三、含参量正常积分的可微性定理19.3(I(x)的可微性)若函数f(x,y)与其偏导数f(x,)都在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续则函数I(x)= f" f(x, y)dy在[a,b]上可微,且-(.后页返回前页
前页 后页 返回 三、含参量正常积分的可微性 定理19.3 ( I x( )的可微性 ) 若函数 f x y ( , ) 与其偏导 ( , ) x 数 f x y 都在矩形区域 R a b c d = [ , ] [ , ] 上连续, 则函数 = ( ) ( , )d d c I x f x y y 在 [ , ] a b 上可微, 且 d ( , )d ( , )d . d d d x c c f x y y f x y y x =
证对于a,bl内任意一点x.设x+△xE[a,bl(若x为区间的端点，则讨论单侧函数)，则I(x+Ax)-I(x) _rd f(x+△x, y) - f(x, y)11AxArJc由微分学的拉格朗日中值定理及f(x,y)在有界闭域R上连续(从而一致连续),对Vε>0,3S>0,只要x<时，就有(x+ Ax, y) -(x, ) - f(x, y)Ar后页返回前页
前页 后页 返回 证 对于 [ , ] a b 内任意一点x, 设 x x a b + [ , ] (若x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则 + − + − = ( ) ( ) ( , ) ( , )d . d c I x x I x f x x y f x y y x x 由微分学的拉格朗日中值定理及 ( , ) x f x y 在有界闭 域 R上连续(从而一致连续),对 0 , 0, 只要 x 时， 就有 + − − ( , ) ( , ) ( , ) x f x x y f x y f x y x