算.例如 时 十a2;n2,;十a3;n3 〓a1n1n+aun1,+a1snt; 十a2n2,2+a2372s 十a31m3,十a32n3,+a3n3,3。 当然,液晶处于自由平衡状态时,指向矢n在液晶中各点具有同 一的方向,而n,=0,因此在自由能密度的展开式中不存在m, 的线性项(否则将不能满足第一条对称性)而成为 232) 让我们取液晶中的一点作为原点,同时选择一个局域笛卡儿 坐标系(x1,x2,x3),令这个局域坐标系的x3轴与原点处液晶的指 向矢n的方向相重合,那么原点处的指向矢成为 (0,0,1) 由于n是一个单位矢量,因此 241) 0,i 1,2,3 这样,在81个系数a中有36个为零, a3;A=41=0,i,1,k,1=1,2,3, (242) 而余下45个为非零的系数.让我们在原点选择另一个新的§坐 标系(15253),令5坐标系与x坐标系之间满足关系式 x ai 5a5 c 1,2,3; 22 S3=1 23 S翥=S=St=S (251) 其中S是Sa的共轭复数,是§的共轭复数,显然 Bags Siasai =8, (252) 8as或8;是狄喇克δ函数,所以式(25)的S变换是一个么正变 换.在5坐标系中,指向矢n的三个分量是
ns.n:.n 由于n的变换与坐标的变换相同,所以从式(251)有 Stn=S。 n;〓Sns,冖Sain, 2a=1,2,3. (261) 这里应用了n;是实数的条件。另外还有 6 S 00x;0 aE& a53 a Bi ax B85 β,j=1,2,3 (262) 由于n;可以用nn或者用n表示同时又可以用或者用 D表示因此n可以有四种不同的表示方法 65 时 6 suis s,s 式(25)告诉我们 55 FiFis
5.5B=a saiS;Br, 因此如果我们取 5,5B sis 那么nss的变换将同55的变换相同;如果我们取 nsap 85p nsa (27) 那么na5B的变换将同5的变换相同,两种不同的nsb的定义 都会给出同一的结果。现在为了方便起见,让我们具体取式(27) 的nsnp的定义,这样,在从x坐标系变换到5坐标系后,自由能 密度g的式(232)表示式将取 (281) 的形式;同时n5是由式(27定义的,它的变换同5的变换相 同.由于式(2+2)的关系,显然 B,y,6-1,2,3 282) 把式(26)和(27)代人式(2.8)后再与式(2.32)相比较,就可以看到 SaiSBiSrkSalaoBra (29) 丝状液晶的第四条对称性要求,当x3(3)变换成为x3(一53) 时自由能密度表示式不变.因此,系数a;的下标i,饣,l中只能 有偶数个3,否则当我们把t用一x代换时n;,中有一些项将 改变符号而引起自由能密度的改变,同样,系数anB的下标中也 只能有偶数个3;不符合这个条件的a都等于零。结合式(241) 的n3,=0和式(28),可以看到,下标含3的不为零的am只 余下四个,aa3r(a,7=1,2).第三条对称性要求在x1和x(或 x2和x3)不变的条件下,把x2(或x)用一x2(或-x1)代换时,自由 能密度表示式不变,式(2.5)的S变换指出,如果把x2用x2代
换,那么5和52将发生互换.所以第三条对称性要求两个下标 5;和52互换位置的系数aa相等。对于下标含3的不为零的 ag7将只余下 丝状液晶的第二条对称性要求:把系统绕n轴旋转任意实数 0角后,自由能密度表示式不变。现在令旋转θ角后的坐标系为 r坐标系(x,x2x3)和§坐标系(23),同时在这些坐标系 中的各个量都用相应的量上加撇号“”来表示,那么转动变换给出 x;〓日;x 6 61=0n=cos0,b12=-0x=sin0,63=1, 61s=63=6=63=0, 0=6k0t=8 (210) 按照式(2.5)的变换,现在有 s e sa m Siat= Siri ≡T ,t,1 T Ty 2 Ti3= T3 Ts aa T3=0 (211) 其中7是;的共轭复数。把式(2.11)同式(25)相比较,可以 看到 34
0 上式中的右方对a和对P并不进行连加运算.结合式(211)和式 212)就可以看到 Sai0i; S; a5B 后面的等式是应用式(251)的结果.于是有 °88=Sm6 或者写作[应用式(252)] S*6 im,8 (213) 在式(210)的变换下还有 6 anp,q3 j,P,q=1,2,3 在x坐标系和x坐标系中自由能密度相等: ip, s, t, 1,2,3 因此a;和apm之间的关系是 7i erk, ,,l,P,q,5,t 2,3 式(29)的关系在转动后的坐标系中当然还是满足的,这就是说 Br& wIjk 应用式(214),它成为 SiaSi BSkrs↑0;p;6: