课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (入-矩阵部分) 一.填空题 1-入2入-1入 1.x-矩阵x2-X的不变因子为 (2010年北京交通大学) 1+X2A3+A-1-2 入2-100 2.A二矩阵0x0的标准型为(010北京交通大学) 00(A+1)3 A(A+1)00 3.设入-矩阵A(A) 0X0.则A(x)的标准型为 (2012年北京交通大学) (A+1)2 4.入-矩阵 x2+A0的标准型为 (2013年北京交通大学 5.若A是十阶非零矩阵且A2=0,则A的 ordan标准型中 Jordan块的最大阶数为(2015年北 京交通大学) 6.设矩阵A的特征多项式为(A+1)3(A-2)2(A+3),极小多项式为(X+1)2(A-2)2(+3),则A的 Jordan标 准型是 (2015年北京交通大学) 7.设矩阵A的初等因子为(X-1)2,(A-2)2,则A的 Jordan标准型是 (2013年北京科技大学) 8.设四阶矩阵A的特征多项式为m(入)=(X-1)2(A-2),写出4的所有可能的 ordan标准型 (2015年 大连理工大学) 9.设矩阵A=101.如果将A看成复数域上的矩阵则其 Jordan标准型为 如果将A 看成有理数域上的矩阵,其有理标准型为
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (λ−› ‹©) ò. WòK 1. λ−› 1 − λ 2λ − 1 λ λ λ2 −λ 1 + λ 2 λ 3 + λ − 1 −λ 2 ÿCœfè . (2010cÆœåÆ) 2. λ−› λ 2 − 1 0 0 0 λ 0 0 0 λ(λ + 1)3 IO.è . (2011cÆœåÆ) 3. λ−› A(λ) = λ(λ + 1) 0 0 0 λ 0 0 0 (λ + 1)2 , KA(λ)IO.è . (2012cÆœåÆ) 4. λ−› λ 2 + 1 λ 2 −λ 2 1 λ 2 + λ 0 λ λ −λ IO.è . (2013cÆœåÆ) 5. eA¥õ ö"› ÖA2 = 0, KAJordanIO.•Jordan¨Åå Íè . (2015c ÆœåÆ) 6. › AAıë™è(λ+ 1)3 (λ−2)2 (λ+ 3), 4ıë™è(λ+ 1)2 (λ−2)2 (λ+ 3), KAJordanI O.¥ . (2015cÆœåÆ) 7. › A– œfè(λ − 1)2 ,(λ − 2)2 , KAJordanIO.¥ . (2013cÆâEåÆ) 8. o › AAıë™èm(λ) = (λ−1)2 (λ−2), —A§kåUJordanIO. .(2015c åÎnÛåÆ) 9. › A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 . XJÚ A w§EÍ粛 , KŸ Jordan IO.è , XJÚ A w§knÍ粛 , ŸknIO.è . 1 厦门大学《高等代数》
10.设4级数字矩阵A的最小多项式为(X+1)3,则A的全部不变因子为 11.设4级数字矩阵A的最小多项式为(A+1)3,则A的全部行列式因子为 2-412 12.设矩阵A 206,则其初等因子为 Jordan标准型为 13.五维复线性空间v上的线性变换a的最小多项式为x(x-1)2,值域维数为4,则存在v的 组基,使得x在此组基下的矩阵是 Jordan矩阵为 二.选择题 1.下列结论中正确的是().(2015年北京交通大学) (A)特征矩阵AEn-A的秩一定等于n (B)若A() 入 则A()的不变因子为入1 (C)设A,B∈Pmxn,若A与B等价,则它们有相同的行列式因子组 (D若两个同阶的入-矩阵有相同的秩则它们一定等价 2.设A为n阶方阵,下列说法中错误的有 (2017年北京交通大学) (1)A与对角矩阵相似的充要条件是A的最小多项式无重根 (2)A与对角矩阵相似的充要条件是A的不变因子都没有重根 (3)A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个不同的特征值 (4)A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的 (A)1 3.设矩阵A与矩阵B相似,则有() A.A与B有相同的特征值 B.A与B有相同的特征向量 C.A与B有相同的特征多项式 D.A与B有相同的行列式 三计算题 1.矩阵A的特征多项式为f(x)=(x-1)2(x+3).求A的 Jordan标准型.(2013年北京大学) 2.在R上定义线性变换AA在自然基1=0,2=1,e3=0下的矩阵为001 求R3的一组基,使得A在这组基下具有 ordan型.(2016年北京大学)
10. 4?Íi› A Åıë™è (λ + 1)3 , K A ‹ÿCœfè . 11. 4?Íi› A Åıë™è (λ + 1)3 , K A ‹1™œfè . 12. › A = −2 −4 12 −2 0 6 −2 −2 8 , KŸ– œfè , Jordan IO.è . 13. ëEÇ5òm V ˛Ç5CÜ A Åıë™è x(x − 1)2 , äçëÍè 4, K3 V ò |ƒ, ¶ A 3d|ƒe› ¥Jordan › è: . . ¿JK 1. e(ÿ•(¥( ). (2015cÆœåÆ) (A) A› λEn − Aùò½ un (B) eA(λ) = 1 λ λ 2 , KA(λ) ÿCœfèλ, λ2 (C)A, B ∈ P n×n, eAÜB d, KßÇkÉ”1™œf| (D)e¸á” λ−› kÉ”ù, KßÇò½ d 2. Aèn ê , e`{•Üÿk á. (2017cÆœåÆ) (1)AÜÈ› Éqøá^á¥AÅıë™Ãä (2)AÜÈ› Éqøá^á¥AÿCœf—vkä (3)AÜÈ› Éqøá^á¥Aknáÿ”Aä (4)AÜÈ› Éqøá^á¥A– œf èòg (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3. › A Ü› B Éq, Kk£ § A. A Ü B kÉ”Aä; B. A Ü B kÉ”Aï˛; C. A Ü B kÉ”Aıë™; D. A Ü B kÉ”1™. n.OéK 1. › AAıë™èf(x) = (x − 1)2 (x + 3). ¶AJordan IO.. (2013cÆåÆ) 2. 3R 3˛½¬Ç5CÜA, A3g,ƒε1 = 1 0 0 , ε2 = 0 1 0 , ε3 = 0 0 1 e› è 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 . ¶R 3ò|ƒ, ¶A3˘|ƒe‰kJordan .. (2016cÆåÆ) 2 厦门大学《高等代数》
设阶方阵A=(E EE其中E是n阶单位矩阵(2016年北京交通大学) (1)求A的特征多项式; (2)求A的极小多项式; (3)求A的若当标准型 1A0 0-1A…0an-2 4.求矩阵A(A) 的不变因子和行列式因子(2017年北京交通大学) 000…-1A+a1 5.设A=-94-6(2012年北京科技大学) (1)求A的初等因子; (2)求出A的 Jordan标准型 0 入0 0x2 6.设A(X)=(-1)2000(2014年北京科技大学) (1)求A(入)的不变因子 2)求A(入)的标准型 7.设A=0123 求矩阵A的 0012 0001 (1)不变因子 (2)初等因子; (3)若当标准型矩阵,并求矩阵T,使得T-1AT=L.(2016年北京科技大学) 8.A是4阶矩阵且有特征值1,又A只有一个线性无关的特征向量,求A的 Jordan标准型.(2011年大连理 工大学) 9.设矩阵4=a20|.试问矩阵A可能有什么样的 JOrdani标准型?试给出该矩阵可对角化的充分必 要条件.(2012年湖南大学) 37-3 10.设A=-2-52,求A的 Jordan标准型J.(2015年湖南大学) -4-103
3. 2n ê A = −E E E E ! , Ÿ•E¥n ¸†› .(2016cÆœåÆ) (1)¶AAıë™; (2)¶A4ıë™; (3)¶AeIO.. 4. ¶› A(λ) = λ 0 0 · · · 0 an −1 λ 0 · · · 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 an−2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · λ a2 0 0 0 · · · −1 λ + a1 ÿCœf⁄1™œf.(2017cÆœåÆ) 5. A = 4 −1 2 −9 4 −6 −9 3 −5 (2012cÆâEåÆ) (1)¶A– œf; (2)¶—AJordanIO.. 6. A(λ) = 0 0 λ 2 − λ 0 0 0 0 λ 2 (λ − 1)2 0 0 0 0 λ 2 − λ 0 0 (2014cÆâEåÆ) (1)¶A(λ)ÿCœf. (2)¶A(λ)IO.. 7. A = 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 , ¶› A (1)ÿCœf; (2)– œf; (3)eIO.› I, ø¶› T, ¶T −1AT = I. (2016 cÆâEåÆ) 8. A¥4 › ÖkAä1, qAêkòáÇ5Ã'Aï˛, ¶AJordanIO.. (2011cåÎn ÛåÆ) 9. › A = 2 0 0 a 2 0 b c −1 , £Ø› AåUküoJordanIO.?£â—T› åÈzø©7 á^á. (2012c HåÆ) 10. A = 3 7 −3 −2 −5 2 −4 −10 3 , ¶AJordanIO.J. (2015c HåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
1l设n()=0c…0,其中c∈C.求J1(o的伴随矩阵1()的 ordan标准型(20年华东师范 000 大学) 21-10 12.求矩阵A 203-1-20 的特征值、极小多项式以及 Jordan标准型.(2011年华东师范大学) 50-4-4 3.求矩阵A 7-60 的特征多项式、初等因子组、极小多项式以及 Jordan标准型.(2012年 -6-7-1-7 华东师范大学) 31000 0-3000 14.设矩阵A=0000求P的不变因子组、初等因子组、极小多项式以及mn标准型 00100 00010 (2013年华东师范大学) 5.设n阶矩阵An 其特征多项式记为fn(A).(204年华东师范大学) (1)证明:fn(A)=(+2)fn-1(A)-fn-2(); (2)求f1(A),f(A),f3(),并求相应的特征值及特征向量 (3)试写出A3的 JJordan标准型 16.已知5阶复方阵A的特征多项式为f4(A)及极小多项式mA()分别为fA()=(A-1)2(x+2)2,mA(A)= (A-1)2(X+2),求A的 Jordan标准型.(2018年华东师范大学) 17.记Vn(n≥0)为次数不大于n的关于x,y的实系数二元多项式生成的空间.求V上线性变换 ma=2+ 的 Jordan标准型,并推广到一般情形.(2019年华东师范大学)
11. Jn(c) = c 1 0 · · · 0 0 c 1 · · · 0 0 0 c · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · c , Ÿ•c ∈ C. ¶Jn(c)äë› Jn(c) ∗JordanIO.. (2010cu¿ìâ åÆ) 12. ¶› A = 2 1 −1 0 20 3 −1 −20 20 3 1 −20 5 1 −1 −3 Aä!4ıë™±9JordanIO.. (2011 cu¿ìâåÆ) 13. ¶› A = 5 0 −4 −4 6 8 1 8 14 7 −6 0 −6 −7 −1 −7 Aıë™!– œf|!4ıë™±9JordanIO.. (2012 c u¿ìâåÆ) 14. › A = −3 1 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 , ¶A2ÿCœf|!– œf|!4ıë™±9JordanIO.. (2013cu¿ìâåÆ) 15. n › An = −2 1 1 −2 1 1 −2 1 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 −2 , ŸAıë™Pèfn(λ). (2014cu¿ìâåÆ) (1)y²:fn(λ) = (λ + 2)fn−1(λ) − fn−2(λ); (2)¶f1(λ), f2(λ), f3(λ), ø¶ÉAAä9Aï˛; (3)£—A3 JordanIO.. 16. Æ5 Eê AAıë™èfA(λ)94ıë™mA(λ)©OèfA(λ) = (λ − 1)3 (λ + 2)2 , mA(λ) = (λ − 1)2 (λ + 2), ¶AJordanIO.. (2018cu¿ìâåÆ) 17. PVn(n ≥ 0)ègÍÿåun'ux, y¢XÍıë™)§òm. ¶V2˛Ç5CÜ mA = 2 ∂ ∂x + ∂ ∂y JordanIO., øÌ2òÑú/. (2019cu¿ìâåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
18.求矩阵-430的Jmn标准型.(2012年华南理工大 19.已知矩阵AE-A与 求A的特征多项式、极小多项式、初等因子以及不变因子.(2010年同济大学) 20.若4阶复矩阵A的极小多项式为A2(X-1).求A的所有可能的若尔当标准形.(2015年华中科技大 学) 21.(1)求3阶矩阵 的若尔当标准形 (2)就参数A的不同取值,讨论方程组 4x1+5x2-5x3=-1 解的情形,并且在有解的情况之下写出它的通解 2016年华中科技大学 设A 4-5-24 试求A的 Jordan标准型和有理标准型 003-2 002-1 1000 1000 -100 设A 1100 0200 0100 B 0020 0120 002-1 0012 0001 0002 1.求C的行列式因子,不变因子和初等因子 2.指出A与B,B与C是否相似,并说明理由 24.设A=x4y有3个线性无关的特征向量且A=2是A的二重特征值 求x,y的值 2.求可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵
18. ¶› −1 −1 0 −4 3 0 1 0 2 JordanIO.. (2012cuHnÛåÆ) 19. Æ› λE − AÜ −λ − 4 λ − 2 λ − 4 ¶AAıë™!4ıë™!– œf±9ÿCœf. (2010c”LåÆ) 20. e4 E› A 4ıë™è λ 2 (λ − 1) . ¶ A §kåUeIO/. (2015cu•âEå Æ) 21. (1) ¶3 › 4 6 0 −3 −5 0 −3 −6 1 eIO/. (2) “ÎÍ λ ÿ”ä, ?ÿêß| 2x1 + λx2 − x3 = 1 λx1 − x2 + x3 = 2 4x1 + 5x2 − 5x3 = −1 )ú/, øÖ3k)ú¹Ée—ßœ). (2016cu•âEåÆ) 22. A = 3 −4 0 2 4 −5 −2 4 0 0 3 −2 0 0 2 −1 , £¶ A Jordan IO.⁄knIO.. 23. A = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 , B = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 , C = 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 2 . 1. ¶ C 1™œf, ÿCœf⁄– œf. 2. ç— A Ü B, B Ü C ¥ƒÉq, ø`²nd. 24. A = 1 −1 1 x 4 y −3 −3 5 k3 áÇ5Ã'Aï˛Ö λ = 2 ¥ A Aä. 1. ¶ x, y ä. 2. ¶å_› P ¶ P −1AP èÈ› . 5 厦门大学《高等代数》