其中e,为单位阵In的第j列。 (2)将A按行分块 BI A= B 其中B为A的第i行，则 eA-B,(i=1,2,…,m) 注由(1)，(2)可得到 e:Ae,=au (3)将A列分块 A=[a1,a42,…,0n] 则A的计算也可转化为方程组Aa4,=e,(i=1,2,…,n)的求解问题。 (4)关于正交阵 定义：若AAI=I,即A「=A,称A为正交阵。 结论：将A列分块A=a1,a2,…,un],则由A4=I可得 [0i≠j ala,=l i=j 同理，由AA=I可的A的行向量组具有同样的结论。 1.2典型例题分析 1)矩阵乘法 1段44--。米a队公 s46-B8 64-0 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
其中 j e 为单位阵 n I 的第 j 列。 （2） 将 A 按行分块 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = T m T T A b b b M 2 1 其中 T bi 为 A 的第 i 行，则 e A (i m) T i T i = b = 1,2,L, 注 由（1），（2）可得到 j ij T ei Ae = a （3） 将 -1 A 列分块 [ ] A a a an , , , 1 2 -1 = L 则 -1 A 的计算也可转化为方程组 A e (i n) i i a = = 1,2,L, 的求解问题。 （4） 关于正交阵 定义：若 AA I T = ，即 -1 A = A T ，称 A 为正交阵。 结论：将 A 列分块 [ ] A a a an , , , = 1 2 L ，则由 AA I T = 可得 î í ì = ¹ = i j i j j T i 1 0 a a 同理，由 AA I T = 可的 A 的行向量组具有同样的结论。 1.2 典型例题分析 1） 矩阵乘法 例 1 设 ú û ù ê ë é - - = 4 2 2 1 A ，B＝ ú û ù ê ë é - - 6 2 3 1 ，求 AB，BA， 2 A 解 AB＝ ú û ù ê ë é - 4 - 2 2 1 ú û ù ê ë é - - 6 2 3 1 ＝ ú û ù ê ë é 0 0 0 0 BA＝ ú û ù ê ë é - - 6 2 3 1 ú û ù ê ë é - 4 - 2 2 1 ＝ ú û ù ê ë é - 20 -10 10 5 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
-4488 注1AB≠BA,交换律不满足。 注2A≠0，B≠0，可有AB=0,A2=0。 注3AB=A2,A≠0，但A≠B,消去律不满足。 例2已知A= 1 求与A可交换的一切矩阵。 解解法一若B与A可交换，则由AB=BA知，B必为二阶方阵。 设B= ,则 @-6]-a b12+b22 -]6-B b1+b2 b21+b2」 根据AB=BA,有 bu+b12 =bu b12+b22=bu+b2 b21=b21 b2=b21+b22 解得b21=0,b,=b2,由此可得到与A可交换得任一矩阵是 B= 0b1 其中b,b2为任意实数。 解法二将A分解为 -6-69+8-r8日 01 由于单位阵I与任何矩阵都可交换，故问题变为求与 =C可交换得矩阵，设 00 其为B= 「bb PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
2 A ＝ ú û ù ê ë é - 4 - 2 2 1 ú û ù ê ë é - 4 - 2 2 1 ＝ ú û ù ê ë é 0 0 0 0 注 1 AB ¹ BA，交换律不满足。 注 2 A ¹ 0, B ¹ 0 ，可有 0, 0 2 AB = A = 。 注 3 , 0 2 AB = A A ¹ ，但 A ¹ B ，消去律不满足。 例 2 已知 A＝ ú û ù ê ë é 0 1 1 1 ，求与 A 可交换的一切矩阵。 解 解法一 若 B 与 A 可交换，则由 AB＝BA 知，B 必为二阶方阵。 设 B＝ ú û ù ê ë é 21 22 11 12 b b b b ，则 AB＝ ú û ù ê ë é 0 1 1 1 ú û ù ê ë é 21 22 11 12 b b b b ＝ ú û ù ê ë é + + 21 22 11 12 12 22 b b b b b b BA＝ ú û ù ê ë é 21 22 11 12 b b b b ú û ù ê ë é 0 1 1 1 ＝ ú û ù ê ë é + + 21 21 22 11 11 12 b b b b b b 根据 AB＝BA，有 ï ï î ï ï í ì = + = + = + + = 22 21 22 21 21 12 22 11 12 11 12 11 b b b b b b b b b b b b 解得 21 11 22 b = 0,b = b ，由此可得到与 A 可交换得任一矩阵是 B＝ ú û ù ê ë é 11 11 12 0 b b b 其中 11 12 b ,b 为任意实数。 解法二 将 A 分解为 A＝ ú û ù ê ë é 0 1 1 1 ＝ ú û ù ê ë é 0 1 1 0 ＋ ú û ù ê ë é 0 0 0 1 ＝I＋ ú û ù ê ë é 0 0 0 1 由于单位阵 I 与任何矩阵都可交换，故问题变为求与 ú û ù ê ë é 0 0 0 1 ＝C 可交换得矩阵，设 其为 B＝ ú û ù ê ë é 21 22 11 12 b b b b PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn