课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (线性映射部分) 填空题 1.设是线性空间V的线性变换,对自然数k,如果向量满足ak+15≠0,k=0.则5,a5,…,mk-15 线性 关.(2009年北京工业大学) 2矩阵A=213定义了3维向量空间R(R是实数域)的一个线性变换:5→A(∈∈F)其值 123 域R3的维数是 (2009年北京工业大学) 3.记F为5维列向量空间,A是5阶实方阵.若齐次线性方程组AX=0解空间的维数是2,则线性变 换:a→Aa(a∈R5)像空间a(F5)={Aala∈F5}的维数是 2011北京工业大学) 4.设bm=4,∈L(V),在基a1,3,4下的矩阵为 1210 0100 1310 0421 则a包含1的最小不变子空间W 016年北京交通大学) 5.设厂是数域P上的三维线性空间v上的一个线性函数,E1,e)2,E3是V的一组基,且 f(1+e3)=f(1-23)=0,f(1+2)=1 则f(x1E1+x2E2+x3E3) (2015年大连理工大学) 001 6.设线性空间的线性变换在基a,a22下的矩阵为4=000,a∈R的像a在a1a23下 100 的坐标为(-1,2,3),则a (2015年湖南师范大学) 先择题
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Ç5N‹©) ò. WòK 1. A ¥Ç5òmV Ç5CÜ, Èg,Ík, XJï˛ξ˜vA k−1 ξ 6= 0, A k ξ = 0. Kξ, A ξ, · · · , A k−1 ξ Ç5 '. (2009cÆÛíåÆ) 2. › A = 1 −1 0 2 1 3 1 2 3 ½¬ 3ëï˛òmR3 (R¥¢Íç)òáÇ5CÜA : ξ → Aξ(ξ ∈ R3 ). Ÿä çA R3ëÍ¥ . (2009cÆÛíåÆ) 3. PR5è5ëï˛òm, A¥5 ¢ê . e‡gÇ5êß|AX = 0 )òmëÍ¥2, KÇ5C ÜA : α → Aα(α ∈ R5 )îòmA (R5 ) = {Aα|α ∈ R5}ëÍ¥ . (2011ÆÛíåÆ) 4. dimV = 4, σ ∈ L(V ), σ3ƒε1, ε2, ε3, ε4 e› è A = 1 2 1 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 4 2 1 Kσù¹ε1ÅÿCfòmW = . (2016cÆœåÆ) 5. f¥ÍçP˛nëÇ5òmV ˛òáÇ5ºÍ, ε1, ε)2, ε3¥V ò|ƒ, Ö f(ε1 + ε3) = f(ε1 − 2ε3) = 0, f(ε1 + ε2) = 1 Kf(x1ε1 + x2ε2 + x3ε3) = . (2015cåÎnÛåÆ) 6. Ç5òmR 3Ç5CÜA 3ƒα1, α2, α3e› èA = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , α ∈ R 3îA α3α1, α2, α3e ãIè(−1, 2, 3)0 , Kα = . (2015c HìâåÆ) . ¿JK 1 厦门大学《高等代数》
1.设A是m×n实矩阵(自然数m,n>1).AA定义了n维实数列向量空间F到自身的一个线性变换a: a→(AA)a.若A的秩(4)=k,则像空间W={a/(a)a∈R"}的维数().(2012年北京工业大学) (C)dim=m-k (D )dimW=r(A A 2.设VU分别是n维,m维线性空间(m≠n),p:V→U的线性映射,则().(2014年北京工业大学) (A)dim kerp dim Imp (C)dim kery +dim Imp=m-n (D)dim kery dim Imp= m+n 100 3.线性变换在基2,3下的矩阵是020则a/在基1,31E2下的矩阵是().(2017年北京工业 003 大学) 100 (A)030 (B)020 002 200 (C)030 (D)010 001 003 4.设φ是V上线性变换,{1,2,…,n}是V上的一组基,且由每个生成的子空间L(E2)的是y的不变子空 间,则y在{1,2,…,En}下的表示矩阵 (2015年北京交通大学 (A)必可逆 (B)必为对角阵 (C)必为上三角阵,但未必是对角矩阵 (D)必为上三角阵,但未必是对角矩阵 5.在以下的变换r中,有个是线性变换.(2015年北京交通大学)(1)设a≠0为线性空间V中某固定 向量,Tx=x+a(对任意x∈V); (2)在线性空间P]中,rf(x)=f(x+1)(对任意f(x)∈P); (3)设A,B为n阶固定方阵,TX=AXB(对任意X∈Pm×n); (4)设A为n阶固定方阵,TX=AX-XA(对任意X∈Pnxm) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6.下列所定义的变换,有个是线性变换.(2016年北京交通大学) (1)在P3中,(x1,x2,x3)=(x21,x2+x3,x3); (2)在P中,a(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1)
1. A¥m × n¢› (g,Ím, n > 1). A 0 A½¬ në¢Íï˛òmRng òáÇ5CÜA : α → (A 0 A)α. eAùr(A) = k, KîòmW = {A (α)|α ∈ Rn}ëÍ( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)dimW = k (B)dimW = n − kK (C)dimW = m − k (D)dimW = r(A 0 A) 2. V, U©O¥në, mëÇ5òm(m 6= n), ϕ : V → UÇ5N, K( ). (2014 cÆÛíåÆ) (A)dim kerϕ + dim Imϕ = n (B)dim kerϕ + dim Imϕ = m (C)dim kerϕ + dim Imϕ = |m − n| (D)dim kerϕ + dim Imϕ = m + n 3. Ç5CÜA 3ƒε1, ε2, ε3e› ¥ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 KA 3ƒε1, ε3, ε2e› ¥( ). (2017cÆÛí åÆ) (A) 1 0 0 0 3 0 0 0 2 (B) 1 0 0 0 2 0 0 0 3 (C) 2 0 0 0 3 0 0 0 1 (D) 2 0 0 0 1 0 0 0 3 4. ϕ¥V ˛Ç5CÜ, {ξ1, ξ2, · · · , ξn}¥V ˛ò|ƒ, Ödzáξi)§fòmL(ξi)¥ϕÿCfò m, Kϕ3{ξ1, ξ2, · · · , ξn}eL´› . (2015cÆœåÆ) (A)7å_ (B)7èÈ (C)7è˛n , ô7¥È› (D)7è˛n , ô7¥È› 5. 3±eCÜT•, k á¥Ç5CÜ. (2015 cÆœåÆ) (l)α 6= 0èÇ5òmV •,½ ï˛, T x = x + α(È?øx ∈ V ); (2)3Ç5òmP[x]•, T f(x) = f(x + 1)(È?øf(x) ∈ P[x]); (3)A, Bèn ½ê , T X = AXB(È?øX ∈ P n×n)); (4)Aèn ½ê , T X = AX − XA(È?øX ∈ P n×n) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6. e§½¬CÜ, k á¥Ç5CÜ. (2016cÆœåÆ) (1)3P 3•, σ(x1, x2, x3) = (x 2 1 , x2 + x3, x2 3 ); (2)3P 3•, σ(x1, x2, x3) = (2x1 − x2, x2 + x3, x1); 2 厦门大学《高等代数》
(3)在P以]中,of(x)=f(x+1) (4)在P[]中,of(x)=f(xo),xo∈P,是一固定的数 (B)2 7.下列所定义的变换 不是线性变换.(2017年北京交通大学) (4)在R2中,a(x1,x2,x3)=(2x1+x2,x2-x3,2x2+4x3); 在e中,0(ab2={(06,若≥0 (O)设V是定义在[a,b上所有连续函数组成的R上的线性空间,在V中o(f(x)=nf(t)dxr (D)设V是数域F上的1维线性空间,o(a)=a,其中a是F中一固定数 三计算题 1.设v是一个n维K一线性空间,(a,)=1是它的一组基若对V上的线性变换 则记A=.若对任一个线性变换,都有(a)=闭,试确定a在基底(a)=1下的矩阵 (2018年北京大学) 2.设m1,n2,n3,n是四维线性空间v的一组基,线性变换在此基下的矩阵为 1021 1113 1155 (1)求-1(0)的维数与一组基 (2)求的一组基).(2016年北京工业大学) 3V={∑axl∈R},o为v中线性变换,对任意的g(x)∈V,有o(x)=9(x)+g(x) (1)求7在基{1.x,,…,-1}下的矩阵 (2)求V中所有a的不变子空间的个数,并证明你的结论.(2019年北京工业大学) 4.设V={amxm+am-1m-1+…+a1x+aola;∈数域P},T∈L(V)
(3)3P[x]•, σf(x) = f(x + 1); (4)3P[x]•, σf(x) = f(x0), x0 ∈ P, ¥ò½Í. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7. e§½¬CÜ, ÿ¥Ç5CÜ. (2017cÆœåÆ) (A)3R 2•, σ(x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x2 − x3, 2x2 + 4x3); (B)3R 2•, σ(a, b) = ( (a, b), eab ≥ 0; (a, −b), eab < 0. (C)V ¥½¬3[a, b]˛§kÎYºÍ|§R˛Ç5òm, 3V •σ(f(x)) = R x a f(t)dx; (D)V ¥ÍçF˛1ëÇ5òm, σ(α) = aα, Ÿ•a¥F •ò½Í. n.OéK 1. V ¥òánëK−Ç5òm, (αj ) n j=1 ¥ßò|ƒ. eÈV ˛Ç5CÜA . A α1 α2 . . . αn = A (α1) A (α2) . . . A (αn) = A α1 α2 . . . αn , KPA = Af . eÈ?òáÇ5CÜB, —k(A B)f = AfBf , £(½A 3ƒ.(αj ) n j=1e› . (2018cÆåÆ) 2. η1, η2, η3, η4¥oëÇ5òmV ò|ƒ, Ç5CÜA 3dƒe› è 1 0 2 1 −1 1 1 3 1 1 5 5 3 −1 3 −1 (1)¶A −1 (0)ëÍÜò|ƒ; (2)¶A V ò|ƒ). (2016cÆÛíåÆ) 3. V = { Pn−1 i=0 aix i |ai ∈ R}, σèV •Ç5CÜ, È?øg(x) ∈ V , kσ(g(x)) = g(x) + g 0 (x). (1)¶σ3ƒ{1, x, x 2 2! , x 3 3! , · · · , x n−12 (n−1)!} e› . (2)¶V •§kσÿCfòmáÍ, øy²\(ÿ. (2019cÆÛíåÆ) 4. V = {amx m + am−1x m−1 + · · · + a1x + a0|ai ∈ ÍçP}, T ∈ L(V ), 3 厦门大学《高等代数》
T: V-V,T(f(a))=rf(a)-f(ar) (1)求T的核空间和像空间:kerT及ImT; (2)求证:V=kerT由Im.(2016年北京交通大学) 2-1 5.设线性变换a在三维线性空间v的一组基=1,E23下的矩阵是A=210 1+E2+33 (1)求a/在基m,m2,m下的矩阵,其中{m=1+2+28 E1+E2+E3 (2)求的值域(V)和核a-1(0); (3)把a-1(0)的基扩充为V的基,并求在这组基下的矩阵(2013年北京科技大学) 6.已知 01 Ea= 00 是M2(P)的两组基,w是M2(P)的线性变换,定义为 a,a∈M2(P) (1)求由基1,E2,3,∈4到基m,m2,m3,m的过渡矩阵 (2)求一个非零的∈M2(P),使它在1,E2,3,E4和m,m,m,n下有相同的坐标 (3)求a的特征值 (4)求的特征子空间.(2014北京科技大学) 7.已知a为对称变换,V是一个线性空间,W是V的一个子空间,试证:W是a的不变子空间.(2009年北 京师范大学) 8.V1,V为线性空间V的两个子空间,dmV+dimV2=n,证明:存在V的线性变换a:Kero=V,Ima= V2.(2010年北京师范大学) 9.设σ是域F上向量空间v的幂等变换,即σ是满足条件a2=o的线性变换 (1)证明:V=Im(a)Ker(a); (2)证明:σ可对角化.(2016年北京师范大学)
T : V → V, T(f(x)) = xf0 (x) − f(x) (1)¶Tÿòm⁄îòm: kerT9ImT; (2)¶y: V = kerT ⊕ ImT. (2016cÆœåÆ) 5. Ç5CÜA 3nëÇ5òmV ò|ƒε1, ε2, ε3e› ¥A = 1 2 −1 2 1 0 3 0 1 (1)¶A 3ƒη1, η2, η3e› , Ÿ• η1 = 2ε1 + ε2 + 3ε3 η2 = ε1 + ε2 + 2ε3 η3 = −ε1 + ε2 + ε3 ; (2)¶A äçA (V )⁄ÿA −1 (0); (3)rA −1 (0)ƒ*øèV ƒ, ø¶A 3˘|ƒe› . (2013cÆâEåÆ) 6. Æ ε1 = 1 0 0 0 ! , ε2 = 0 1 0 0 ! , ε3 = 0 0 1 0 ! , ε4 = 0 0 0 1 ! ⁄ η1 = 8 1 2 −7 ! , η2 = 5 4 2 −5 ! , η3 = 4 2 4 −4 ! , η4 = 8 2 3 −7 ! ¥M2(P)¸|ƒ, A ¥M2(P)Ç5CÜ, ½¬è A (α) = 1 2 −1 4 ! α, α ∈ M2(P). (1)¶dƒε1, ε2, ε3, ε4 ƒη1, η2, η3, η4Lfi› ; (2)¶òáö"ξ ∈ M2(P), ¶ß3ε1, ε2, ε3, ε4 ⁄η1, η2, η3, η4ekÉ”ãI; (3)¶A Aä; (4)¶A Afòm. (2014cÆâEåÆ) 7. ÆσèÈ°CÜ, V ¥òáÇ5òm, W¥V òáfòm, £y: W¥σÿCfòm. (2009c ÆìâåÆ) 8. V1, V2èÇ5òmV ¸áfòm, dimV1+dimV2 = n, y²: 3V Ç5CÜσ: Kerσ = V1, Imσ = V2. (2010cÆìâåÆ) 9. σ¥çF˛ï˛òmV ò CÜ, =σ¥˜v^áσ 2 = σÇ5CÜ. (1)y²: V = Im(σ) ⊕ Ker(σ); (2)y²: σåÈz. (2016cÆìâåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
10.设a,,是线性空间V上的两两不同的线性变换,求证:存在a∈V,使得aa,a,va两两不同 (2009年大连理工大学) 11.设V是数域P上的n维线性空间,w是V上的线性变换,且存在a∈V,使得V=L(a,wa,a2a,……),其 中L(a,aa,a2a,…)表示a,aa,a/2a,…生成的V的子空间 (1)证明a,afa,a2a 是V的一组基 (2)求在这组基下的矩阵,及的特征多项式与最小多项式.(2011年大连理工大学) 12.设=1,2,E3,E4是线性空间v的一组基,已知线性变换T在这组基下的矩阵为 1021 A 1213 1255 2-21-2 (1)求T在基m=1-2+E4,m=32-3-4,n3=53+E4,m=2=4下的矩阵B (2)求T的值域TV和核T-1(0) (3)在T-1(0)选一组基,将它扩充成V的一组基.(2015年湖南大学) 3.在多项式线性空间V=Px]n中,规定线性变换a/为 d(f(r)=f(r)-f(a),Vf(a)EV 试求出a的值域aV以及aV的一个基.(2010年湖南师范大学) 4.已知线性空间P3上的线性变换 a(x,y,z)=(x+2y-2,y+z,x+y-22) 求的值域aP3与核a-1(0)的基和维数.(2012年湖南师范大学) 15.设为实线性空间R3→R3的线性变换,已知 (1,0.,0)=(1,0,1),(0,1,0)=(2,1,1),少(0,0,1)=(-1,1,-2) (1)试用矩阵A表示此变换(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)A (2)求的值域少(R3)的一个基 (3)求的核-1(0)的一个基.(2014年湖南师范大学) 6.设V是数域K上的4维线性空间,a1,a2,a3,a4是V的一组基若a是V上的线性变换,且在基a1a2,a3,a4下 1000 的矩阵为准对角矩阵 0100 0030,试求所有的-不变子空间(2014年华东师范大学 0003
10. A , B, C¥Ç5òmV ˛¸¸ÿ”Ç5CÜ, ¶y: 3α ∈ V , ¶A α, Bα, C α¸¸ÿ”. (2009cåÎnÛåÆ) 11. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V ˛Ç5CÜ, Ö3α ∈ V , ¶V = L(α, A α, A 2α, · · ·), Ÿ •L(α, A α, A 2α, · · ·)L´α, A α, A 2α, · · ·)§V fòm. (1)y²α, A α, A 2α, · · · , A n−1α ¥V ò|ƒ.; (2)¶A 3˘|ƒe› , 9A Aıë™ÜÅıë™. (2011cåÎnÛåÆ) 12. ε1, ε2, ε3, ε4¥Ç5òmV ò|ƒ, ÆÇ5CÜT3˘|ƒe› è A = 1 0 2 1 −1 2 1 3 1 2 5 5 2 −2 1 −2 (1)¶T3ƒη1 = ε1 − 2ε2 + ε4, η2 = 3ε2 − ε3 − ε4, η3 = ε3 + ε4, η4 = 2ε4e› B; (2)¶TäçT V ⁄ÿT −1 (0); (3)3T −1 (0)¿ò|ƒ, Úß*ø§V ò|ƒ. (2015c HåÆ) 13. 3ıë™Ç5òmV = P[x]n•, 5½Ç5CÜA è A (f(x)) = xf0 (x) − f(x), ∀f(x) ∈ V £¶—A äçA V ±9A V òáƒ. (2010c HìâåÆ) 14. ÆÇ5òmP 3˛Ç5CÜ A (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) ¶A äçA P 3ÜÿA −1 (0)ƒ⁄ëÍ. (2012c HìâåÆ) 15. T è¢Ç5òmR 3 → R 3 Ç5CÜ, Æ T (1, 0, 0) = (1, 0, 1), T (0, 1, 0) = (2, 1, 1), T (0, 0, 1) = (−1, 1, −2). (1)£^› AL´dCÜT (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3)A; (2)¶T äçT (R 3 )òáƒ; (3)¶T ÿT −1 (0)òáƒ. (2014c HìâåÆ) 16. V ¥ÍçK˛4ëÇ5òm, α1, α2, α3, α4¥V ò|ƒ. eA ¥V ˛Ç5CÜ, Ö3ƒα1, α2, α3, α4e › èOÈ› 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 , £¶§kA −ÿCfòm. (2014cu¿ìâåÆ) 5 厦门大学《高等代数》