课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 线性方程组部分) 填空题 3 1.若矩阵方程-1012x=b2有解,则a+b= (2012年北京工业大学) 0123 2.设矩阵A=01tt,齐次线性方程组Ar=0的解空间的维数为2,则t (2015年北京 1t01 工业大学 3.若n阶矩阵A的各行元素之和为零,且R(4)=n-1,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系 (2016年北京工业大学) 4.已知线性方程组 无解,则入= 2016年北京工业大学) 5.一组齐次线性方程组 121 无解,则a (200年北京交通大学) 6.设A是5阶矩阵A*是A的伴随矩阵,若m,n是方程组AX=0的两个线性无关的解,那么秩r(A”) (2016年北京交通大学) 7.已知方程组1a1x 1有无穷解,则 (2011年北京科技大学) 11
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Ç5êß|‹©) ò. WòK 1. e› êß 1 1 1 1 −1 0 1 2 0 1 2 3 X = 1 3 b 2 1 a k), Ka + b = . (2012cÆÛíåÆ) 2. › A = 1 2 1 2 0 1 t t 1 t 0 1 , ‡gÇ5êß|Ax = 0)òmëÍè2, Kt = . (2015cÆ ÛíåÆ) 3. en › Aà1ÉÉ⁄è", ÖR(A) = n − 1, K‡gÇ5êß|Ax = 0òáƒ:)X è . (2016cÆÛíåÆ) 4. ÆÇ5êß| −x1 − x2 + 3x3 = 1 + λ −2x1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + x2 + λx3 = λ Ã), Kλ = . (2016 cÆÛíåÆ) 5. ò|‡gÇ5êß| 1 2 1 2 3 a + 2 1 a −2 x1 x2 x3 = 1 3 0 Ã), Ka = . (2009 cÆœåÆ) 6. A¥5 › ,A∗¥Aäë› , eη1, η2 ¥êß|AX = 0¸áÇ5Ã'), @oùr(A∗ ) = . (2016 cÆœåÆ) 7. Æêß| a 1 1 1 a 1 1 1 a x1 x2 x3 = 1 1 −2 kð), Ka = . (2011cÆâEåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
8.设3阶矩阵A的列分块矩阵为1A=(a1,a2,a1+a2),若a1,a2线性无关,且B=2a1+a2,则线性方程 组AX=β的通解为 015年大连理工大学) 110 9矩阵方程011x=1-11的解为(20年南京大学) 001 10.设n级方阵A的每一行的和为0且A的秩等于n-1,则齐次线性方程组AX=0的通解 为 (2011年南京大学) 11.已知n阶方阵A的秩r(A)=n-2,a1=[1,2,3,a2=[1,1,1,a3=2,3,2f为非齐次线性方程 组AX=b的解,则AX=b的通解为 (2010年上海大学) 12.设A是m×4矩阵,且A中有个三列向量线性无关,如果线性方程组AX=b有解a=[1,2,3,4, B=[1,1,1,1,则AX=b的通解是 (2011年上海大学) 13.设A为n阶非可逆矩阵,且A*的第一列向量为a≠0,如果线性方程组Ax=b有解B,则线性方 程组Ax=b的通解为 (2012年上海大学) 14.设A是m×4矩阵,且A中有个三列向量线性无关,如果线性方程组AX=b有解a=[1,2,3,4, B=[1,1,1,1,则AX=b的通解是 (2012年上海大学) 选择题 如果n阶方阵4的秩R(4)=5,列向量X=(x1,x2,…,xn),B=(b1,b2…,bn),齐次线性方程 组AX=0与BX=1有公共解,则().(2009年北京工业大学 (C)s=n (D)无确定结论 2.记A为n阶实方阵A的伴随矩阵.如果齐次线性方程组A*X=0的解空间的维数是n-1,则AX=0的 解空间的维数必然().(2009年北京工业大学) (A)等于 (B)等 (C)不确定 (D)前三个选项都不正确 3.记A·为m阶实方阵A的伴随矩阵.如果齐次线性方程组AX=0的解空间的维数是1,则AX=0的解 空间的维数必然().(2009年北京工业大学) (A)等于 (B)等于n-1 (C)不确定 (D)前三个选项都不正确
8. 3 › A©¨› è1A = (α1, α2, α1 + α2), eα1, α2 Ç5Ã', Öβ = 2α1 + α2, KÇ5êß |AX = β œ)è . (2015 cåÎnÛåÆ) 9. › êß 1 1 0 0 1 1 0 0 1 X = 2 1 1 1 −1 1 1 1 1 )è . (2010 cHÆåÆ) 10. n ?ê A zò1⁄è0 Ö A ù u n − 1, K‡gÇ5êß| AX = 0 œ) è . (2011cHÆåÆ) 11. Æ n ê A ù r(A) = n − 2, α1 = [1, 2, 3]T , α2 = [1, 1, 1]T , α3 = [2, 3, 2]T èö‡gÇ5êß | AX = b ), K AX = b œ)è . (2010c˛°åÆ) 12. A ¥ m × 4 › ,Ö A •kánï˛Ç5Ã', XJÇ5êß| AX = b k) α = [1, 2, 3, 4]T , β = [1, 1, 1, 1]T , K AX = b œ)¥ . (2011 c˛°åÆ) 13. A è n öå_› , Ö A∗ 1òï˛è α 6= 0, XJÇ5êß| Ax = b k) β, KÇ5ê ß| Ax = b œ)è . (2012c˛°åÆ) 14. A ¥ m×4 › , Ö A •kánï˛Ç5Ã', XJÇ5êß| AX = b k) α = [1, 2, 3, 4]T , β = [1, 1, 1, 1]T , K AX = b œ)¥ . (2012c˛°åÆ) . ¿JK 1. XJn ê AùR(A) = s, ï˛X = (x1, x2, · · · , xn) 0 , β = (b1, b2, · · · , bn) 0 , ‡gÇ5êß |AX = 0 Üβ 0 X = 1k˙), K( ). (2009cÆÛíåÆ) (A)s > n (B)s < n (C)s = n (D)Ã(½(ÿ 2. PA∗èn ¢ê Aäë› . XJ‡gÇ5êß|A∗X = 0)òmëÍ¥n−1, KAX = 0 )òmëÍ7,( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A) u1 (B) un − 1 (C)ÿ(½ (D)cná¿ë—ÿ( 3. PA∗èn ¢ê Aäë› . XJ‡gÇ5êß|A∗X = 0)òmëÍ¥1, KAX = 0) òmëÍ7,( ). (2009cÆÛíåÆ) (A) u1 (B) un − 1 (C)ÿ(½ (D)cná¿ë—ÿ( 2 厦门大学《高等代数》
4. 0是满足条件 0的方程组 nn bn anIL+ annEn= bn an+1.111+..+an+1.1Tn= bn 有解的().(2010年北京工业大学) (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)以上三个选项都不正确 5.若实系数方程组{a2x+b2y=2有解,记D=a2b2e2则().(20年北京工业大学) a3I+ b3y= a3 b3 C3 (A)D>0 (B)D<0 (C)D=0 (D)D可以是任何实数 6.若3维列向量组{a1,a2,a3},{B1,B2}作为列向量形成的矩阵A=( alpha1,a2,a3),B=(1,B2)满足A 268).则齐次线性方程组AX=0的解的情况是()(2012年北京工业大学) (A)有唯一解 (B)无解 (C)有无穷多解 (D)不确定,依赖a1,a2,a3的具体情况 7.设A是n阶方阵,则下列选项中正确的是().(2017年北京工业大学) (A)当齐次线性方程组Ax=0有唯一解时,|4|=0(B)当齐次线性方程组Ax=0有无穷多解时,4|=0. (C)当4=0时,线性方程组Ax=b无解 (D)当4=0时,线性方程组Ax=b有无穷多解 8=1是齐次方程组 +2x2+ 有非零解的().(2016年北京交通大学 (4)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
4. a11 · · · a1n b1 · · · · · · · · · · · · an1 · · · ann bn an+1,1 · · · an+1,n bn+1 = 0¥˜v^á a11 · · · a1n · · · · · · · · · an1 · · · ann = 0êß| a11x1 + · · · + a1nxn = b1 · · · · · · · · · an1x1 + · · · + annxn = bn an+1,1x1 + · · · + an+1,1xn = bn+1 k)( ). (2010cÆÛíåÆ) (A)7á^á (B)ø©^á (C)ø©7á^á (D)±˛ná¿ë—ÿ( 5. e¢XÍêß| a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 a3x + b3y = c3 k), PD = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 . K( ). (2011cÆÛíåÆ) (A)D > 0 (B)D < 0 (C)D = 0 (D)Då±¥?¤¢Í 6. e3ëï˛|{α1, α2, α3}, {β1, β2}äèï˛/§› A = (alpha1, α2, α3), B = (β1, β2)˜vA = B 1 −5 7 2 6 8 ! , K‡gÇ5êß|AX = 0)ú¹¥( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)kçò) (B)Ã) (C)kðı) (D)ÿ(½, ù6α1, α2, α3 ‰Nú¹ 7. A¥n ê , Ke¿ë•(¥( ). (2017cÆÛíåÆ) (A)‡gÇ5êß|Ax = 0kçò)û, |A| = 0.(B)‡gÇ5êß|Ax = 0kðı)û, |A| = 0. (C)|A| = 0û, Ç5êß|Ax = bÃ) (D)|A| = 0û, Ç5êß|Ax = bkðı) 8. a = 1¥‡gêß| x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + ax3 = 0 x1 + 4x2 + a 2x3 = 0 kö")( ). (2016cÆœåÆ) (A)ø©7á^á (B)ø©ö7á^á (C)7áöø©^á (D)Qöø©qö7á^á 3 厦门大学《高等代数》
9.设A为m阶矩阵,a为n维列向量,若秩 =秩A,则线性方程组().(2017年北京交通大学) (A)AX=a必有无穷多解 (B)AX=a有唯一解 仅有零解; (D) 必有非零解 0.设三元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为a=(1,0,2),B=(1,-1,3),且系数矩阵A的秩为2,则 对与任意常数k,k1,k2,方程的通解为().(2011年北京科技大学) (A)k1(1,0,2)+k2(1,-1,3) (B)(1,0,2)+k(1,-1,3 (C)(1,0,2)+k(2,-1,5) (D)(1,0,2)+k(0,1,-1) 11.设A为n阶方阵,下列结论正确的有() A.A的行向量组线性相关的充分必要条件是|A|=0; B.线性方程组AX=b有无穷多组解的充分必要条件是|4|=0; C.|A|=0的充分必要条件是|4|=0; D.以上结论都正确 三计算题 1.解方程组 (x-y)2+(y-2)2+(2-x)2=14 (x2y2+2y2+x2 (2009年北京大学) 2.参数取何整数时,线性方程组 3t x1+x2+2x3+x4=t2 有解?写出相应情况下方程组的一般解.(2012年北京工业大学) 3.已知线性方程组 r1+(a+2)x2+(a+1)x3=a+3 r1+2x2+ar3=3
9. Aèn › , αènëï˛, eù A α α T 0 ! =ùA, KÇ5êß|( ). (2017 cÆœåÆ) (A)AX = α7kðı); (B)AX = αkçò); (C) A α α T 0 ! X Y ! =k"); (D) A α α T 0 ! X Y ! 7kö"). 10. nö‡gÇ5êß|Ax = b¸á)èα = (1, 0, 2)0 , β = (1, −1, 3)0 , ÖXÍ› A ùè2, K ÈÜ?ø~Ík, k1, k2, êßœ)è( ). (2011 cÆâEåÆ) (A)k1(1, 0, 2)0 + k2(1, −1, 3)0 (B)(1, 0, 2)0 + k(1, −1, 3)0 (C)(1, 0, 2)0 + k(2, −1, 5)0 (D)(1, 0, 2)0 + k(0, 1, −1)0 11. A è n ê , e(ÿ(k ( ) A. A 1ï˛|Ç5É'ø©7á^ᥠ|A| = 0 ; B. Ç5êß| AX = b kðı|)ø©7á^ᥠ|A| = 0 ; C. |A∗ | = 0 ø©7á^ᥠ|A| = 0 ; D. ±˛(ÿ—(. n.OéK 1. )êß| x + y + z = 2 (x − y) 2 + (y − z) 2 + (z − x) 2 = 14 x 2y 2 z + x 2yz2 + xy2 z 2 = 2 (2009cÆåÆ) 2. ÎÍt¤Íû, Ç5êß| 2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 = 1 x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 3t x1 + x2 + 2x3 + x4 = t 2 k)? —ÉAú¹eêß|òÑ). (2012cÆÛíåÆ) 3. ÆÇ5êß| x1 + x2 + x3 = 1 2x1 + (a + 2)x2 + (a + 1)x3 = a + 3 x1 + 2x2 + ax3 = 3 4 厦门大学《高等代数》
有无穷多解;设A是三阶矩阵,a1=(1,a,0),a2=(-a,1,0),a3=(0,0,a)分别为A的属于特征 值λ=1,A2=-2,A3=-1的特征向量 (1)求所给线性方程组的通解 (2)求矩阵A (3)求行列式A+3E的值.(2014年北京工业大学) 4.设线性方程组AX=b为4元非齐次线性方程组,秩(4)=3.已知a1,a2,a3是方程的三个解向量, 且a1+a2=(1,2,0,4),a2+a3=(1,0,0,1) (1)求该方程组相应导出组AX=0的一个基础解系 (2)求AX=b的通解.(2015年北京工业大学 5.问常数a,b各取何值时时,线性方程组 3x1+5x2+x3+(a+8)x4=5 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在无穷多解时写出其一般解.(2010年北京交通大学) 6.问常数a,b各取何值时时,以下方程组有解?并求其解.(2011年北京交通大学) x1+x2+x3+x4+x 3x1+2x2+x3+x4-3x5= x2+2x3+2x4+6x5=3 5x1+4x2+3x3+3x4-r5=b 7.入取何值时 Ax1+x2+x3=A-3 有解?并求其解.(2013年北京交通大学) 8.问常数a,b各取何值时,线性方程组 r2+(a-3)x3-2x4=b 3x1+2x2+x3+ar 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在无穷多解时写出其一般解.(2014年北京交通大学) 9.已知线性方程组
kðı); A¥n › , α1 = (1, a, 0)0 , α2 = (−a, 1, 0)0 , α3 = (0, 0, a) 0 ©OèA·uA äλ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = −1Aï˛. (1)¶§âÇ5êß|œ); (2)¶› A; (3)¶1™|A∗ + 3E|ä. (2014cÆÛíåÆ) 4. Ç5êß|AX = bè4ö‡gÇ5êß|, ù(A) = 3. Æα1, α2, α3¥êßná)ï˛, Öα1 + α2 = (1, 2, 0, 4)0 , α2 + α3 = (1, 0, 0, 1)0 (1)¶Têß|ÉA—|AX = 0òáƒ:)X. (2)¶AX = bœ). (2015cÆÛíåÆ) 5. Ø~Ía, bà¤äûû, Ç5êß| x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x2 − x3 + 2x4 = 1 2x1 + 3x2 + (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 3x1 + 5x2 + x3 + (a + 8)x4 = 5 Ã), kçò), ½kðı), ø3ðı)û—ŸòÑ). (2010cÆœåÆ) 6. Ø~Ía, bà¤äûû, ±eêß|k)? ø¶Ÿ). (2011cÆœåÆ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = a x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 3 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = b 7. λ¤äû λx1 + x2 + x3 = λ − 3 x1 + λx2 + x3 = −2 x1 + x2 + λx3 = −2 k)? ø¶Ÿ). (2013cÆœåÆ) 8. Ø~Ía, bà¤äû, Ç5êß| x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 = 1 −x2 + (a − 3)x3 − 2x4 = b 3x1 + 2x2 + x3 + ax4 = −1 Ã), kçò), ½kðı), ø3ðı)û—ŸòÑ). (2014cÆœåÆ) 9. ÆÇ5êß| 5 厦门大学《高等代数》