33.设A为n×m阶矩阵,B为方阵,且AB=0,则() A.当A为非零矩阵时,B=0; B.r(A)+r(B)≤ C.B的列向量为线性方程组AX=0的解; B|=0 34.设A,B分别为n×m阶与m×n矩阵,下列结论正确的有() A.当n>m时,|AB|=0 B.当n<m时,AB可逆的充分必要条件是r(A)=r(B)=n C r(AB)<min(r(A), r(B); D.如果AB可逆,则BA可逆 三计算题 1100 给出4阶矩阵A= (1)求极小多项式 000-1 (2)求A15 (3)求A的 Jordan标准型 (4)定义Q4]={∑a1A2,a1∈Q},求这个线性空间的位维数.(2011年北京大学) 2.设x1=x2=1,xn=xn-1+xn-2.试用矩阵论方法给出xn通项.(2017年北京大学 3.F为数域,A,B,P∈Mn(F),P幂零且(A-B)P=P(A-B),BP-PB=2(-B).求一个可逆矩 阵Q使得AQ=QB.(2017年北京大学 12-2 4.将矩阵A 11-1|分解成初等矩阵乘积的形式.(200年北京工业大学) 10 5. Fibonacci数列{Fn}m0:F=1,F1=1,Fn=F-1+Fn-2(n≥2).记Dn= 从考虑序 F 列D0,D1,…,Dn,的递推关系出发,计算 Fibonacci数列的通项公式Fn,(2009年北京工业大学) 6,将矩阵A=3-12|分解成初等矩阵乘积的形式(210年北京工业大学) 011 7.计算101 2.(2010年北京工业大学 110
33. A è n × m › , B èê , Ö AB = 0, K( ) A. A èö"› û, B = 0 ; B. r(A) + r(B) ≤ n ; C. B ï˛èÇ5êß| AX = 0 ); D. |B| = 0 . 34. A, B ©Oè n × m Ü m × n › , e(ÿ(k( ) A. n > m û, |AB| = 0 . B. n < m û, AB å_ø©7á^ᥠr(A) = r(B) = n . C. r(AB) ≤ min{r(A),r(B)} ; D. XJ AB å_,K BA å_. n.OéK 1. â—4 › A = 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 2 0 0 0 −1 (1)¶4ıë™. (2)¶A15 . (3)¶AJordanIO.. (4)½¬Q[A] = { Pn i=1 aiAi , ai ∈ Q}, ¶˘áÇ5òm†ëÍ. (2011cÆåÆ) 2. x1 = x2 = 1, xn = xn−1 + xn−2. £^› ÿê{â—xn œë. (2017cÆåÆ) 3. FèÍç, A, B, P ∈ Mn(F), Pò"Ö(A − B)P = P(A − B), BP − P B = 2(A − B). ¶òáå_› Q¶AQ = QB. (2017 cÆåÆ) 4. Ú› A = −1 2 −2 −1 1 −1 1 0 1 ©)§– › ¶»/™. (2009cÆÛíåÆ) 5. F ibonacciÍ{Fn}∞ n=0 : F0 = 1, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2(n ≥ 2). PDn = Fn+1 Fn ! . lƒS D0, D1, ..., Dn, ...4Ì'X—u, OéF ibonacciÍœë˙™Fn. (2009cÆÛíåÆ) 6. Ú› A = 3 0 2 3 −1 2 1 0 1 ©)§– › ¶»/™. (2010cÆÛíåÆ) 7. Oé 0 1 1 1 0 1 1 1 0 101 −1 2 2 . (2010cÆÛíåÆ) 11 厦门大学《高等代数》
8.将矩阵A=-112分解成初等矩阵乘积的形式.(2011年北京工业大学 211 9.计算121 (2011年北京工业大学) 10.求两对3×2型,2×3型矩阵(43×2,B2x3,(C3x2,D2x3)使得它们具有相同的乘积AB=CD=254 245 (2012年北京工业大学) 1.知数列a,a1,a+,1+2满足am+2-an+1+m=0.通过考虑(+2),利用相似对角化 的知识,求通项an关于初始项a0,a1的表达式.(2012年北京工业大学) 011 12.设A=101,求正交矩阵P使得P-4P为对角矩阵、(07年北京工业大学) 110 13.已知矩阵 (1)求一个5×5且秩为2的矩阵B,使得AB=0 (2)已知C是满足AC=0的5×5矩阵,证明r(C)≤2.(2018北京工业大学) 14.已知阶矩阵A=|k-1k.且存在可逆矩阵P使得P1AP为对角矩阵、(求k的值 (2)求矩阵P,使P-1AP为对角矩阵 (3)求m(m≥2).(2019年北京工业大学) 15.设矩阵A=031,求A(n=1,2,…(01年华东师范大学) 00 16.设有n阶矩阵A 其中n>1.(1) )求A (2)求对角阵D以及可逆矩阵X,使得X-1AX=D.(2010年华东师范大学)
8. Ú› A = 3 0 2 −1 1 2 −2 1 1 ©)§– › ¶»/™. (2011cÆÛíåÆ) 9. Oé 2 1 1 1 2 1 1 1 2 100 2 1 3 . (2011cÆÛíåÆ) 10. ¶¸È3×2., 2×3.› (A3×2, B2×3), (C3×2, D2×3) ¶ßljkÉ”¶»AB = CD = 8 2 −2 2 5 4 −2 4 5 . (2012cÆÛíåÆ) 11. ÆÍa0, a1, ..., an, an+1, an+2...˜van+2 − an+1 + 6an = 0. œLƒ an+2 an+1 ! , |^ÉqÈz £, ¶œëan'u–©ëa0, a1 Là™. (2012cÆÛíåÆ) 12. A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 , ¶› P¶P −1APèÈ› . (2017cÆÛíåÆ) 13. Æ› A = 1 0 −1 2 1 −1 1 3 −1 0 −2 1 4 −1 3 3 −1 −5 1 −6 (1)¶òá5 × 5Öùè2› B, ¶AB = 0. (2)ÆC¥˜vAC = 05 × 5› , y²r(C) ≤ 2. (2018ÆÛíåÆ) 14. Æ3 › A = 3 1 2 k −1 k 4 1 3 , Ö3å_› P¶P −1APèÈ› . (1)¶kä. (2)¶› P, ¶P −1APèÈ› . (3)¶Am(m ≥ 2). (2019cÆÛíåÆ) 15. › A = 1 2 1 1 0 1 3 1 0 0 1 5 , ¶An(n = 1, 2, · · ·). (2010cu¿ìâåÆ) 16. kn › A = 0 1 · · · 1 1 1 0 · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 0 1 1 1 · · · 1 0 , Ÿ•n > 1. (1)¶A−1 . (2)¶È D±9å_› X,¶X−1AX = D.(2010cu¿ìâåÆ) 12 厦门大学《高等代数》
17.求一个4阶方阵A,使A的第一行为(4,-2,9,7),且|4|=1.这样的矩阵共有多少个?(2010年华东师范 大学) 18.求n阶矩阵Mn的逆矩阵(n≥3),其中 010.0 (a≠0).(201年华东师范大学) 0 9.求所有3阶复矩阵A,使得A与42相似.(2012年华东师范大学) 0-10 20.设A 1010|,求BA.(2013年华东师范大学) n+2 21.在矩阵A 中取n个数,使得每行每列都恰好只被取到一个数 (n-1)n+1 问:这些取出的数相加之和会有哪些可能的值?(2016年华东师范大学) 22.设(2E-C-1B)AT=C-,其中E是4阶单位阵,A是4阶矩阵A的转置, 12-3 1201 012-3 0120 0012 0012 0001 0001 求A.(2009年北京交通大学) 23.已知三阶矩阵A与三位向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x (1)记P={x,Ax,A2],求三阶矩阵B,使得A=PBP-1 (2)计算行列式A+E,其中E为3阶单位阵.(2010年北京交通大学) 1-26 24.设A=-103,求4,这里k是正整数(2014年北京交通大学) 25.设阶矩阵A=(a1)x×满足A=A,其中A,A分别表示A的伴随矩阵和转置,且a1=a12=a13> 0.(1)求A的行列式.(2)求an的值.(2015年北京交通大学)
17. ¶òá4 ê A, ¶A1ò1è(4, −2, 9, 7), Ö|A| = 1. ˘› kıá? (2010cu¿ìâ åÆ) 18. ¶n › Mn_› (n ≥ 3), Ÿ• Mn = a 0 1 0 · · · 0 0 a 0 1 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . a 0 0 0 · · · · · · 0 a (a 6= 0). (2011cu¿ìâåÆ) 19. ¶§k3 E› A, ¶AÜA2Éq. (2012cu¿ìâåÆ) 20. A = 1 0 −1 0 0 1 0 −1 −1 0 1 0 0 −1 0 1 , ¶BA. (2013cu¿ìâåÆ) 21. 3› A = 1 2 · · · n n + 1 n + 2 · · · 2n . . . . . . . . . (n − 1)n + 1 (n − 1)n + 2 · · · n 2 •náÍ, ¶z1z—T–êòáÍ. Ø: ˘ —ÍÉ\É⁄¨k= åUä? (2016cu¿ìâåÆ) 22. (2E − C −1B)AT = C −1 , Ÿ•E¥4 ¸† , AT¥4 › A =ò, B = 1 2 −3 −2 0 1 2 −3 0 0 1 2 0 0 0 1 , C = 1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 , ¶A. (2009cÆœåÆ) 23. Æn › AÜn†ï˛x, ¶ï˛|x, Ax, A2x Ç5Ã', Ö˜vA3x = 3Ax − 2A2x. (1)PP = [x, Ax, A2x], ¶n › B, ¶A = P BP −1 ; (2)Oé1™|A + E|, Ÿ•Eè3 ¸† . (2010cÆœåÆ) 24. A = −1 −2 6 −1 0 3 −1 −1 4 , ¶Ak , ˘pk¥Í. (2014cÆœåÆ) 25. 3 › A = (aij )3×3˜vA∗ = A 0 , Ÿ•A∗ , A 0©OL´Aäë› ⁄=ò, Öa11 = a12 = a13 > 0. (1)¶A 1™. (2) ¶a11ä. (2015cÆœåÆ) 13 厦门大学《高等代数》
4100 6.设A=130求10.2090年北京科技大学) 210,B 1-1-1)(1)计算矩阵AB以及行列式ABBA (2)求矩阵C,使得CA=B.(2012年北京科技大学) 28.设A=1-41|,间k为何值时,存在可逆矩阵T使得r-14T是对角阵?(205年大连理工大学 001 A000 9.已知A,B都是nxn可逆矩阵,D=EB00,其中E是nxn单位矩阵求D的逆矩阵D-1.(2013 00BE 000A 年大连理工大学) 30设A=-430,(若B=(E+A-(E-A,求E+B 0-45 (2)若BA-4E=A-1BA,求B-1.(2013年大连理工大学 0 31.设A=120,B=01(2013年大连理工大学)(1.何值时A与B等价 00t (2)t为何值时,A与B合同 (3)t为何值时,A是正定矩阵 32.设A为n阶实对称矩阵,E为n阶单位矩阵,若r(A)=k.42+2A=O,求行列式A+3E,(2018年大连 理工大学) 101 33.设A 120,B=000,求可逆矩阵T使得TAT和rBT同时为对角矩阵.(2012年湖南 001 101 大学) 0000 4求矩阵(E+A)-1-E,其中矩阵A 2000 3200·(2015年湖南师范大学) 4320 5.已知a2+b2+c2+d2=√=1,设矩阵A c-dab|,求逆矩阵4-1.(20年湖南师范大学)
26. A = −4 10 0 1 3 0 3 6 1 ,¶A100. (2009cÆâEåÆ) 27. A = 1 1 −1 2 1 0 1 −1 1 , B = 2 1 −2 1 −1 −1 ! (1)Oé› AB0±91™|AB0 BA0 |; (2)¶› C, ¶CA = B. (2012cÆâEåÆ) 28. A = 2 −5 k 1 −4 1 0 0 1 , Økè¤äû, 3å_› T¶T −1AT¥È ? (2015cåÎnÛåÆ) 29. ÆA, B—¥n × nå_› , D = A 0 0 0 E B 0 0 0 0 B E 0 0 0 A , Ÿ•E¥n × n¸†› , ¶D_› D−1 . (2013 cåÎnÛåÆ) 30. A = 3 0 0 −4 3 0 0 −4 5 , (1)eB = (E + A) −1 (E − A), ¶E + B. (2)eBA − 4E = A−1BA, ¶B−1 . (2013cåÎnÛåÆ) 31. A = 2 1 0 1 2 0 0 0 t , B = 1 0 0 0 1 1 0 1 0 . (2013cåÎnÛåÆ) (1)tè¤äû,AÜB d; (2)tè¤äû,AÜB‹”; (3)tè¤äû,A¥½› . 32. Aèn ¢È°› , Eèn ¸†› , er(A) = k. A2 + 2A = O, ¶1™|A + 3E|. (2018cåÎ nÛåÆ) 33. A = 1 −1 0 −1 2 0 0 0 1 , B = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 , ¶å_› T¶T 0 AT⁄T 0 BT”ûèÈ› . (2012c H åÆ) 34. ¶› (E + A) −1 − E, Ÿ•› A = 0 0 0 0 2 0 0 0 3 2 0 0 4 3 2 0 . (2015c HìâåÆ) 35. Æa 2 + b 2 + c 2 + d 2 = √ −1, › A = a b c d −b a d −c −c −d a b −d c −b a , ¶_› A−1 . (2016c HìâåÆ) 14 厦门大学《高等代数》
36.(1)求n×n可逆矩阵T 的逆 (2)已知A=(a)为一个n×n矩阵,而T如上所示,但t1=t2 tn=1.试求T-14T.(2012年 华南理工大学 37.设矩阵A 3120 求A2016.(2016年华南理工大学) 38.已知A (1)求A-1.(2)若AB-A=B,求BAB-1.(2019年华南理工大学) 39.已知一个m×n矩阵A=a(i,j),且a(,j)=min(,j),求|A及A-1.(2020年同济大学) 40.已知矩阵 A 求一个秩为2的4阶矩阵B使得AB=0.(2010年华中科技大学) 41.已知 A=|-k-1k, 可对角化,求k,并求P使得P-1AP为对角阵(2017年华中科技大学) 42.讨论如下n(n≥2)阶复方阵A的秩 ……·yy yy·yx (2013年华中师范大学 43.(20分) (1)设A是n阶方阵且A2=E,但是A≠E且A≠-E,这里n≥3,E是n阶单位矩阵
36. (1)¶n × nå_› T = t1 t2 . . . tn _. (2)ÆA = (aij )èòán×n› , TX˛§´, t1 = t2 = · · · = tn = 1. £¶T −1AT. (2012c uHnÛåÆ) 37. › A = −2 −1 −1 0 3 1 2 0 0 1 −1 −1 3 0 4 1 , ¶A2016. (2016cuHnÛåÆ) 38. ÆA = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 . (1)¶A−1 . (2)eAB − A = B, ¶B 0 AB−1 . (2019cuHnÛåÆ) 39. Æòám × n› A = a(i, j), Öa(i, j) = min(i, j), ¶|A|9A−1 . (2020c”LåÆ) 40. Æ› A = 1 −1 0 −1 1 1 2 −1 1 0 1 −1 1 3 4 −1 , ¶òáùè24 › B ¶ AB = 0 .(2010cu•âEåÆ) 41. Æ A = 3 2 −2 −k −1 k 4 2 −3 , åÈz, ¶ k, ø¶ P ¶ P −1AP èÈ .(2017cu•âEåÆ) 42. ?ÿXe n(n > 2) Eê A ù. A = x y · · · y y y x · · · y y . . . . . . . . . . . . y y · · · x y y y · · · y x . (2013cu•ìâåÆ) 43. (20 ©) (1) A ¥ n ê Ö A2 = E, ¥ A 6= E Ö A 6= −E, ˘p n > 3, E ¥ n ¸†› . 15 厦门大学《高等代数》