I(x +Ax) - I(x) = f' [f(x + Axr, y) - f(x, y)]dy, (3)由于f(x,J)在有界闭区域R上连续,从而一致连续即对任意ε>0，总存在>0，对R内任意两点(xi, y) 与(x2, 2) ,只要Ix, -x,/<8,1 y1-y2 /<8,就有(4)I f(xi, yi)- f(x2, y2) / <8 .所以由(3),(4)可得，当|△x|<S时,返回前页后页
前页 后页 返回 ( ) ( ) [ ( , ) ( , )]d , (3) d c I x x I x f x x y f x y y + − = + − 由于 f x y ( , ) 在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续, 即对任意 0 , 总存在 0 , 对R内任意两点 1 1 2 2 ( , ) ( , ) x y x y 与 ， 只要 1 2 1 2 | | , | | , x x y y − − 就有 | ( , ) ( , ) | . (4) f x y f x y 1 1 2 2 − 所以由(3), (4)可得, 当 时 | | , x
[I(x +Ax)- I(x)/≤ ["1 f(x +Ax, y) - f(x, y)I dy<[" edx = s(d -c).即 I (x)在[a,b]上连续同理可证：若f(x,J)在矩形区域R上连续，则含参量y的积分(5)J(y) = / f(x, y)dx在[c,d]上连续注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式：后页返回前页
前页 后页 返回 + − + − | ( ) ( ) | | ( , ) ( , ) | d d c I x x I x f x x y f x y y d ( ). d c = − x d c 即 I (x) 在 [ , ] a b 上连续. 同理可证: 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R上连续,则含参 量 y 的积分 = ( ) ( , )d (5) b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续. 注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
若f(x,y)在矩形区域R上连续，则对任何X E[a, b],都有m(, )d-m(x, dycx-x这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的注2由于连续性是局部性质，定理19.1中条件f在[a,b]×[c,d]上连续可改为在×[c,d]上连续,其中3为任意区间。前页后页返回
前页 后页 返回 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R 上连续,则对任何 x a b 0 [ , ] , 都有 → → = 0 0 lim ( , )d lim ( , )d . d d x x x x c c f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极 限运算与积分运算的顺序是可以交换的. [ , ] [ , ] [ , ] , a b c d c d 上连续可改为在 上连续 其中 为任意区间. 注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在
定理19.2（F(x)的连续性）若二元函数f(x,y)在区域G=((x, )lc(x)≤y≤d(x),a≤x≤b)上连续,其中c(x),d(x)为[a, b]上的连续函数,则函数d(x)(6)F(x)=m) f(x, y)dyc(x)在[a,b]上连续证对积分(6)用换元积分法，令y =c(x) +t(d(x)-c(x)) .当y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且后页返回前页
前页 后页 返回 定理19.2 ( F x( )的连续性 ) 若二元函数 f x y ( , ) 在区 域 G x y c x y d x a x b = {( , ) | ( ) ( ) , } 上连续, 其 中c(x), d(x)为 [ , ] a b 上的连续函数, 则函数 = ( ) ( ) ( ) ( , )d (6) d x c x F x f x y y 在 [ , ] a b 上连续. 证 对积分(6)用换元积分法, 令 y c x t d x c x = + − ( ) ( ( ) ( )) . 当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
dy = (d(x) -c(x))dt .所以从(6)式可得a[a(x) f(x, y)dyF(x) =x=J, f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)(d(x)-c(x)dt.由于被积函数f(x, c(x) +t(d(x) -c(x)(d(x)-c(x)在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续，由定理19.1得积分(6)所确定的函数 F(x) 在[a,b]连续,返回前页后页
前页 后页 返回 d ( ( ) ( ))d . y d x c x t = − 所以从(6)式可得 = ( ) ( ) ( ) ( , )d d x c x F x f x y y 1 0 = + − − f x c x t d x c x d x c x t ( , ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( ))d . 由于被积函数 f x c x t d x c x d x c x ( , ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( )) + − − 在矩形区域 [ , ] [0 ,1] a b 上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续