课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (线性空间部分) 填空题 361+B2-B3 1如果维向量组(a1024)和(A,2}满足2=21-6的+,则行列式122+a,a= a3=361+2B2+B3 a4=B1-B2-63 (2009年北京工业大学) =361+B2-B3 2如果四维向量组(23和(,BA)满足2=28-5+,则矩阵(-3,2mda a3=1+2B2+B3 B1-B2-7 的秩R(a1-3a4,2a2, alpha3,a4)4(填比较关系)(2010年北京工业大学) 3.设V是实数域R上的n维线性空间记L为V的全体线性变换构成的集合若定义(a+)()=m(n)+ (),(ra)(u)=ra(u),其中,∈Ln,r∈R,U∈V,则装配上这两种运算的L形成一个维 线性空间.(2010年北京工业大学) 4.所有形如xun的实矩阵形成的集合3={xun,y,x,n,都是实数}关于矩阵的乘法形 y 成一个线性空间.此空间的维数是 (2012年北京工业大学) 5.设R为实数域,集合T={vx+yx|,n,x,y∈B}关于矩阵的加法和数乘构成R-线性空间 则T的一组基为 维数是 2013年北京工业大学) 6.设A={01-1,T=BAB=BA,其中B为三阶实方阵,T关于矩阵加法和数乘构成R-线性 空间.则的一组基为,维数是 (2014年北京工业大学) 7.设为实数域,集合V=A∈Rnxn:A=A关于矩阵加法和数乘构成一个实线性空间.则dimV (2016年北京工业大学
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Ç5òm‹©) ò. WòK 1. XJ4ëï˛|{α1, α2, α3, α4} ⁄{β1, β2, β3} ˜v α1 = 3β1 + β2 − β3 α2 = 2β1 − β2 + β3 α3 = 3β1 + 2β2 + β3 α4 = β1 − β2 − β3 , K1™|α1, 2α2, α2+α3, α4| = . (2009 cÆÛíåÆ) 2. XJoëï˛|{α1, α2, α3, α4} ⁄{β1, β2, β3} ˜v α1 = 3β1 + β2 − β3 α2 = 2β1 − 5β2 + β3 α3 = β1 + 2β2 + β3 α4 = β1 − β2 − 7β3 , K› (α1−3α4, 2α2, alpha3, α4) ùR(α1 − 3α4, 2α2, alpha3, α4) 4.(W''X) (2010cÆÛíåÆ) 3. V ¥¢ÍçR˛nëÇ5òm.PLvèV NÇ5Cܧ8‹. e½¬(A +B)(v) = A (v)+ B(v), (rA )(v) = rA (v) , Ÿ•A , B ∈ Lv, r ∈ R, v ∈ V , KC˛˘¸´$éLv/§òá ë Ç5òm. (2010cÆÛíåÆ) 4. §k/X u v w x u v y x u ¢› /§8‹T3 = { u v w x u v y x u |x, y, u, v, w—¥¢Í} 'u› ¶{/ §òáÇ5òm. dòmëÍ¥ . (2012cÆÛíåÆ) 5. Rè¢Íç, 8‹T = { u v u v x + y x u x u |u, v, x, y ∈ R} 'u› \{⁄Ͷ§R−Ç5òm. KTò|ƒè , ëÍ¥ . (2013cÆÛíåÆ) 6. A = { 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 , T = B|AB = BA, Ÿ•Bèn ¢ê , T'u› \{⁄Ͷ§R− Ç5 òm. KTò|ƒè , ëÍ¥ . (2014cÆÛíåÆ) 7. Rè¢Íç, 8‹V = A ∈ R n×n : A 0 = A'u› \{⁄Ͷ§òá¢Ç5òm. KdimV = . (2016cÆÛíåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
8.将复数域看成它自身的线性空间,它的维数是 (2017年北京工业大学) 9.设向量a=(1,2,-1,1),B=(2,1,0,4,y=(4,5,-2,t)线性相关,则t (2017年北京工业大 学 10.设a1=(1,1,1,2),a2=(4,6,2a+7,10)2,a3=(3a+42a+5,a+7)r,B=(2,3,2a+3,5)2,若β不 能用a1,a2,a3线性表示,则a=(2090年北京交通大学) 11.设线性空间Q(√2)={a+b2a,b为任意有理数},则其基和维数分别是(201年北京交通 大学) 2.设向量组a1=(1,2,1,3),a2=(1,1,-1,1),a3=(1,3,3,5),a4=(4,5,-2,6),a5=(-3,-5,-1,-7 则其秩为 (2010年北京交通大学) 13.设R[z3是次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间,取其两个基: II: B1 x2,B2 B3=1+x+x2 则基到基Ⅱ的过渡矩阵为(2010年北京交通大学) 14.设W={(a1)∈Pxa1+a+a33+a34=0,a4+a2+a4+a44=0},则W是Px的子空间 dim(w) (2011年北京交通大学) 15.若向量组a1=(1,0,1),a2=(a,-1,0),a3=(-1,a,-1)的秩是2,则a= (2012年北京交通 大学) 6.设数域上P上次数小于n的所有多项式构成的线性空间为Pr]n,若f(x)∈P团n则f(x)在P[]n的 组基为1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)-1下的坐标为 (2013年北京交通大学) 17.设A W={B|BA=AB,B∈R2×2}则是W的一组基.(2015年北京交通大学 设向量组a,a2,a线性无关,当t满足时,a1+t2,a2+tas,as+tan也线性无关.(2017年北京 交通大学) 19.设V为数域F上的一切n阶对称矩阵所构成的向量空间,则dimV= (2017年北京交通大学) 100 20.设矩阵A 设V={f(A)f(x)∈R[xl},dimV V的一组基 00a2 为 (2011年北京交通大学 21.从R的基a1=(1,0,1),a2=(1,1,-1),a3=(0,1,0)到基B1=(1,-2,1),B2=(1,2,-1),B3 (0,1,-2)的过渡矩阵P (2011年北京科技大学
8. ÚEÍçw§ßg Ç5òm, ßëÍ¥ . (2017cÆÛíåÆ) 9. ï˛α = (1, 2, −1, 1), β = (2, 1, 0, 4), γ = (4, 5, −2, t)Ç5É', Kt = . (2017cÆÛíå Æ) 10. α1 = (1, 1, 1, 2)T , α2 = (4, 6, 2a + 7, 10)T , α3 = (3, a + 4, 2a + 5, a + 7)T , β = (2, 3, 2a + 3, 5)T , eβÿ U^α1, α2, α3Ç5L´, Ka = . (2009cÆœåÆ) 11. Ç5òmQ( √ 2) = {a + b √ 2|a, bè?øknÍ}, KŸƒ⁄ëÍ©O¥ . (2010cÆœ åÆ) 12. ï˛|α1 = (1, 2, 1, 3), α2 = (1, 1, −1, 1), α3 = (1, 3, 3, 5), α4 = (4, 5, −2, 6), α5 = (−3, −5, −1, −7), KŸùè . (2010cÆœåÆ) 13. R[x]3¥gÍu3§k¢XÍıë™|§Ç5òm, Ÿ¸áƒ: I : α1 = 1, α2 = 1 + x, α3 = 1 + x + x 2 ; II : β1 = 1 + x 2 , β2 = x + x 2 , β3 = 1 + x + x 2 . KƒIƒIILfi› è . (2010cÆœåÆ) 14. W = {(aij ) ∈ P 4×4 |a31 + a32 + a33 + a34 = 0, a41 + a42 + a43 + a44 = 0}, KW¥P 4×4fòm, dim(W) = . (2011 cÆœåÆ) 15. eï˛|α1 = (1, 0, 1), α2 = (a, −1, 0), α3 = (−1, a, −1) ù¥2, Ka = . (2012cÆœ åÆ) 16. Íç˛P˛gÍun§kı뙧Ç5òmèP[x]n, ef(x) ∈ P[x]n. Kf(x)3P[x]n ò |ƒè1, x − a,(x − a) 2 , · · · ,(x − a) n−1eãIè . (2013cÆœåÆ) 17. A = 1 0 3 1 ! , W = {B|BA = AB, B ∈ R 2×2} K ¥Wò|ƒ. (2015cÆœåÆ) 18. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', t˜v û, α1 + tα2, α2 + tα3, α3 + tα1 èÇ5Ã'. (2017cÆ œåÆ) 19. V èÍçF˛òÉn È°› §§ï˛òm, KdimV = . (2017cÆœåÆ) 20. › A = 1 0 0 0 ω 0 0 0 ω 2 , ω = −1+√ 3i 2 , V = {f(A)|f(x) ∈ R[x]}, dimV = , V ò|ƒ è . (2011 cÆœåÆ) 21. lR3ƒα1 = (1, 0, 1)0 , α2 = (1, 1, −1)0 , α3 = (0, 1, 0)0ƒβ1 = (1, −2, 1)0 , β2 = (1, 2, −1)0 , β3 = (0, 1, −2)0Lfi› P = . (2011cÆâEåÆ) 2 厦门大学《高等代数》
22.设向量组a1,a2,a3线性无关,当t满足 时,a1+ta2,a2+ta3,a3+tan也线性无关.(2012年 湖南师范大学) 23.设P]4是数域P上的所有次数不大于3的多项式以及零多项式所组成的线性空间.已知1,1+x,1+ x+x2,1+x+x2+x3是一组基,则P]4中元素2+x+x3关于该基的坐标是 (2014年湖南 师范大学 24.设n维线性空间v的线性变换x在V的一组基下的矩阵是A,且已知齐次线性方程组AX=0的解空间 的维数是s,则dimV= (2014年湖南师范大学) 5.设a;=(an,a2,a,a4),=1,2,3:;=(a1j,a2y,a3y),j=1,2,3,4.如果向量组a1,a2,a3线性无 关,则向量组B1,B2,B3,B4的秩为 6.设a1,a2,a3线性无关,B1=3a1+(k+1)a2+5a3,B2=ka1+a2+a3,B3=ka2+4a3,则1,B2,B3 线性相关的充要条件是k= 27.设a1,a2,…,an是数域P上的线性空间v的一组秩为r的向量组,则使得k1a1+k2a2+…+ knan=0的n维向量(k,k2,…,kn)的全体构成的集合是Pn的维子空间 8.Fx3为F上所有三阶矩阵组成的集合,令V={4A∈F3x3}(其中tr(4)=0且A为上三角矩 阵),则dimV 100 9.设A=020,v={B∈F×AB=BA},则V为F上维线性空间,基为 003 0 0.设A=0011,V={B∈F×AB=BA},则V为上维线性空间基为 31.设B1=a2+a3+…+ar,B2=a1+a3+…+ar,…,B-1=a1+…+ar-2+ar,B=a1+a2+…+ar-1 则a1,…,ar之秩s与B1,……,B之秩t的关系是 32.设a1,Q2a3是3维向量空间R3的一组基,则由基a12a2a3到基a1+a2,a2+a3,a3+a1的 过渡矩阵是 33.四维线性空间v上线性变换的最小多项式是x(x-1),值域维数是2,则存在V上的一组基,使 得在此组基下矩阵是对角阵A 4.设A=001,v={B∈FxAB=BA},则V为F上维线性空间,基为 000
22. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', t˜v û, α1 + tα2, α2 + tα3, α3 + tα1 èÇ5Ã'. (2012c HìâåÆ) 23. P[x]4¥ÍçP˛§kgÍÿåu3ıë™±9"ı뙧|§Ç5òm. Æ1, 1 + x, 1 + x + x 2 , 1 + x + x 2 + x 3¥ò|ƒ, KP[x]4•É2 + x + x 3'uTƒãI¥ . (2014c H ìâåÆ) 24. nëÇ5òmV Ç5CÜA 3V ò|ƒe› ¥A, ÖƇgÇ5êß|AX = 0)òm ëÍ¥s, KdimA V = . (2014c HìâåÆ) 25. αi = (ai1, ai2, ai3, ai4), i = 1, 2, 3; βj = (a1j , a2j , a3j ), j = 1, 2, 3, 4. XJï˛| α1, α2, α3 Ç5à 'ßKï˛| β1, β2, β3, β4 ùè . 26. α1, α2, α3 Ç5Ã', β1 = 3α1 + (k + 1)α2 + 5α3, β2 = kα1 +α2 +α3, β3 = kα2 + 4α3, K β1, β2, β3 Ç5É'øá^ᥠk = . 27. α1, α2, · · · , αn ¥Íç P ˛Ç5òm V ò|ùè r ï˛|, K¶ k1α1 + k2α2 + · · · + knαn = 0 n ëï˛ (k1, k2, · · · , kn) N§8‹¥ P n ëfòm. 28. F 3×3 è F ˛§kn › |§8‹, - V = A|A ∈ F 3×3 (Ÿ• tr(A) = 0 Ö A è˛n› ), K dim V = . 29. A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , V = B ∈ F 3×3 |AB = BA , K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè . 30. A = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , V = B ∈ F 3×3 |AB = BA , K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè . 31. β1 = α2+α3+· · ·+αr, β2 = α1+α3+· · ·+αr, · · · , βr−1 = α1+· · ·+αr−2+αr, βr = α1+α2+· · ·+αr−1 K α1, · · · , αr Éù s Ü β1, · · · , βr Éù t 'X¥ . 32. α1, α2, α3 ¥3ëï˛òm R 3 ò|ƒ, Kdƒ α1, 1 2 α2, 1 3 α3 ƒ α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 Lfi› ¥ . 33. oëÇ5òm V ˛Ç5CÜ A Åı뙥 x(x − 1), äçëÍ¥ 2, K3 V ˛ò|ƒ, ¶ A 3d|ƒe› ¥È A = . 34. A = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , V = B ∈ F 3×3 |AB = BA , K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè . 3 厦门大学《高等代数》
5设A=011v={Af()∈F(x),则V为F上维线性空间基为 001 选择题 1.如果n维空间中的向量组a1,2a2,…,am线性无关,向量B与ak(k=1,2,…,m)都正交,则向量组a1,2a2,…,am,B 然().(2009年北京工业大学) (4)线性无关 (B)线性相关 (C)可能线性相关,有可能线性无关; (D)前三个选项都不正确 2.若S1={a1,a2,…,ax},S2={B1,B2,…,B}是有限维向量空间v的两个线性无关向量组,且r<t, 则().(2011年北京工业大学) (A)一定存在B∈S2,使得S1U{Bn}仍是线性无关的 (B)一定不存在1∈S2,使得S1U{Bn}仍是线性无关的 (C)可能存在S3={61,B2,…,B1-}sS2,使得S1US3是线性无关的(其中1≤j<…<j-r≤t); (D)前三个选项都不正确 3.设自然数m>n>1,R表示实数域.记m×n型实矩阵(a)mxn的行向量组为{a1,a2,…,am},列向 量组为{B1,B2,…,Bn}.若它们线性组合成的向量空间分别记为S1={1a1+2a2+…+Anam|1∈ R,=1,2,…,m},S2={1B1+m2B2+…+mnBn∈R,i=1,2,…,n}则维数dimS1,dimS2之间 的关系是().(2012年北京工业大学) (A)dimS> dim S2 (B)dimS dim S2 (C)dimS= dims (D)没有确定的大小比较关系 4.设向量组I:a1,a2,…,ar可由向量组IB1,B2,…,B线性表示,则().(2013年北京工业大学 (A)当r<s时,向量组I必线性相关; (B)当r>s时,向量组∏必线性相关; (C)当r<s时,向量组I必线性相关; (D)当r>s时,向量组I必线性相关 5.向量组a1,a2,a3线性无关,而a2,a3,a4线性相关,则下面论断正确的是().(2014年北京工业大学)
35. A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 , V = {f(A)|f(x) ∈ F(x)}, K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè: . . ¿JK 1. XJnëòm•ï˛|α1, 2α2, · · · , αm Ç5Ã', ï˛βÜαk(k = 1, 2, · · · , m)—, Kï˛|α1, 2α2, · · · , αm, β7 ,( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A)Ç5Ã'; (B)Ç5É'; (C)åUÇ5É', kåUÇ5Ã'; (D)cná¿ë—ÿ(. 2. eS1 = {α1, α2, · · · , αr}, S2 = {β1, β2, · · · , βt}¥kÅëï˛òmV ¸áÇ5Ã'ï˛|, Ör < t, K( ). (2011 cÆÛíåÆ) (A)ò½3βh ∈ S2, ¶S1 ∪ {βh} E¥Ç5Ã'; (B)ò½ÿ3βh ∈ S2, ¶S1 ∪ {βh}E¥Ç5Ã'; (C)åU3S3 = {βj1 , βj2 , · · · , βjt−r } ⊆ S2, ¶S1 ∪ S3 ¥Ç5Ã'(Ÿ•1 ≤ j1 < · · · < jt−r ≤ t); (D)cná¿ë—ÿ(. 3. g,Ím > n > 1, RL´¢Íç. Pm × n.¢› (aij )m×n1ï˛|è{α1, α2, · · · , αm}, ï ˛|è{β1, β2, · · · , βn}. eßÇÇ5|‹§ï˛òm©OPèS1 = {λ1α1 +λ2α2 +· · ·+λmαm|λi ∈ R, i = 1, 2, · · · , m}, S2 = {γ1β1 + γ2β2 + · · · + γnβn|γi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n} KëÍdimS1, dimS2Ém 'X¥( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)dimS1 > dimS2; (B)dimS1 < dimS2; (C)dimS1 = dimS2; (D)vk(½å''X. 4. ï˛|I : α1, α2, · · · , αr ådï˛|IIβ1, β2, · · · , βsÇ5L´, K( ). (2013cÆÛíåÆ) (A)r < sû, ï˛|II7Ç5É'; (B)r > sû, ï˛|II7Ç5É'; (C)r < sû, ï˛|I7Ç5É'; (D)r > sû, ï˛|I7Ç5É'. 5. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', α2, α3, α4Ç5É', Ke°ÿ‰(¥( ). (2014cÆÛíåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
(A)a1能被a2,a3,a4线性表出 (B)a1不能被a2a3,a4线性表出 (C)a1能被a3,a4线性表出; (D)a4不能被a2,a3线性表出 6.设向量组I:a1,a2,…,a,可由向量组IB1,B2,…,B线性表示,则().(2016年北京工业大学) (A)当s<t时,向量组必线性无关; (B)当s<时,向量组必线性相关 (C)当线性无关时,必有s<t (D)当线性无关时,必有s<t 7.设v为n为线性空间,,v是V的子空间,若v=V+V2,下列选项正确的是().(2017年北京工业 大学) (An= dimI dimv2 (B)n≤dimV+dimV2 (C)ⅵ∩v=0 (D)V∩V2≠0 (010年北京交个mm线性无关则维列向量A,…,m线性无关的充要条件是() 8.设n维向量a1,a2 (4)向量组a1,a2,…,am可由向量组1,B2,…,Bn线性表示; (B)向量组,B2,…,Bm可由向量组a1,a2,…,am线性表 (C)向量组a1,a2,…,am与向量组B1,B2,…,Bm等价 (D)矩阵A=(a1,a2,…,am)与矩阵B=(31,B2,…,Bn)的秩相等 9.下列能构成R2×2子空间的是().(2015年北京交通大学) (AV1={A|4=0.,A∈R2×2} (B)V={A|tr(4)=0,A∈R2×2 (C)V={A|A2=A,A∈R2×2 (D)V4={A|A=A或-A,A∈R2x2} 10.设a1,a2,…,an,B,是数域P上线性空间v中的向量,秩(a1,a2,…,an,B)=秩(a1,a2,…,an=r且 秩(a1,a2,…,an,)=r+1,则对任意k∈P,秩(a1,a2,…,an,B,7+kB=().(2015年北京交通大 学)
(A)α1Uα2, α3, α4Ç5L—; (B)α1ÿUα2, α3, α4Ç5L—; (C)α1Uα3, α4Ç5L—; (D)α4ÿUα2, α3Ç5L—. 6. ï˛|I : α1, α2, · · · , αs ådï˛|IIβ1, β2, · · · , βtÇ5L´, K( ). (2016cÆÛíåÆ) (A)s < tû, ï˛|I7Ç5Ã'; (B)s < tû, ï˛|I7Ç5É'; (C)IÇ5Ã'û, 7ks < t; (D)IIÇ5Ã'û, 7ks < t. 7. V ènèÇ5òm, V1, V2¥V fòm, eV = V1 + V2, e¿ë(¥( ). (2017cÆÛí åÆ) (A)n = dimV1 + dimV2; (B)n ≤ dimV1 + dimV2; (C)V1 ∩ V2 = ∅; (D)V1 ∩ V2 6= ∅. 8. nëï˛α1, α2, · · · , αm(m < n)Ç5Ã', Knëï˛β1, β2, · · · , βmÇ5Ã'øá^á¥( ). (2015cÆœåÆ) (A)ï˛|α1, α2, · · · , αmådï˛|β1, β2, · · · , βmÇ5L´; (B)ï˛|β1, β2, · · · , βmådï˛|α1, α2, · · · , αmÇ5L´; (C)ï˛|α1, α2, · · · , αmÜï˛|β1, β2, · · · , βm d; (D)› A = (α1, α2, · · · , αm)Ü› B = (β1, β2, · · · , βm)ùÉ . 9. eU§R 2×2fòm¥( ). (2015 cÆœåÆ) (A)V1 = {A | |A| = 0, A ∈ R 2×2}; (B)V2 = {A | tr(A) = 0, A ∈ R 2×2}; (C)V3 = {A | A2 = A, A ∈ R 2×2}; (D)V4 = {A | A 0 = A½ − A, A ∈ R 2×2}. 10. α1, α2, · · · , αn, β, γ¥ÍçP˛Ç5òmV •ï˛, ù(α1, α2, · · · , αn, β) =ù(α1, α2, · · · , αn = rÖ ù(α1, α2, · · · , αn, γ) = r + 1, KÈ?øk ∈ P, ù(α1, α2, · · · , αn, β, γ + kβ =( ). (2015cÆœå Æ) 5 厦门大学《高等代数》