课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 欧氏空间部分) 填空题 1.在欧氏空间R中,向量a=(1,2,2,3),B=(3,1,5,1)的夹角(a,B) (2011年北京交通大学) 2.在欧氏空间R中,向量a=(1,1,1,2),B=(3,1,-1,0)的夹角{a,B)= (2013年北京交通大 学) 3.设R2×中的内积为aB)=aAB,A (2)(2)(" 在此内积之下的度量矩阵为 2015年北京交通大学 4.设=1,E2,…,En是欧氏空间V的一组标准正交基,u∈V,且(u,=1)2+(u,E2)2+…(u,En)2=4,则‖l‖= (2015年北京交通大 5.n阶对称正交矩阵按照相似分类,共有类.(2015年北京交通大学) 6.设A=(a1)nxn为阶正交矩阵,且a1=-1,则矩阵方程Ax 的解为 (2015年北京 交通大学) 7.设a=(边,0,边,a2=(0,1,0),a3=(0-力,为欧几里得空间R的一个标准正交基,则R中 向量=(2,1,-2)在a1,a2,a3下的坐标为 (2017年北京交通大学) 在实线性空间R3,对于B3中的向量a=(x1,x2,x3),B=(y,y,),定义R3上的二元运算为(a,B)= x1y1+x2y2+x3y3,则R3成为欧氏空间,在此欧氏空间R3中,向量a=(1,2,2)的长度是 underline 向量a=(1,2,2)与向量B=(2,-1,0)之间的夹角是 underline (2015年大连理工大学) 9.设a1,a2,a3是3维欧氏空间v的一组基其度量矩阵为A=01-1|向量=a1-a,则 (2013年湖南师范大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Óºòm‹©) ò. WòK 1. 3ÓºòmR4•, ï˛α = (1, 2, 2, 3), β = (3, 1, 5, 1)Yhα, βi= . (2011cÆœåÆ) 2. 3ÓºòmR4•, ï˛α = (1, 1, 1, 2), β = (3, 1, −1, 0)Yhα, βi= . (2013cÆœå Æ) 3. R 2×1•S»èα 0 β) = α 0 Aβ, A = 2 1 1 2 ! , K 1 2 ! , 0 1 ! 3dS»Ée›˛› è . (2015cÆœåÆ) 4. ε1, ε2, · · · , εn¥ÓºòmV ò|IOƒ, u ∈ V , Ö(u, ε1) 2 + (u, ε2) 2 +· · ·(u, εn) 2 = 4, Kkuk = . (2015cÆœåÆ) 5. n È°› UÏÉq©a, k a. (2015cÆœåÆ) 6. A = (ai,j )n×nèn › , Öa11 = −1, K› êßAx = 1 0 . . . 0 )è . (2015cÆ œåÆ) 7. α1 = ( √ 1 2 , 0, √ 1 2 ), α2 = (0, 1, 0), α3 = ( √ 1 2 , 0, − √ 1 2 ), èÓApòmR 3òáIOƒ, KR 3• ï˛ξ = (2, 1, −2)3α1, α2, α3 eãIè . (2017 cÆœåÆ) 8. 3¢Ç5òmR 3 , ÈuR 3•ï˛α = (x1, x2, x3), β = (y1, y2, y3), ½¬R 3˛$éè(α, β) = x1y1+x2y2+x3y3,KR 3§èÓºòm, 3dÓºòmR 3•, ï˛α = (1, 2, 2)›¥ underline , ï˛α = (1, 2, 2)Üï˛β = (2, −1, 0)ÉmY¥ underline . (2015cåÎnÛåÆ) 9. α1, α2, α3¥3ëÓºòmV ò|ƒ, Ÿ›˛› èA = 3 0 0 0 1 −1 0 −1 2 , ï˛β = α1−α2, K|β| = . (2013c HìâåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
10.设W=L(a1,a2)是欧氏空间R4中由向量a1=(1,1,0,0),a2=(0,1,1,0)生成的子空间,则W的正交 补空间W的一个标准正交基为 (2015年湖南师范大学 11i设3维欧氏空间v的一组基a1,a2.3的度量矩阵为-120.则向量2a1+302-a3的长 003 度为 2.设3维欧氏空间一组基a1a2,a3的度量矩阵为030,则向量2a1+3a2-a3的长度 为 13.设V为3维欧氏空间,E1,e2,e3为V的标准正交基,如果基a1=E1+e2+E3,a2=E1+E2,a3=E1 则基a1,a2,a3的度量矩阵为 14设三阶实对称矩阵A的特征值分别为a,a,b(a≠b),如果(1,1,1),(1,0,1)为A的对应于特征值a的 特征向量,则矩阵A对应于特征值b的特征向量为 15.设A∈cnxn.若A是酉矩阵,则 二.选择题 设A,B均为π阶实对称矩阵,且均可逆,Δ表示某对角矩阵,则下列命题中不正确的是().(2016年北 京交通大学) (A)存在可逆矩阵P,使P-1(A+B)P=A (B)存在正交矩阵Q,使Q-1(4-1+B-1)Q (C)存在正交矩阵Q,使Q(A*+B)Q=A (D)存在可逆矩阵P,使P-14)P=A 2.().(2016年北京交通大学) 2 (B)-(ad-bc)2 (C)a2d2-b222 (D)b2c2-a2d2 3.设V为n维欧氏空间,则( A.A中存在非零正交向量组a1,a2,…,an+1 B.V的任意一个基的度量矩阵是正定矩阵; C.如果W是V的子空间,则W的正交补W不唯 D.V中标准正交基的过渡矩阵是正交阵 三计算题
10. W = L(α1, α2)¥ÓºòmR 4•dï˛α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (0, 1, 1, 0) )§fòm, KW ÷òmW⊥òáIOƒè . (2015c HìâåÆ) 11. 3 ëÓºòm V ò|ƒ α1, α2, α3 ›˛› è 1 −1 0 −1 2 0 0 0 3 . Kï˛ 2α1 + 3α2 − α3 ›è . 12. 3 ëÓºòmò|ƒ α1, α2, α3 ›˛› è 1 0 −1 0 3 0 −1 0 1 , Kï˛ 2α1 + 3α2 − α3 › è . 13. V è3 ëÓºòm, ε1, ε2, ε3 è V IOƒ, XJƒ α1 = ε1 +ε2 +ε3, α2 = ε1 +ε2, α3 = ε1 Kƒ α1, α2, α3 ›˛› è . 14. n ¢È°› A Aä©Oè a, a, b(a 6= b), XJ(1,1,1),(1,0,1) è A ÈAuAä a Aï˛, K› A ÈAuAä b Aï˛è: . 15. A ∈ C n×n . e A ¥j› , K . . ¿JK 1. A, B˛èn ¢È°› , Ö˛å_, ΛL´,È› , Ke·K•ÿ(¥( ). (2016c ÆœåÆ) (A)3å_› P, ¶P −1 (A + B)P = Λ (B)3› Q, ¶Q−1 (A−1 + B−1 )Q = Λ (C)3› Q, ¶QT (A? + B? )Q = Λ (D)3å_› P, ¶P −1A)P = Λ 2. ( ). (2016cÆœåÆ) (A) (ad − bc) 2 (B) −(ad − bc) 2 (C) a 2d 2 − b 2 c 2 (D) b 2 c 2 − a 2d 2 3. V è n ëÓºòm, K( ) A. A •3ö"ï˛| α1, α2, · · · , αn+1 ; B. V ?øòმ˛› ¥½› ; C. XJ W ¥ V fòm, K W ÷ W⊥ ÿçò; D. V •IOƒLfi› ¥ . n.OéK 2 厦门大学《高等代数》
1.令]3的内积为(f,g)=/21f(x)9(x)d,3的基为=1,f1=x,=x2试应用施密特正交化方 法求R[z]3的一组标准正交基.(2009年北京交通大学) 2.设1,e2,E3,4,E5是欧氏空间V的一组标准正交基,V=L(a1,a2,a3),其中a1=1+εs,a2=c E2+E4,a3=21+E2+E3,求V的一组标准正交基.(2012年北京交通大学) 3.在欧氏空间Rn中,设W为 2x1+x2+3x3-x4=0, 0 的解空间,求W址=?(2013年北京交通大学 4.设a1,a2,a3是3维欧氏空间v的一组基,这组基的度量矩阵是A 120,求V的一组标准正 交基.(2015年北京交通大学) 011 20 5.设A=101,求正交矩阵Q,使得Q1AQ=0-10(201年大连理工大学 6.设q1,g,g3是三个四元实列向量,并记Q=(q1q,q3),若q1,q2g3两两正交且长度相等,则 (1)求齐次线性方程组Qx=0的解空间的维数: (2)求Qx=q1+2g+4g3的最小二乘解 (3)设是q1,g,g3生成的线性空间之外的一个四元列向量,通过对q,g,93,U进行施密特正交化,写出 第四个正交列向量q4-(2013年大连理工大学 7.设A=201,求一个正交矩阵Q,使得Q1AQ为对角矩阵.(2013年大连理工大学 002 s.试确定正交矩阵T,使得TAT为对角矩阵,其中A=-11-1.(201年湖南大学) 9求正交矩阵Q,使得QAQ为对角矩阵,并写出此对角矩阵,其中A 1200 0001·(2015年湖南大学) 0010 10.设a1,a2,a3是3维欧氏空间v的一组基,度量矩阵为 1-12 12-1
1. -R[x]3S»è(f, g) = R 1 −1 f(x)g(x)dx, R[x]3ƒèf0 = 1, f1 = x, f2 = x 2 ,£A^ñóAzê {¶R[x]3ò|IOƒ. (2009 cÆœåÆ) 2. ε1, ε2, ε3, ε4, ε5¥ÓºòmV ò|IOƒ, V1 = L(α1, α2, α3), Ÿ•α1 = ε1 + ε5, α2 = ε1 − ε2 + ε4, α3 = 2ε1 + ε2 + ε3, ¶V1ò|IOƒ. (2012cÆœåÆ) 3. 3ÓºòmR n•, Wè 2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0, 3x1 + 2x2 − 2x4 = 0, 3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0. )òm, ¶W⊥ =? (2013cÆœåÆ) 4. α1, α2, α3¥3ëÓºòmV ò|ƒ, ˘|ƒ›˛› ¥A = 1 −1 1 −1 2 0 1 0 4 , ¶V ò|IO ƒ. (2015cÆœåÆ) 5. A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 , ¶› Q, ¶Q−1AQ = 2 0 0 0 −1 0 0 0 −1 . (2011cåÎnÛåÆ) 6. q1, q2, q3¥náo¢ï˛, øPQ = (q1, q2, q3), eq1, q2, q3¸¸Ö›É , K (1)¶‡gÇ5êß|Qx = 0)òmëÍ; (2)¶Qx = q1 + 2q2 + 4q3Ŷ); (3)v¥q1, q2, q3)§Ç5òmÉ òáoï˛, œLÈq1, q2, q3, v?1ñóAz, — 1oáï˛q4. (2013cåÎnÛåÆ) 7. A = 3 2 1 2 0 1 0 0 2 , ¶òá› Q, ¶Q−1AQèÈ› . (2013cåÎnÛåÆ) 8. £(½› T, ¶T 0 ATèÈ› , Ÿ•A = 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 . (2011c HåÆ) 9. ¶› Q, ¶QT AQèÈ› , ø—dÈ› , Ÿ•A = 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 . (2015c HåÆ) 10. α1, α2, α3¥3ëÓºòmV ò|ƒ, ›˛› è A = 1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 6 3 厦门大学《高等代数》
(1)求B=a1+a2的长度 (2)求参数A的值,使得γ=a1+a2+Aa3与B正交.(2012年湖南大学) 11.设3阶实对称矩阵A的特征值为h=-1,A2=A3=1,且入对应的特征向量为a1=(0,1,1),试计算 (1)求矩阵A对应于特征值1的特征向量; (2)求矩阵A (3)求正交矩阵T,使得TAT为对角矩阵(2014年湖南大学 12.设A∈Rmxn是m×n阶实矩阵,b∈R是实m维向量,A表示矩阵A的转置.证明 (1)线性方程组Ax=b有解的充要条件是b与齐次线性方程组Ax=0的解空间正交 (2)若线性方程组Ax=b无解,则存在∈Rn,使得对vx∈Rn,有 AB-b≤Ax-b 其屮l|=√<x,x>,<,>为R中内积.(2017年湖南大学) 13.设矩阵A 求一个正交矩阵T,使TAT为对角阵.(2015年华东师范大学) 14.已知矩阵A= 求正交矩阵Q,使得Q-1AQ为对角矩阵,并写出得到的对角矩阵 2016年华东师范大学 15.已知实对称矩阵A=141|,求一个正交矩阵r,使rAT为对角阵(2017年华东师范大学) 2-12 16.设矩阵A 122.求一个正交矩阵P,使PAP为对角阵,并写出该对角阵.(2018年华东师 221 范大学) 17.设1,E2,3是欧氏空间V上的一组标准正交基,设 a1=E1+E2-E3,a2=E1-E2-E3, W=L(a1,a2) (1)求W的一组标准正交基 (2)求W的一组标准正交基 (3)求a=E2+2=3在W中的内射影(即求B∈W,使a=B+7,7∈W-),并求a到W距离.(2009年华南 理工大学
(1)¶β = α1 + α2›. (2)¶ÎÍλä, ¶γ = α1 + α2 + λα3Üβ. (2012c HåÆ) 11. 3 ¢È°› AAäèλ1 = −1, λ2 = λ3 = 1, Öλ1ÈAAï˛èα1 = (0, 1, 1)0 , £Oé: (1)¶› AÈAuAä1Aï˛; (2)¶› A; (3)¶› T, ¶T 0 ATèÈ› . (2014c HåÆ) 12. A ∈ R m×n¥m × n ¢› , b ∈ R m¥¢mëï˛, ATL´› A=ò. y²: (1)Ç5êß|Ax = bk)øá^á¥b܇gÇ5êß|Ax = 0)òm; (2)eÇ5êß|Ax = bÃ), K3xb ∈ R n, ¶È∀x ∈ R n, k k Axb − b k≤k Ax − b k, Ÿ•k x k= √ < x, x >, <, >èR n•S». (2017c HåÆ) 13. › A = 1 −2 −2 −2 −2 1 −2 −2 −2 −2 1 −2 −2 −2 −2 1 ¶òá› T, ¶T 0 ATèÈ . (2015 cu¿ìâåÆ) 14. Æ› A = 3 1 0 −1 1 3 −1 0 0 −1 3 1 −1 0 1 3 ¶› Q, ¶Q−1AQèÈ› , ø—È› . (2016cu¿ìâåÆ) 15. ƢȰ› A = 4 1 1 1 4 1 1 1 4 , ¶òá› T, ¶T 0 ATèÈ . (2017cu¿ìâåÆ) 16. › A = 1 3 2 −1 2 −1 2 2 2 2 1 , ¶òá› P, ¶P T APèÈ , ø—TÈ . (2018cu¿ì âåÆ) 17. ε1, ε2, ε3¥ÓºòmV ˛ò|IOƒ, α1 = ε1 + ε2 − ε3, α2 = ε1 − ε2 − ε3, W = L(α1, α2). (1)¶Wò|IOƒ; (2)¶W⊥ò|IOƒ; (3)¶α = ε2 + 2ε33W•SK(=¶β ∈ W, ¶α = β + γ, γ ∈ W⊥), ø¶αWÂl. (2009cuH nÛåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
18.设V为4维欧氏空间,E1,E2,3,E4为V的一组标准正交基,令 a1=E2+E3+E4,a2=E1+E3+E4:03=E1+E2+E4:a4=E1+E2+E (1)将a1,a2,a3a4化为单位正交的向量组1,B2,B3,月4 (2)求由基1,E2,E3,E4到基1,B2,B3,B4的过渡矩阵 (3)令W1=L(a1,a2),U1=W;W2=L(a2,a4) W2.试用基向量=1,E2,E3,E4表示子空 间U1+U2,并确定其维数.(2013年华南理工大学) 19.已知a1,a2,a3是三维欧氏空间v的一组基,且这组基的度量矩阵为 120 求V的一组标准正交基(用a1,a2,a3表示出来).(2017年华南理工大学) 20.在Pn空间中,已知线性变换在任一基c下的坐标均为(1,1,…,1)y,其中e1为单位矩阵 的第i列的列向量 (1)求T得特征值 (2)求Rn的一组标准正交基,使得T在这一组基下的矩阵为对角阵(2010年华中科技大学 1.设a,B,7是欧氏空间Rn的向量,并且 a+B+y=0. (1)如果(a,B)>0,证明(a,)>0,(8,)>0,并且|h|>max{a,} (2)如果(a,B)<0,证明(a,B)>max{(a,B),(B,)},并且||>max{lal,|} (3)试说明(1)与(2)的几何含义.(2013年华中科技大学) 22.实质为 求正交阵使其对角化(2015年华中科技大学) 23.设实对称矩阵 2-22 -2-1a 的特征值之和等于0,特征值之积等于54.求a,b的值,并求正交矩阵T使得TAT为对角矩阵
18. V è4ëÓºòm, ε1, ε2, ε3, ε4 èV ò|IOƒ, - α1 = ε2 + ε3 + ε4, α2 = ε1 + ε3 + ε4, α3 = ε1 + ε2 + ε4, α4 = ε1 + ε2 + ε3, (1)Úα1, α2, α3, α4z踆ï˛|β1, β2, β3, β4; (2)¶dƒε1, ε2, ε3, ε4 ƒβ1, β2, β3, β4Lfi› ; (3)-W1 = L(α1, α2), U1 = W⊥ 1 ; W2 = L(α2, α4), U2 = W⊥ 2 . £^ƒï˛ε1, ε2, ε3, ε4 L´fò mU1 + U2, ø(½ŸëÍ. (2013cuHnÛåÆ) 19. Æα1, α2, α3¥nëÓºòmV ò|ƒ, Ö˘|ƒ›˛› è A = 1 −1 1 −1 2 0 1 0 4 , ¶V ò|IOƒ(^α1, α2, α3L´—5). (2017cuHnÛåÆ) 20. 3 Rn òm•, ÆÇ5CÜ A 3?òƒ ei eãI˛è (1, 1, · · · , 1)0 , Ÿ• ei 踆› 1 i ï˛. (1) ¶ T Aä. (2) ¶ Rn ò|IOƒ, ¶ T 3˘ò|ƒe› èÈ .(2010cu•âEåÆ) 21. α, β, γ ¥Óºòm R n ï˛, øÖ α + β + γ = 0. (1) XJ (α, β) > 0 , y² (α, γ) > 0,(β, γ) > 0 , øÖ |γ| > max{|α|, |β|} . (2) XJ (α, β) < 0 , y² (α, β) > max{(α, β),(β, γ)} , øÖ |γ| > max{|α|, |β|} . (3) £`²(1) Ü(2) A¤¹¬.(2013cu•âEåÆ) 22. ¢üè 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ¶ ¶ŸÈz.(2015cu•âEåÆ) 23. ¢È°› A = 2 −2 2 −2 −1 a 2 a b AäÉ⁄ u0, AäÉ» u-54. ¶ a, b ä, ø¶› T ¶ T 0AT èÈ› . 5 厦门大学《高等代数》