课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (矩阵部分) 一.填空题 1.A是3阶矩阵,B=-(4”).如果A200=E,则B200 (200北京工业大学) 2.记矩阵A=1-119第三列三个位置的代数余子式依次是A1,A23,A3,则表达式A13+A23+ 25A .(2009北京工业大学) 100/24651 3.矩阵乘积0101110-1 (2009北京工业大学) -201/3910112 4.矩阵方程010X=101的解X 2009北京工业大学 5.如果A a53 B是3阶非零矩阵,且AB=0,则a=(2010北京工业大学) 0-1-1 6.如果n阶方阵的每一行,每一列都只有一个元素1,其余元素是0.,则称其为置换矩阵.则所有n阶置换 入的列式的和为 (2010北京工业大学) 7记矩阵|-201|第三列三个位置的代数余子式依次是A4A,4则表达式=343+s42 2 (2010北京工业大学) 100/1102 .矩阵乘积0102301/0100 (2010北京工业大学) 0001 201八(2204 0010
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (› ‹©) ò. WòK 1. A¥3 › , B = −(A∗ ) 0 . XJA2009 = E, KB2009 = . (2009ÆÛíåÆ) 2. P› A = 1 1 10 1 −1 19 1 5 25 1nná†òìÍ{f™ùg¥A13, A23, A33, KLà™A13 + A23 + 25A33 = . (2009ÆÛíåÆ) 3. › ¶» 1 0 0 0 1 0 −2 0 1 2 4 6 5 1 1 1 1 0 −1 3 9 10 11 2 = . (2009ÆÛíåÆ) 4. › êß 1 −2 1 0 1 0 0 −1 1 X = 1 1 1 1 0 1 1 −1 0 )X = . (2009 ÆÛíåÆ) 5. XJA = 2 2 1 a 5 3 2 3 2 0 −1 −1 , B¥3 ö"› , ÖAB = 0, Ka = . (2010ÆÛíåÆ) 6. XJn ê zò1, zò—êkòáÉ1, Ÿ{É¥0, K°ŸèòÜ› . K§kn òÜ › 1™⁄è . (2010ÆÛíåÆ) 7. P› 0 2 −5 −2 0 1 3 −8 21 1nná†òìÍ{f™ùg¥A13, A23, A33, KLà™−3A13+8A23 = . (2010ÆÛíåÆ) 8. › ¶» 1 0 0 0 1 0 −2 0 1 1 1 0 2 2 3 0 1 2 2 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 = . (2010ÆÛíåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
9.矩阵方程X010 101的解X (2010北京工业大学) 0-11 1-10 10.记A=cos60-sin6,则A是可逆的,求逆矩阵A-1 (2010北京工业大学) sin 60 cos e 111 11.记矩阵-23-1第三列三个位置的代数余子式依次是A13,A23,A3,则表达式-A1+5423-25Ax (2011北京工业大学 100/110-2 12.矩阵乘积-3102301 (2011北京工业大学) 001/220-4 13.矩阵方程X010 10)的解X (2011北京工业大学) 101 4.如果A= 3,B是3阶非零矩阵,且BA=0,则a (201北京工业大学) 211 记-m32m则的逆知阵2 .(2011北京工业大学) 11 16.已知n(自然数n≥1)阶方阵J=(1)nxn的所有元素都是1,A=(a1)nxn中除了a1外,其余元素au=0 如果J和A相似,则a1 (2012北京工业大学) 17.如果A是n(自然数n≥1阶方阵,E是同阶单位矩阵,且E+A可逆,B=(E+A)-1(E-A).则(E+B)是 可逆的,其逆矩阵(E+B)-1 (写出最简表达式)(2012北京工业大学) 18如果实方阵A=0df满足:a+b+c=0,+苦+=0,则A3 ,(2012北京工业大学) 00c 19.3阶实对称矩阵A=(a,a2,a3)的列向量组a,a2,a3满足x1a1+a2+ka3=0(其中A1,2,不 全为零).若3阶实对称矩阵B=(B1,B2,B3)与A合同,则A11+2B2+A33= underline (2012北京工业大学) 1-10 20.如果实方阵A=01-1,则A (2013北京工业大学) 001
9. › êßX 1 −2 1 0 1 0 0 −1 1 = 1 1 1 1 0 1 1 −1 0 )X = . (2010 ÆÛíåÆ) 10. PA = 0 1 0 cos θ 0 − sin θ sin θ 0 cos θ , KA¥å_, ¶_› A−1= . (2010ÆÛíåÆ) 11. P› 1 1 1 −2 3 −1 4 9 1 1nná†òìÍ{f™ùg¥A13, A23, A33, KLà™−A13+5A23−25A33 = . (2011ÆÛíåÆ) 12. › ¶» 1 0 0 −3 1 0 0 0 1 1 1 0 −2 2 3 0 1 2 2 0 −4 = . (2011ÆÛíåÆ) 13. › êßX 1 2 0 0 1 0 1 0 1 = 1 −1 0 2 3 −1 ! )X = . (2011ÆÛíåÆ) 14. XJA = 1 2 −1 0 −1 1 −2 −3 2 1 1 a , B¥3 ö"› , ÖBA = 0, Ka = . (2011ÆÛíåÆ) 15. PA = 68 −29 41 −37 −17 31 79 32 59 28 −23 61 −11 −77 8 49 , KA_› A−1 = . (2011 ÆÛíåÆ) 16. Æn(g,Ín ≥ 1) ê J = (1)n×n§kÉ—¥1, A = (aij )n×n•ÿ a11 , Ÿ{Éaij = 0, XJJ⁄AÉq, Ka11 = . (2012ÆÛíåÆ) 17. XJA¥n(g,Ín ≥ 1) ê , E¥” ¸†› , ÖE+Aå_, B = (E+A) −1 (E−A). K(E+B)¥ å_, Ÿ_› (E + B) −1 = .(—Å{Là™) (2012ÆÛíåÆ) 18. XJ¢ê A = a b c 0 d f 0 0 c ˜v: a + b + c = 0, 1 a + 1 b + 1 c = 0, KA3 = . (2012ÆÛíåÆ) 19. 3 ¢È°› A = (α1, α2, α3)ï˛|α1, α2, α3˜vλ1α1 + λ2α2 + λ3α3 = 0(Ÿ•,λ1, λ2, λ3ÿ è"). e3 ¢È°› B = (β1, β2, β3)ÜA‹”, Kλ1β1 + λ2β2 + λ3β3 = underline . (2012 ÆÛíåÆ) 20. XJ¢ê A = 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 , KAn = . (2013ÆÛíåÆ) 2 厦门大学《高等代数》
21.已知n(自然数n≥1)阶方阵的所有元素都是-1,A=(a)nxn中除了amn外,其余元素a=0,如 果J和A相似,则an (2013北京工业大学 2设为3维列向量,是a的转置,如果a=-24-21,则a (2013北京工业大学) 23.如果实方阵A=111,则A (2014北京工业大学) 24.设A,B均为n阶方阵,A,B分别为它们的伴随矩阵,A4=2|B=-4,则|AB1-A-1B|= (2015北京工业大学) 2531 25.设A 1131 其中A;是A中元素a的代数余子式,则A1+412+A13+A14 23-12 1155 (2016北京工业大学 2500 设A 其中A是A中元素a的代数余子式,则A1+2A12-A13-A14= 7-41 (2017北京工业大学) 27.设A,B分别是3×2与2×3矩阵,且满足AB=012则r(A)= (2017北京工业大学) 28.已知向量a=(0,1,0,1).若矩阵E+b7a是矩阵E+2a7a的逆矩阵(其中E是4阶单位矩阵,b是实数 (20090年北京交通大学) 29.设X是3×1矩阵,已知xXT=246,则xTX (2009年北京交通大学) 369 30.若n(n>3阶矩阵A=aa1…a的秩(4)=n-1,则a必为 (2009年北京交通大学) aaa 31.设A=011,则A (2011年北京交通大学) 001
21. Æn(g,Ín ≥ 1) ê J§kÉ—¥−1, A = (aij )n×n•ÿ ann , Ÿ{Éaij = 0, X JJ⁄AÉq, Kann = . (2013ÆÛíåÆ) 22. αè3ëï˛, α 0¥α=ò, XJαα 0 = 1 −2 1 −2 4 −2 1 −2 1 , Kα 0 α = . (2013ÆÛíåÆ) 23. XJ¢ê A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , KA∗ = . (2014ÆÛíåÆ) 24. A, B˛èn ê , A∗ , B∗©OèßÇäë› , |A| = 2, |B| = −4, K|A∗B−1−A−1B∗ | = . (2015ÆÛíåÆ) 25. A = 2 5 3 1 1 1 3 1 2 3 −1 2 1 1 5 5 . Ÿ•Aij¥A•ÉaijìÍ{f™, KA11 + A12 + A13 + A14 = . (2016ÆÛíåÆ) 26. A = 4 6 7 3 2 5 0 0 1 3 −1 −1 7 −4 1 2 . Ÿ•Aij¥A•ÉaijìÍ{f™, KA11+2A12−A13−A14 = . (2017ÆÛíåÆ) 27. A, B©O¥3 × 2Ü2 × 3› , Ö˜vAB = 1 0 1 0 1 2 2 −1 0 Kr(A) = . (2017ÆÛíåÆ) 28. Æï˛α = (0, 1, 0, 1). e› E + bαT α¥› E + 2α T α_› (Ÿ•E¥4 ¸†› , b¥¢Í), Kb = . (2009cÆœåÆ) 29. X¥3 × 1› , ÆXXT = 1 2 3 2 4 6 3 6 9 , KXT X = . (2009cÆœåÆ) 30. en(n > 3) › A = 1 a a · · · a a 1 a · · · a a a 1 · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · 1 ùr(A) = n − 1, Ka7è . (2009cÆœåÆ) 31. A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ,KA = . (2011 cÆœåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
32.设A为主对角线上元素为1,-2,1的三阶对角方阵,B为三阶方阵且ABA=2BA-8E,则B (2011年北京交通大学) 33.设A,B是n阶可逆矩阵A,B的伴随矩阵,则(AB)-1 B”A*.(2011年北京交通大学) 34.已知a=(1,2,1)r,B=(1,1,0),A=aB.若AX+X=A+A*X,则X (2012年北京交 通大学) 35.设n阶矩阵 000 则 (2012年北京交通大学) 36已知三阶实矩阵A=a1x-.则4的秩(4)=(016年北京交通大学) c b br+cy 37.设A=(a1)是一个n阶非零方阵,且a全为实数.如果A的每一个元素a都等于它的代数余子式 则A的秩r(4) (2011年北京交通大学) 100 100 3知A=001与B=00相似,则x=_y (2017年北京交通大学) 00-1 39.矩阵A 0034 的逆矩阵为 (2010年北京科技大学) 2100 4400 40.已知A为n阶方阵且4|=3,则A-1+2A1 (2011年北京科技大学) 4.设A是阶可迎矩阵,A的第1行与第2行交换后得到矩阵B,则AB (2011年北京科技大 学) A 0 42.设A,B分别是k阶和r阶可逆矩阵,D 则D C B (2013年北京科技大学) 201-1 1302 43.已知A 0523,则A1-A2+48-4A4 (2016年北京科技大学 210-1
32. AèÃÈDzÉè1, −2, 1n Èê , Bèn ê ÖA∗BA = 2BA−8E, KB = . (2011cÆœåÆ) 33. A∗ , B∗¥n å_› A, Bäë› , K(AB) −1 = B∗A∗ . (2011 cÆœåÆ) 34. Æα = (1, 2, 1)T , β = (1, 1, 0), A = αβT . eAX + X = AT + A∗X, KX = . (2012cÆ œåÆ) 35. n › X = 0 a1 0 · · · 0 0 0 0 a2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 an−1 an 0 0 · · · 0 0 KX−1 = . (2012cÆœåÆ) 36. Æn ¢› A = −1 a ax − y a 1 x − ay c b bx + cy , KAùr(A) = . (2016 cÆœåÆ) 37. A = (aij )¥òán ö"ê , Öaij è¢Í. XJAzòáÉaij— ußìÍ{f™, KAùr(A) = . (2011cÆœåÆ) 38. ÆA = 1 0 0 0 0 1 0 1 x ÜB = 1 0 0 0 y 0 0 0 −1 Éq, Kx = , y = . (2017 cÆœåÆ) 39. › A = 0 0 1 2 0 0 3 4 2 1 0 0 4 4 0 0 _› è . (2010cÆâEåÆ) 40. ÆAèn ê Ö|A| = 3, K|A−1 + 2A∗ | = . (2011cÆâEåÆ) 41. A¥3 å_› , A111Ü121Ü› B, KAB−1 = . (2011 cÆâEå Æ) 42. A, B©O¥k ⁄r å_› , D = A 0 C B ! , KD∗ = . (2013cÆâEåÆ) 43. ÆA = 2 0 1 −1 1 3 0 2 0 5 2 3 −2 1 0 −1 , K2A41 − A42 + A43 − 4A44 = . (2016cÆâEåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
44.若方阵A满足A2+A-4E=0,则(+3E)-1 (2015年大连理工大学) 45.设A为三级矩阵,且2E-A,E-A,-E-4的秩都小于3,A的行列式4= (2015年大连理 工大学) 46.已知矩阵A=1-41可对角化,则k (2015年大连理工大学) 47.若A2=0,则E-4 2015年大连理工大学) 000 48.若矩阵A=yx0和B=010相似,则x y (2012年湖南师范大学) 101 002 223 00 49.若矩阵A=0x1和B=0y0相似,则x+y=(2013年湖南师范大学) 00-1 与B= 合同,则a+b= (2014年湖南师范大学) 51.矩阵方程X 15)的解是x (2015年湖南师范大学 52.矩阵方程 的解是X= (2016年湖南师范大学) 200 2 53设A=020,B=020问A与B是否相似? (2016年湖南师范大学) 003 200 100 54设A=3a2与B=020相似,则a= (2009年南京大学) 55设A为n级方阵并且||=-5,A2-3A+AA=0,则A-1 (2010年南京大学 56设级方阵A的秩为2B=3k,并且AB=0,则k (2010年南京大学) 57.设A为3级非零实方阵,A2=0,则A的秩 012年南京大学) 58.设矩阵24-2与020相似 (2012年南京大学) 00b
44. eê A˜vA2 + A − 4E = 0, K(A + 3E) −1 = . (2015cåÎnÛåÆ) 45. Aèn?› , Ö2E − A, E − A, −E − Aù—u3, A 1™|A| = . (2015cåÎn ÛåÆ) 46. Æ› A = 2 −5 k 1 −4 1 0 0 1 åÈz, Kk = . (2015cåÎnÛåÆ) 47. eA2 = 0, K|E − A| = . (2015cåÎnÛåÆ) 48. e› A = 1 y −1 y x 0 −1 0 1 ⁄B = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 Éq, Kx = , y = . (2012c HìâåÆ) 49. e› A = −2 2 3 0 x 1 0 2 1 ⁄B = 2 0 0 0 y 0 0 0 −1 Éq, Kx + y = . (2013c HìâåÆ) 50. eA = 1 a 3 b ! ÜB = 1 −1 −1 1 ! ‹”, Ka + b = . (2014c HìâåÆ) 51. › êßX 1 2 2 6 ! = 2 0 1 5 ! )¥X = . (2015c HìâåÆ) 52. › êß 1 −2 0 3 ! X = 1 −1 0 1 ! )¥X = . (2016c HìâåÆ) 53. A = 2 0 0 0 2 0 0 0 3 , B = 2 2 0 0 2 0 0 0 3 , ØAÜB¥ƒÉq? . (2016c HìâåÆ) 54. A = −2 0 0 3 a 2 4 1 1 Ü B = −1 0 0 0 2 0 0 0 b Éq, K a = ,b= .(2009cHÆåÆ) 55. A è n ?ê øÖ |A| = −5, A2 − 3A + 1 5AA∗ = 0, K A−1 = .(2010cHÆåÆ) 56. 3?ê A ùè 2, B = 1 3 3 k 5 15 , øÖ AB = 0, K k = .(2010cHÆåÆ) 57. A è3?ö"¢ê , A2 = 0, K A ù = .(2012cHÆåÆ) 58. › 1 −1 1 2 4 −2 −3 −3 a Ü 2 0 0 0 2 0 0 0 b Éq, K a = , b = .(2012cHÆåÆ) 5 厦门大学《高等代数》