课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 特征值、特征多项式部分) 填空题 1.如果a=(1,1,2,0)是4阶方阵A的属于特征值2的一个特征向量,则它一定也是方阵43-242-3E的 属于特征值 的一个特征向量.(2009年北京工业大学) 2.已知3阶方阵A的特征值是方程x3=1的三个不同根,则4+El (2014年北京工业大学) 3.设矩阵A 的特征值为A1,A2,A3,A4,则入A23A4 (2016年北京工业大 4设矩阵4-21.34的特征值为入,A,则+为+为+ (2017年北 京工业大学) 5.设A是n阶矩阵,|A≠0,若A*是A的伴随矩阵.若A有特征值入,则(2A)-1必有一个特征值是 (2009年北京交通大学) 211 6.设向量a=(1,k17是矩阵A=121的逆矩阵A1的特征向量则常数k需要满足的条件是 (2009年北京交通大学 100 7.设A=0-11,则A的最小多项式为 (2009年北京交通大学) 1是矩阵A=5-33的特征向量,则a (2010年北京交通大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Aä!Aı뙋©) ò. WòK 1. XJα = (1, 1, 2, 0)0¥4 ê A·uAä2òáAï˛, Kßò½è¥ê A3 − 2A2 − 3E ·uAä òáAï˛. (2009cÆÛíåÆ) 2. Æ3 ê AAä¥êßx 3 = 1náÿ”ä, K|A + E| = . (2014cÆÛíåÆ) 3. › A = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 Aäèλ1, λ2, λ3, λ4, Kλ1λ2λ3λ4 = . (2016cÆÛíå Æ) 4. › A = 1 1 −1 −1 1 2 1 −1 −1 1 3 4 −1 −1 4 0 Aäèλ1, λ2, λ3, λ4, Kλ1 + λ2 + λ3 + λ4 = . (2017c ÆÛíåÆ) 5. A¥n › , |A| 6= 0, eA∗¥Aäë› . eAkAäλ, K(2A∗ ) −17kòáAä¥ . (2009cÆœåÆ) 6. ï˛α = (1, k, 1)T¥› A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 _› A−1Aï˛, K~ÍkIá˜v^ᥠ. (2009cÆœåÆ) 7. A = −1 0 0 0 −1 1 0 0 −1 , KAÅıë™è . (2009cÆœåÆ) 8. α = 1 1 −1 ¥› A = a −1 2 5 −3 3 −1 0 −2 Aï˛, Ka = . (2010cÆœåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
9.设R]3是次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间,R3的线性变换T满足:对任意f(x) a+a1x+a2x2∈Rr]3,Tf(x)=(a1+a2)+(ao+a2)x+(a0+a1+2a2)x2,则线性变换的特征值 为 (2010年北京交通大学 10.矩阵 01 0 的最小多项式为 (2010年北京交通大学) 11.设-23,-1是三阶方阵A的特征值,则A3-6A+11E= (E为单位矩阵)(2011年北京交通 大学) 2.设入,A2,3为三阶方阵A的全部特征值,且有相应的特征向量依次为(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1),则A 2013年北京交通大学 001 13.设A=x1y有三个线性无关的特征向量,则和y应满足的条件为 2013年北京交通 100 大学) 14.设价阶方阵A有特征值1,2,2,3,则A-1+3E (2017年北京交通大学 15.设A是元素都是1的n阶方阵,则A的最小多项式为 (2017年北京交通大学) 16.若n维线性空间v的线性变换σ有n个不同的特征值,则σ有个不变子空间.(2017年北京交通大 学 17.设3阶矩阵AB相似,矩阵A的特征值为1,2,3,则B (2010年北京科技大学) 18.设A=a4-3,且A有一特征值入=6,则a (2011年北京科技大学) 19.设是n维列向量,(u,u)=1,H+E-2u,则=1是H的重特征值.(2013年北京科技大学) 20.设矩阵A的特征多项式为f(A)=2-5A+6,则A可逆,A-1的特征多项式为 (2015年大连 理工大学
9. R[x]3¥gÍu3§k¢XÍıë™|§Ç5òm, R[x]3Ç5CÜT˜v: È?øf(x) = a0 + a1x + a2x 2 ∈ R[x]3, T f(x) = (a1 + a2) + (a0 + a2)x + (a0 + a1 + 2a2)x 2 , KÇ5CÜAä è . (2010cÆœåÆ) 10. › −1 1 −1 0 1 0 0 −1 Åıë™è . (2010cÆœåÆ) 11. −2, 3, −1¥n ê AAä, K|A3 − 6A + 11E| = .(E踆› ) (2011cÆœ åÆ) 12. λ1, λ2, λ3èn ê A ‹Aä, ÖkÉAAï˛ùgè(1, 1, 1)0 ,(0, 1, 1)0 ,(0, 0, 1)0 , KAn = . (2013cÆœåÆ) 13. A = 0 0 1 x 1 y 1 0 0 knáÇ5Ã'Aï˛, Kx⁄yA˜v^áè . (2013cÆœ åÆ) 14. 4 ê AkAä1, 2, 2, 3, K|A−1 + 3E| = , |A∗ | = . (2017cÆœåÆ) 15. A¥É—¥1n ê , KAÅıë™è . (2017cÆœåÆ) 16. enëÇ5òmV Ç5CÜσknáÿ”Aä, Kσk áÿCfòm. (2017cÆœå Æ) 17. 3 › A, BÉq, › AAäè1, 2, 3, K|B| = . (2010cÆâEåÆ) 18. A = 1 −1 1 a 4 −3 −3 −3 5 , ÖAkòAäλ = 6, Ka = . (2011cÆâEåÆ) 19. u¥nëï˛, (u, u) = 1, H + E − 2uu 0 , Kλ = 1¥H Aä. (2013cÆâEåÆ) 20. › AAıë™èf(λ) = λ 2 − 5λ + 6, KAå_, A−1Aıë™è . (2015cåÎ nÛåÆ) 2 厦门大学《高等代数》
21.已知4阶不可逆矩阵A的三个特征值是3,,那么行列式+2E (2014年湖南师范大 学) 22.已知2016阶方阵A的全部特征值A1=0,A2=1,A3=2,…,A2015=2014,A2016=2015,且P是2016阶 可逆矩阵,则E+P-1AP (2016年湖南师范大学) 选择题 如果n阶实矩阵A=-A,则其特征值的平方().(209年北京工业大学) (A)2=0 (B)2>0 (C)2≤0 (D)与0不可比较 2.A1,A2(A1≠A2)是实对称矩阵A的特征值,a1,a2,a3是属于A1的一个线性无关的特征向量组,B1,B2是 属于入2的一个特征向量组,则().(2010年北京工业大学) (A)a1,a2,B2一定线性无关 (B)a1,a3,1定是正交向量组 (C)a1,B1,B2一定线性无关 (D)a1,B1,B2一定线性相关 3.如果n阶实矩阵A=rA(r≠0),则A的特征值及其共轭之间的关系是().(2010北京工业大学) (A)X=r入 A=rA (C)入=-rA (D)没有确定的关系 4.若a是n阶矩阵A的一个属于特征值e的特征向量,则().(2011年北京工业大学 (A)a仍是A2+4的一个特征向量 (B)对实数AAa仍是A2+A的一个特征向量 (C)+0-定是A2+A的一个特征值 (D)02+6不一定是A2+A的一个特征值 5.已知0,1是3阶实对称矩阵A的特征值,a是属于0的一个线性无关的特征向量组,B1,B2是属于1的 个特征向量构成的正交向量组,则().(2011年北京工业大学) (A)a1,a2,B2一定线性相关 (B)a1,a3,B1一定是正交向量组 (C)a1,B1,B2一定线性无关 (D)a1,B1,B2一定是正交向量组 6.若0,1是实对称矩阵A的特征值,a1,a2,a3是属于0的一个线性无关的特征向量组,B1,B2是属于1的 由特征向量组构成的正交向量组,B表示a,B1,B2作为列向量形成的正交向量组,B=(a,B1),B2.则 ).(2012年北京工业大学
21. Æ4 ÿå_› AnáAä¥1 3 , 1 4 , 1 5 , @o1™|A + 2E| = . (2014c Hìâå Æ) 22. Æ2016 ê A ‹Aäλ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2, · · · , λ2015 = 2014, λ2016 = 2015, ÖP¥2016 å_› , K|E + P −1AP| = . (2016c HìâåÆ) . ¿JK 1. XJn ¢› A = −A 0 , KŸAäλ²ê( ). (2009cÆÛíåÆ) (A)λ 2 = 0 (B)λ 2 > 0 (C)λ 2 ≤ 0 (D)Ü0ÿå' 2. λ1, λ2(λ1 6= λ2)¥¢È°› AAä, α1, α2, α3 ¥·uλ1òáÇ5Ã'Aï˛|, β1, β2¥ ·uλ2òáAï˛|, K( ). (2010cÆÛíåÆ) (A)α1, α2, β2ò½Ç5Ã' (B)α1, α3, β1ò½¥ï˛| (C)α1, β1, β2ò½Ç5Ã' (D)α1, β1, β2ò½Ç5É' 3. XJn ¢› A = rA0 (r 6= 0), KAAäλ9Ÿ›λÉm'X¥( ). (2010ÆÛíåÆ) (A)λ = rλ (B)λ = rλ (C)λ = −rλ (D)vk(½'X 4. eα¥n › Aòá·uAäθAï˛, K( ). (2011cÆÛíåÆ) (A)αE¥A2 + AòáAï˛ (B)È¢Íλ, λαE¥A2 + AòáAï˛ (C)θ 2 + θò½¥A2 + AòáAä (D)θ 2 + θÿò½¥A2 + AòáAä 5. Æ0, 1¥3 ¢È°› AAä, α ¥·u0òáÇ5Ã'Aï˛|, β1, β2¥·u1 ò áAï˛§ï˛|, K( ). (2011cÆÛíåÆ) (A)α1, α2, β2ò½Ç5É' (B)α1, α3, β1ò½¥ï˛| (C)α1, β1, β2ò½Ç5Ã' (D)α1, β1, β2ò½¥ï˛| 6. e0, 1¥¢È°› AAä, α1, α2, α3 ¥·u0òáÇ5Ã'Aï˛|, β1, β2¥·u1, dAï˛|§ï˛|, BL´α, β1, β2 äèï˛/§ï˛|, B = (α, β1), β2. K( ). (2012cÆÛíåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
(A)a,B1,B2一定线性相关 (B)a,B1,B2一定是正交向量组 (C)B一定正交矩阵 (D)BB一定是对角阵 7.若是实正交矩阵A的特征值,a是4的特征向量,则().(2012年北京工业大学) (A)入是1或 (B)任意给定实系数多项式f(x),f(A)总是f(A)的特征值 (C)a是A-1的特征向量 (D)前三个选项都不正确 8.已知3阶方阵A的特征值为0,2,-1,则行列式|42+A+E的值为().(2015年北京工业大学) (A)1 (C)7 (D)14 9.设,A2分别是方阵A的两个不同的特征值,a1,a2分别是它们对应的特征向量,则向量组a1,A(a1+ a2)线性无关的充分必要条件是()2015年北京工业大学) (B)入2≠0 (C)A1=0 10.下列说法正确的是().(2016年北京工业大学) (A)数域P上两线性空间同构的充要条件是它们的维数相等 (B)设矩阵A满足A2=E,则1与-1一定是A的特征值 (C)正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵 (D)任意对称矩阵的特征值都是实数 1.下列说法正确的有个.(2016年北京交通大学) (1)数域P上上m阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式之积 (2)两个矩阵有相同的最小多项式,则它们是相似矩阵; (3)m阶矩阵A的任一特征根都是最小多项式的根 (4)m阶矩阵A的最小多项式的根都是A的特征根 (B)2 12.设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量矩阵a是矩阵A的属于特征多项式λ的特征向量,那么在 下列矩阵中:(1)42;(2)P-1AP(3)A;(4)E-是A.a一定是其特征向量的矩阵共有个 北京交通大学)
(A)α, β1, β2ò½Ç5É' (B)α, β1, β2ò½¥ï˛| (C)Bò½› (D)B 0 Bò½¥È 7. eλ¥¢› AAä, α¥AAï˛, K( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)λ¥1½-1 (B)?øâ½¢XÍıë™f(x), f(λ)o¥f(A)Aä (C)α¥A−1Aï˛ (D)cná¿ë—ÿ( 8. Æ3 ê AAäè0, 2, −1, K1™|A2 + A + E|äè( ). (2015cÆÛíåÆ) (A)1 (B)0 (C)7 (D)14 9. λ1, λ2©O¥ê A¸áÿ”Aä, α1, α2©O¥ßÇÈAAï˛, Kï˛|α1, A(α1 + α2)Ç5Ã'ø©7á^á¥( ). (2015 cÆÛíåÆ) (A)λ1 6= 0 (B)λ2 6= 0 (C)λ1 = 0 (D)λ2 = 0 10. e`{(¥( ). (2016cÆÛíåÆ) (A)ÍçP˛¸Ç5òm”øá^á¥ßÇëÍÉ (B)› A˜vA2 = E, K1Ü−1ò½¥AAä (C)CÜ3?øƒe› —¥› (D)?øÈ°› Aä—¥¢Í 11. e`{(k á. (2016 cÆœåÆ) (1)ÍçP˛˛n › AÉquÈ øá^á¥AÅı뙥P˛pÉògœ™É»; (2)¸á› kÉ”Åıë™, KßÇ¥Éq› ; (3)n › A?òAä—¥Åıë™ä; (4)n › AÅıë™ä—¥AAä. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 12. A¥n › , P¥n å_› , nëï˛› α¥› A·uAıë™λAï˛, @o3 e› •:(1)A2 ; (2)P −1AP; (3)AT ; (4)E − 1 2A. αò½¥ŸAï˛› k á. (2016c ÆœåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
(A)1 13.设n阶方阵(an)nxn的特征值为入(=1,2,…,n,则∑的值为().(2017年北京交通大学) (A)∑a1 (B)(∑a1)2 i=1j=1 三计算题 1.设V是全体次数不超过n的实系数多项式组成的线性空间.定义线性变换A:f(x)-+f(1-x),求A的 特征值和对应的特征子空间.(2016北京大学) b1-2,B 2 (1)若A有特征值4,1,-2,求a,b,c (2)设a=(1,k,1)是B-1的一个特征向量,求k.(2011年北京交通大学) 3.已知三阶实对称矩阵A有特征值0(二重和2.若a1=2a2 是A的属于特征值0的特征向 量 (1)求正交矩阵P,使得P-1AP为对角阵 (2)求矩阵A.(2012北京交通大学) 4.设V是有理数域Q上的三维空间,V的线性变换T在基a1,a2,a3下的矩阵为 1 602 1 求T的特征值和相应的特征向量;又问:A可否对角化?(2013年北京交通大学) 5.求三阶实对称矩阵A,使得A的特征值为1,1,且(,1,0)是A属于3的特征向量.(2015年北京交通大 6.设矩阵A 5b3.4=-1,A的伴随矩阵A有一个特征值λ,属于0的特征向量为a (-1,-1,1)2,a,b,c和入0的值.(2016北京交通大学)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 13. n ê (aij )n×nAäèλi(i = 1, 2, · · · , n), K Pn i=1 λ 2 i äè( ). (2017cÆœåÆ) (A)Pn i=1 a 2 ii (B)(Pn i=1 aii) 2 (C)Pn i=1 Pn j=1 aijaji (D)Pn i=1 a 2 ij n.OéK 1. V ¥ NgÍÿáLn¢XÍıë™|§Ç5òm. ½¬Ç5CÜA : f(x) −→ f(1−x), ¶A Aä⁄ÈAAfòm. (2016ÆåÆ) 2. A = a −2 0 b 1 −2 c −2 0 , B = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . (1)eAkAä4, 1, −2, ¶a, b, c. (2)α = (1, k, 1)0¥B−1òáAï˛, ¶k. (2011cÆœåÆ) 3. Æn ¢È°› AkAä0()⁄2. eα1 = 1 2 1 α2 = 2 1 2 ¥A·uAä0Aï ˛. (1)¶› P, ¶P −1APèÈ ; (2)¶› A. (2012ÆœåÆ) 4. V ¥knÍçQ˛nëòm, V Ç5CÜT3ƒα1, α2, α3e› è A = 5 6 −3 −1 0 1 1 2 −1 ¶TAä⁄ÉAAï˛; qØ: AåƒÈz? (2013cÆœåÆ) 5. ¶n ¢È°› A, ¶AAäè3, 1, 1, Ö(1, 1, 0)0¥A·u3Aï˛. (2015cÆœå Æ) 6. › A = a −1 c 5 b 3 1 − c 0 −a , |A| = −1, Aäë› A∗kòáAäλ0, ·uλ0Aï˛èα = (−1, −1, 1)T , a, b, c ⁄λ0ä. (2016ÆœåÆ) 5 厦门大学《高等代数》