课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (二次型部分 一.填空题 1.如果把n阶实对称矩阵按合同关系分类(即两个n阶实对称矩阵属于同一类,当且仅当它们合同),则不 类的总数是 2009年北京工业大学) 222 2.如果二次型(x1,x2x3)21ax2的正负惯性指数之和是2,则a (2009年北京 工业大学 103 3.如果二次型(x1,x2,x3)2 是正定二次型,a是整数则a (2010年北京 工业大学) 4.二次型1,2x3)2-1-12的正负惯性指数之和=(201年北京工业大学) 5如果二次型(x1,x2,n3)-823x2的正负惯性指数之和是2,则a= (2012年北京工 业大学) 6如果二次型x1,x2)-412|2的秩是2,则a (2014年北京工业大学) 12a0)(r3 010 7.若实对称矩阵A与矩阵B=100合同且X=x2则实二次型xAx的规范型为 (2015年北京工业大学) 实二次型f(x1,x2,x3)=x1+3n2+4x1x2-4x2x3的正惯性系数是 (2009年北京交通大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (g.‹©) ò. WòK 1. XJrn ¢È°› U‹”'X©a(=¸án ¢È°› ·u”òa, Ö=ßÇ‹”), Kÿ aoÍ¥ . (2009cÆÛíåÆ) 2. XJg.(x1, x2, x3) 2 2 2 2 1 a −2 8 −1 x1 x2 x3 K.5çÍÉ⁄¥2, Ka = . (2009cÆ ÛíåÆ) 3. XJg.(x1, x2, x3) 1 0 3 2 a −1 −3 1 3 − a x1 x2 x3 ¥½g., a¥ÍKa = . (2010cÆ ÛíåÆ) 4. g.(x1, x2, x3) 1 0 5 2 −1 −1 −5 1 0 x1 x2 x3 K.5çÍÉ⁄= . (2011 cÆÛíåÆ) 5. XJg.(x1, x2, x3) 1 6 1 −8 2 3 −1 a 0 x1 x2 x3 K.5çÍÉ⁄¥2, Ka = . (2012cÆÛ íåÆ) 6. XJg.(x1, x2, x3) 1 2 1 −4 1 2 −1 2a 0 x1 x2 x3 ù¥2, Ka = . (2014cÆÛíåÆ) 7. e¢È°› AÜ› B = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ‹”ÖX = x1 x2 x3 K¢g.X 0 AX5â.è . (2015cÆÛíåÆ) 8. ¢g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + 4x1x2 − 4x2x3 .5XÍ¥ . (2009cÆœåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
9.实二次型f(x1,x2,x3)=X7AX经过正交变换化为+52,则A的最小特征值是 北京交通大学) 10.设二次型f(x1,x2,x3)=x2+x2-3x3+2x1x2的正惯性指数为p,负惯性指数为q,则p-q (2010年北京交通大学) 1.已知f(x1,x2,x3)=G1+2+k3+6x1x2+4x1x3+2x2x3的秩为2,则参数k=.(2010年 京交通大学 12.实二次型f(x1,x2,x3)=n2+2x1x2+4x1x3+2x2x3的符号差为 (2011年北京交通大学) 3.t取何值时,4元实二次型 f=x1+2+x3+9x2+2+(x1x2+x1x3+x2x3) 为正定的?(2011年北京交通大学) 14.已知实二次型 f=x21+tn2+tn3+2x1x2+2x1x3-2x2x3 是正定的,则常数t的取值范围是 012年北京交通大学) 15.设f=10x2+2x2+2an3+8x1x2-4x1x3-4x2x3正定,则a满足的条件是 (2013年北京交 通大学) 6.已知实二次型 f(x1,r2,x3)=a(n+n2+3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换X=PY可化为标准型f=6y,则a (2015年北京交通大学) 17.当t的取值满足 时,f(x1,x2,x3)= x1+x2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x23是正定的(2016年北京交通大学 18.设半正定二次型f(x1,…,xn)=XAX的秩为r,则f(x1,…,xn)=0的实数解构成R的一个维 子空间.(2016年北京交通大学) 19.设a=(1,0,1)r,A=aar,若B=(kE+A)2是正定矩阵,则k满足 (2017年北京交通大学) 20.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2+2+n3+2x1x2+tx2x3
9. ¢g.f(x1, x2, x3) = XT AX²LCÜzèy 2 1 + 5y 2 2 , KAÅAä¥ . (2009 c ÆœåÆ) 10. g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 +x 2 2 −3x 2 3 + 2x1x2 .5çÍèp, K.5çÍèq, Kp−q = . (2010cÆœåÆ) 11. Æf(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + kx2 3 + 6x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 ùè2, KÎÍk = . (2010 c ÆœåÆ) 12. ¢g.f(x1, x2, x3) = x 2 2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 Œ“ è . (2011cÆœåÆ) 13. t¤äû, 4¢g. f = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 9x 2 4 + 2t(x1x2 + x1x3 + x2x3) è½? . (2011cÆœåÆ) 14. Æ¢g. f = x 2 1 + tx2 2 + tx2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 ¥½, K~Ítäâå¥ . (2012cÆœåÆ) 15. f = 10x 2 1 + 2x 2 2 + 2ax2 3 + 8x1x2 − 4x1x3 − 4x2x3½, Ka˜v^ᥠ. (2013 cÆ œåÆ) 16. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 ²CÜX = P Y åzèIO.f = 6y 2 1 , Ka = . (2015cÆœåÆ) 17. tä˜v û, f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + 5x 2 3 + 2tx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 ¥½. (2016cÆœåÆ) 18. å½g.f(x1, · · · , xn) = XT AXùèr, Kf(x1, · · · , xn) = 0¢Í)§R nòá ë fòm. (2016cÆœåÆ) 19. α = (1, 0, 1)T , A = ααT , eB = (kE + A) 2 ¥½› , Kk˜v . (2017cÆœåÆ) 20. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + tx2x3 2 厦门大学《高等代数》
是正定的,则t的取值范围是 (2010年北京科技大学 21.实二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩是 符号差是 (202年湖南师范大学) 22.将秩为r的n元实二次型按合同分类,一共可以分为类.(2013年湖南师范大学) 23.三元实二次型2r2+x1x2-5x1x3的规范型是 (2014年湖南师范大学) 24.三元实二次型2x2+x1x2-3x1x3的规范型是_(2015年湖南师范大学) 141 25.设实二次型f(x1;x2,x3)=(x1,x2,x3)013x2,则f(x1,x2,x3)的矩阵 符号差 311 .(200年南京大学) 0-18 26.设实二次型f(x4,x2,x3)=(x1,x2,x3)50-2x2.则这个二次型的矩阵为 符 1003 号差为 27.设t为整数,且A=|2t2为正定矩阵,则t 2010年上海大学) 127-t 28.含参数t的矩阵正定,求t的范围 (2016年上海大学) 二.选择题 1.二次型x2+2y2-2+4xy-2yz+2zx的矩阵是().(2009年北京工业大学 (A)22-1 (B211 22-10 (D)在目前条件下不确定 1-1-10 0000 2.Q是n阶实方阵,线性方程组QX=B有唯一解.若记A=QQ,则().(2010年北京工业大学) (A)A的特征值一定是正数 (B)二次型XAX一定是正定二次型 (C)A一定与单位矩阵相似 (D)A一定与单位矩阵合同 3.记实矩阵1b2b3其中a<b<c,A=QQ,则 2011年北京工业大学)
¥½, Ktäâå¥ . (2010 cÆâEåÆ) 21. ¢g.f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 ù¥ , Œ“ ¥ . (2012c HìâåÆ) 22. Úùèrn¢g.U‹”©a, ò屩è a. (2013c HìâåÆ) 23. n¢g.2x 2 1 + x1x2 − 5x1x35â.¥ . (2014c HìâåÆ) 24. n¢g.2x 2 1 + x1x2 − 3x1x35â.¥ . (2015c HìâåÆ) 25. ¢g. f (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3) 1 4 1 0 1 3 3 1 1 x1 x2 x3 , K f (x1, x2, x3) › = , Œ“ = . (2009cHÆåÆ) 26. ¢g. f (x4, x2, x3) = (x1, x2, x3) 0 −1 8 5 0 −2 −10 0 3 x1 x2 x3 . K˘ág.› è , Œ “ è . 27. t èÍ, Ö A = 1 2 1 2 t 2 1 2 7 − t è½› , K t = . (2010c˛°åÆ) 28. ¹ÎÍ t › ½, ¶ t âå . (2016c˛°åÆ) . ¿JK 1. g.x 2 + 2y 2 − z 2 + 4xy − 2yz + 2zx› ¥( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A) 1 2 1 2 2 −1 1 −1 −1 (B 2 2 −1 2 1 1 −1 1 −1 ) (C) 1 2 1 0 2 2 −1 0 1 −1 −1 0 0 0 0 0 (D)38c^áeÿ(½ 2. Q¥n ¢ê , Ç5êß|QX = βkçò). ePA = QQ0 , K( ). (2010cÆÛíåÆ) (A)AAäò½¥Í (B)g.X0AXò½¥½g. (C)Aò½Ü¸†› Éq (D)Aò½Ü¸†› ‹” 3. P¢› 1 a 2 a 3 1 b 2 b 3 1 c 2 c 3 Ÿ•a < b < c, A = QQ0 , K( ). (2011cÆÛíåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
(A)A的特征值一定是正数 (B)二次型XAX一定是正定二次型 (C)A一定与单位矩阵合同 (D)|4|>0 4.设E是n(自然数n≥2)阶单位矩阵,同阶方阵A=(a)满足aa=2(i=1,2,……,n),ak.k+1,ak+1k= 1(k=1,2,…,n-1),其余元素皆为0.下列选项中不正确的是().(2012年北京工业大学) (A)A3+E是正定矩阵 (B)43+E的特征值皆为正数 (C)A3+E的特征值皆为负数 (D)行列式|A3+E>0 5.设A,C是n阶正定矩阵,而实矩阵B是矩阵方程AX+XB=C的唯一解,则().(2015年北京工业大 (A)B是正定矩阵 (B)B是半正定矩阵 (C)B是负定矩阵 (D)无法确定B的正,负定性 6.实二次型f(x1,x2,x3)=a(x2+n2+3)+4x1x2+4x13+4x2x3经过非退化线性替换X=CY可退 化成规范型f(y1,y2,v)=v2,则a的值为().(2015年北京工业大学) (C)-1 7.设A,B为两个正定矩阵,则下列不正确的是().(2016年北京工业大学) (A)A+B正定 (B)AB正定 (C)必存在可逆矩阵Q使得A=QQ (D)A,B的特征值为正实数 0入200 8.已知n阶矩阵A合同于B 则必有().(2015年北京交通大学) (000x (A)A1,A2,……,An是4的特征值 (B)入1A2……An=|4 (C)A为正定阵 (D)A为对称阵 9.设A,B均为实对称矩阵,则A,B在R上合同的充要条件是().(2015年北京交通大学) (A)A,B的秩相等 (B)A,B都合同于对角阵 (C)A,B的特征值相同 (D)A,B的正负惯性指数相同
(A)AAäò½¥Í (B)g.X0AXò½¥½g. (C)Aò½Ü¸†› ‹” (D)|A| > 0 4. E¥n(g,Ín ≥ 2) ¸†› , ” ê A = (aij ))˜vaii = 2(i = 1, 2, · · · , n), ak,k+1, ak+1,k = 1(k = 1, 2, · · · , n − 1), Ÿ{Éè0. e¿ë•ÿ(¥( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)A3 + E¥½› (B)A3 + EAäèÍ (C)A3 + EAäèKÍ (D)1™|A3 + E| > 0 5. A, C¥n ½› , ¢› B¥› êßAX + XB = C çò), K( ). (2015cÆÛíå Æ) (A)B¥½› (B)B¥å½› (C)B¥K½› (D)Ã{(½B, K½5 6. ¢g.f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 ²LöÚzÇ5OÜX = CY åÚ z§5â.f(y1, y2, y3) = y 2 1 , Kaäè( ). (2015cÆÛíåÆ) (A)1 (B)-2 (C)-1 (D)2 7. A, Bè¸á½› , Keÿ(¥( ). (2016cÆÛíåÆ) (A)A + B½ (B)AB½ (C)73å_› Q¶A = QQ0 (D)A, BAäè¢Í 8. Æn › A‹”uB = λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 λn , K7k( ). (2015cÆœåÆ) (A)λ1, λ2, · · · , λn¥AAä; (B)λ1λ2 · · · λn = |A| (C)Aè½ (D)AèÈ° 9. A, B˛è¢È°› , KA, B3R˛‹”øá^á¥( ). (2015cÆœåÆ) (A)A, BùÉ (B)A, B—‹”uÈ (C)A, BAäÉ” (D)A, BK.5çÍÉ” 10. 4 厦门大学《高等代数》
70 则A与B().(2016年北京交通大学 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 11.设 2222 0000 A B 2222 0000 2222 0000 则A与B().(2017年北京交通大学) (A)合同且相似 一(B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 12.设A为n阶实对称矩阵,下列结论正确的有( A.A的特征值都是实数 B.A的不同特征值下的实特征向量正交; C.如果C是实可逆矩阵,使CTAC为对角矩阵,则C-1AC为对角矩阵; D.与A合同的实矩阵B一定与A相似 三计算题 1.二次型 f(x1,x2,x3)=r1+2+x3+4x1x2+4x2x3+4x3x1 (1)求f(x1,x2,x3)=X1AX的矩阵A特征值,特征向量 (2)A=CDC要求C为正交矩阵,D为对角矩阵,求C,D (3)在单位球r1+x2+n3=1上求二次型f(x1,x2,x3)的最大最小值.(2011年北京大学) 2.设二次型 f(x1,x2,x3)=XAX=ar1+2x2-2n3+2bx1x3(b>0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求a,b的值; (2)用正交替换将二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,并写出所用的正交替换.(2013年工业北京大学)
A = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 , B = 1 1 0 , KAÜB( ). (2016cÆœåÆ) (A)‹”ÖÉq (B)‹”ÿÉq (C)ÿ‹”Éq (D)Qÿ‹”èÿÉq 11. A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , KAÜB( ). (2017cÆœåÆ) (A)‹”ÖÉq (B)‹”ÿÉq (C)ÿ‹”Éq (D)Qÿ‹”èÿÉq 12. A è n ¢È°› , e(ÿ(k£ § A. A Aä—¥¢Í; B. A ÿ”Aäe¢Aï˛; C. XJ C ¥¢å_› , ¶ C T AC èÈ› , K C −1AC èÈ› ; D. Ü A ‹”¢› B ò½Ü A Éq. n.OéK 1. g. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 4x1x2 + 4x2x3 + 4x3x1 (1)¶f(x1, x2, x3) = XT AX› A, Aä, Aï˛. (2)A = CDC0á¶Cè› , DèÈ› , ¶C, D. (3)3¸†•x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1˛¶g.f(x1, x2, x3)ÅåÅä. (2011cÆåÆ) 2. g. f(x1, x2, x3) = X 0 AX = ax2 1 + 2x 2 2 − 2x 2 3 + 2bx1x3(b > 0) •g.› AAäÉ⁄è1, AäÉ»è−12. (1)¶a, bä; (2)^OÜÚg.f(x1, x2, x3)zèIO., ø—§^OÜ. (2013cÛíÆåÆ) 5 厦门大学《高等代数》