ∫ ∑ − = − − − − < >= ⋅ 1 0 ( ' ) 0 ( ' ) [ ] 1 ( ) ] 1 '| ( ) | [ N n i k k a n a i k k e N e V d a k V x k ξ ξ ξ i) a k k n 2π '− = ： [ ] 1 1 1 0 ( ' ) ∑ = − = − − N n i k k a n e N ii) a k k n 2π '− ≠ ： i k k a N i k k Na n i k k a n e e N e N ( ' ) 1 ( ' ) 0 ( ' ) 1 1 1 [ ] 1 − − − − − = − − − − ∑ = ； 将 (2π ) Na l k = 和 (2 ) ' ' π Na l k = 代入得到： 0 1 1 1 ( ' ) ( ' ) = − − − − − − i k k a i k k Na e e N 所以 : '| ( ) | 0 2 ' ( ) ] ( ) 1 : '| ( ) | [ 2 ' 0 ( ' ) − ≠ < >= − = < >= = ∫ − − k V x k a k k n e V d V n a k V x k a k k n a i k k π ξ ξ π ξ ∫ − − = a i k k e V d a V n 0 ( ' ) ( ) 1 ( ) ξ ξ ξ ——周期场V (x) 的第 n 个傅里叶系数。 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 k'-k=n <klHk>=v(n) 60÷b2h2 V, Eo-hk' k-k≠n <kH|k>=0 khk 代入二级能量修正式E2=∑ EK -Ek 得到:E=∑ 3[k2-(k 2r)2] ★计入微扰后电子的能量:E.、2 21 3)微扰下电子的波函数 电子的波函数:v4(x)=v(x)+v(x)+v42(x)+ 波函数的一级修正:v)= <klhk> ,式中k≠k <klhk>=v(n) 将 hk+ Eo h2K“二+下代入上式 k-k≠n <kH|k>=0 se *xn )x °2n2 2m1-(k+a2) n[k2-(k+-2) i2r=x ★计入微扰电子的波函数:v(x)= [k2-(k+-2)2] v4(x)=el+2 k2-(k+-2m) REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 将 : '| '| 0 2 ' : '| '| ( ) 2 ' − ≠ < >= − = < >= k H k a k k n k H k V n a k k n π π ， V m k Ek = + 2 2 2 0 = ， V m k Ek = + 2 ' 2 2 0 ' = 代入二级能量修正式 ∑ − < > = ' 0 ' 0 2 (2) '| '| k k k k E E k H k E 得到： ∑ − + = n n k a n k k m V E [ ( 2 ) ] 2 ' 2 2 2 2 (2) π = + 计入微扰后电子的能量： 2 2 2 2 2 2 ' 2 [ ( 2 ) ] 2 n k n k V E V m n k k m a π = + + − + ∑ = = 3）微扰下电子的波函数 电子的波函数： ( ) ( ) ( ) ( ) . ψ k x =ψ k 0 x +ψ k (1) x +ψ k (2) x +" 波函数的一级修正： 0 ' ' 0 ' 0 (1) '| '| k k k k k E E k H k ψ ∑ ψ − < > = ，式中 k ≠ k' 将 : '| '| 0 2 ' : '| '| ( ) 2 ' − ≠ < >= − = < >= k H k a k k n k H k V n a k k n π π ， V m k Ek = + 2 2 2 0 = ， V m k Ek = + 2 ' 2 2 0 ' = 代入上式 x a n i k n n k e L a n k k m V ( 2 ) 2 2 2 (1) 1 [ ( 2 ) ] 2 π π ψ + ∑ − + = = ， x a n i n ikx n k e a n k k m V e L π π ψ 2 2 2 2 (1) [ ( 2 ) ] 2 1 ∑ − + = = + 计入微扰电子的波函数： 2 2 2 2 1 1 ( ) [ ( 2 ) ] 2 n i x ikx ikx n a k n V x e e e L L n k k m a π ψ π = + − + ∑ = } [ ( 2 ) ] 2 {1 1 ( ) 2 2 2 2 x a n i n ikx n k e a n k k m V e L x π π ψ ∑ − + = + = REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 令:u4(x)=1+ 2m1k2-(+2z)] 可以证明u4(x+ma)=l4(x)是晶格的周期函数。 v(x) 4(x) 电子的波函数具有布洛赫函数形式。 ★电子波函数的意义 电子波函数与散射波:%(m)=坏2m-(k+n7 第一项 是波矢为k的前进的平面波 第二.1,x L 2a是平面波受到周期性势场作用产生的散射波。 k2-(k+-2n)2] 21 散射波的波矢k=k+-2x 为相关散射波成份的振幅。 2[k2-(k+n2n) 如果相邻原子产生的散射波成份有相同的位相 k=k+-2 2r=-k.b-n兀 电子的入射波波长:2=2z=2 k n a=n 布拉格反射条件在正入射时的结果(2 asin g=n REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 令： x a n i n n k e a n k k m V u x π π 2 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 ( ) 1 ∑ − + = + = 可以证明u x k ( ) + = na uk (x) 是晶格的周期函数。 ( ) 1 ( ) e u x L x k ikx ψ k = —— 电子的波函数具有布洛赫函数形式。 + 电子波函数的意义 i) 电子波函数与散射波： 2 2 2 2 1 1 ( ) [ ( 2 ) ] 2 n i x ikx ikx n a k n V x e e e L L n k k m a π ψ π = + − + ∑ = —— 第一项： ikx e L 1 是波矢为 k 的前进的平面波 —— 第二项： x a n i n ikx n e a n k k m V e L π π 2 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 1 ∑ − + = 是平面波受到周期性势场作用产生的散射波。 —— 散射波的波矢 ' 2π a n k = k + —— [ ( 2 ) ] 2 2 2 2 π a n k k m Vn − + = 为相关散射波成份的振幅。 如果相邻原子产生的散射波成份有相同的位相 —— ( 2 ) n i k a ik e e + π − = k a n k'= k + 2π = − ， a n k π = − 电子的入射波波波长： n a k 2 2 = = π λ 2a = nλ —— 布拉格反射条件在正入射时的结果（2 s a n inϕ = λ ） REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 在这种情况下,散射波成份的振幅:n,n→ k2-(k+-2n)2] —此时一级修正项太大,微扰法不再适用了 i)电子波函数与不同态之间的相互作用 从v4(x)=元e+1,k 可以看出 [k2-(k+-2r)2] 在原来的零级波函数v(x) 中将参入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 i(k+-2r)r v(x)=÷ea 它们的能量差越小,掺入的部分就越大 时,k=k+-2丌 两个状态具有相同的能量,导致了波函数的发散 ★电子能量的意义 二级能量修正:E2=∑ 当k2=(k+-2x),k=-时 ∞--电子的能量在k=-时是发散的 由于k=-和k=k+2x=mx两个状态具有相同的能量,即k和k态是简并的 4)电子波矢k=-m附近能量和波函数 在简并微扰问题中,波函数由简并波函数线性组合构成。 如果状态k (1-△),式中4是一个小量,如图XCH00400所示 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 在这种情况下，散射波成份的振幅： 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 Vn n k k m a π ⇒ ∞ − + = —— 此时一级修正项太大，微扰法不再适用了。 ii) 电子波函数与不同态之间的相互作用 从 x a n i n ikx ikx n k e a n k k m V e L e L x π π ψ 2 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 1 1 ( ) ∑ − + = + = 可以看出： 在原来的零级波函数 ikx k e L x 1 ( ) 0 ψ = 中将参入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数： x a n i k k e L x ( 2 ) 0 ' 1 ( ) π ψ + = —— 它们的能量差越小，掺入的部分就越大 —— 当 a n k π = − 时， a n a n k k π '= + 2π = ，两个状态具有相同的能量，导致了波函数的发散。 + 电子能量的意义 二级能量修正： ∑ − + = n n k a n k k m V E [ ( 2 ) ] 2 ' 2 2 2 2 (2) π = 当 2 2 ( 2π ) a n k = k + ， a n k π = − 时： ⇒ ±∞ —— 电子的能量在 (2) Ek a n k π = − 时是发散的。 由于 a n k π = − 和 a n a n k k π π = + = 2 ' 两个状态具有相同的能量，即 k 和 k' 态是简并的。 4）电子波矢 a n k π = − 附近能量和波函数 在简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成。 如果状态 = − (1− ∆) a n k π ，式中 ∆ 是一个小量，如图 XCH004_002 所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH