(2)在区域A内用应力表示的相容方程式(2-21)或(2-22： (3)在边界上的应力边界条件式(215)，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题： (4)对于多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】用应变表示的相容方程式(2-20) 【213】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】(1)在区域A内用应力函数表示的相容方程式(2-25)： (2)在边界S上的应力边界条件式(2-15)，假设全部为应力边界条件： (3)若为多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答 1 1?h 图2-20 图2-21 a图22m5,=若9：0，=，=0. 【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：(1)平衡微分方程(2-2)： (2)用应力表示的相容方程(2-21)：(3)应力边界条件(2-15)。 (1)将应力分量代入平衡微分方程式，且厂=了，=0 (2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21)，有 等式左（云+家）a,+o,小是0=右 282 应力分量不满足相容方程。 因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 》图221，由材料力学公式，。》，与签（取采的厚度6得出所示问园
11 （2）在区域 A 内用应力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）； （3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题； （4）对于多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】用应变表示的相容方程式（2-20） 【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域 A 内用应力函数表示的相容方程式（2-25）； （2）在边界 S 上的应力边界条件式（2-15），假设全部为应力边界条件； （3）若为多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答： q q q q a b a b y x O q q q q a b a b y x O x y l O h /2 h /2 q l h ? 图 2-20 图 2-21 （a）图 2-20， 2 x 2 y q b s = ， = = 0 y xy 。 【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）； （2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。 （1）将应力分量代入平衡微分方程式，且 = = 0 x y f f 0 + = x yx x y 0 + = y xy y x 显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有 等式左= ( ) 2 2 2 2 x y x y + + = 2 2 0 q b =右 应力分量不满足相容方程。 因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 （b）图 2-21，由材料力学公式， x = M y I ， * = s xy F S bI (取梁的厚度 b=1)，得出所示问题的
答，=一2。，活公-4又根有微分方程和边界条 ?,翌器-29景-号引试9出上述公式并检验解省的正瑞性。 【解答】(1)推导公式 在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴(Z轴) 的矩1侣应用面法可求任意面的弯矩方程和剪力方程 M=-名F)=-罗 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为： ,24 ,-)世-) 根据平衡微分方程第二式（体力不计）。 得： 根据边界条件(C）,-2=0 得 4是 故 将应力分量代入平衡微分方程(2-2) 第一式： 左=69斋+69层=0=右满腿 第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程(2-23)
12 解答: 3 3 = −2 x x y q lh ， 2 2 2 3 3 - ( 4 ) 4 xy = − q x h y lh 。又根据平衡微分方程和边界条件得出： 3 3 3 2 2 2 y = − − q xy xy q x q lh lh l 。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 【解答】（1）推导公式 在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为 1，高为 h 的矩形，其对中性轴（Z 轴） 的惯性矩 3 12 = h I ， 应 用 截 面 法 可 求 出 任 意 截 面 的 弯 矩 方 程 和 剪 力 方 程 ( ) 2 3 ( ) , 6 2 = − = − q qx M x x F x l l 。 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为： ( ) 3 3 = = −2 x M x x y y q I lh ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 4 3 1 . 4 2 4 = − = − − s xy F x y q x h y bh h lh 。 根据平衡微分方程第二式（体力不计）。 0 + = y xy y x 得： 3 3 3 . 2 2 y = − + q xy xy q A lh lh 根据边界条件 ( ) / 2 0 = y = y h 得 q . 2 = − x A l 故 3 3 3 . 2 . 2 2 y = − − q xy xy q x q lh lh l 将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式： 2 2 3 3 6 . 6 0 x y x y q q lh lh 左 右 = − + = = 满足 第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）
左(g+导)a+o小4器-器0=右 应力分量不满足相容方程。 故，该分量组分量不是图示问题的解答 【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 【解答】(1)确定最大最小切应力发生位置 任意斜面上的切应力为tn=lm(c2-c),用关系式P+m2=1消去m,得 x,=-F(o,-a)=F-T(a,-a)=±i4-1/2-P(o-o) 由上式可现当时=0时=5，为大成强本，为6=兰.因既 切应力的最大，最小值发生在与x轴及y轴（即应力主向）成45°的斜面上。 (2)求最大，最小切应力作用面上，正应力的值 任一斜面上的正应力为 0n=(o1-o2)+o2 最大、最小切应力作用面上1=±/2，带入上式，得 。=a-a,)+o=a+a) 证毕。 【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求0,0，g (a)o,=100,g,=50,rm=10W50;(b)ox=200,0,=0,tm=-400 (c)o,=-2000,0,=1000,rm=-400,(do,=-1000,0,=-1500,tm=500 【解答】由公式(2-6) 4=arctan150-100=35°16 10√50
13 ( ) 2 2 2 2 3 3 12 . 12 . 0 = + + = − − = 左 右 x y xy xy q q x y lh lh 应力分量不满足相容方程。 故，该分量组分量不是图示问题的解答。 【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 【解答】（1）确定最大最小切应力发生位置 任意斜面上的切应力为 n = − lm( 2 1 )，用关系式 2 2 l m+ = 1 消去 m，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1/ 4 1/ 2 n = − − = − − = − − − l l l l l 由上式可见当 1 2 0 2 − = l 时，即 1 2 l = 时， n 为最大或最小，为 ( ) 1 2 max min 2 n − = 。因此， 切应力的最大，最小值发生在与 x 轴及 y 轴（即应力主向）成 45°的斜面上。 （2）求最大，最小切应力作用面上，正应力 n 的值 任一斜面上的正应力为 ( ) 2 n 1 2 2 = − + l 最大、最小切应力作用面上 l = 1/ 2 ，带入上式，得 ( 1 2 2 1 2 ) ( ) 1 1 2 2 n = − + = + 证毕。 【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求 1 2 1 , , ( ) 100, 50, 10 50; ( ) 200 0, 400; x y xy x y xy a b = = = = = = − , ( ) 2000 1000 400; ( ) 1000, 1500, 500. x y xy x y xy c d = − = = − = − = − = , , 【解答】由公式（2-6） 2 1 2 2 2 2 x y x y xy + − = + 及 1 tan 1 x xy − = ，得 1 1 arctan x xy − = (a) ( ) 2 2 1 2 100 50 100 50 150 10 50 2 2 0 + − = + = 1 150 100 arctan 35 16' 10 50 − = =
4=arctan512-200 arctan(-0.78)=-3757 -400 -200+100±，-200+100+-400=1052 (c)2 2 2 1-2052 a=arctan 1052+000 arctan(-7.38)-8232 -400 c}-1000-1500+ (d)a 2 可+w- =arctan0.618=3143y 500 【217】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边 界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证5，=5，=-9及T,=0 能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条 件，因而就是正确的解答。 【解答】(1)将应力分量。，=0，=-9，=0，和体力分量 y 厂，=，=0分别带入平衡微分方程、相容方程 [g++.=0 0 (a) 2(o,+o,）=0 (b) 显然满足(a)(b) (2)对于微小的三角板A,k,d都为正值，斜边上的方向余弦I=cos(m,x),m=cos(n), 将0，=0，-q,t=0,代入平面问题的应力边界条件的表达式(2-15)，且 了=qcos(n,x),f=qcos(n,y),则有 o,cos(n,x)=-qcos(n,x).o cos(n,y)=-qcos(n.y) 所以=-,0,=-9。 对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体，应校核位移单值条件是否满足 14
14 (b) ( ) 2 1 2 2 200 0 200 0 512 400 2 2 312 + − = + − = − 1 ( ) 512 200 arctan arctan 0.78 37 57' 400 − = = − = − − (c) ( ) 2 1 2 2 2000 1000 2000 1000 1052 400 2 2 2052 − + − + = + − = − 1 ( ) 1052 2000 arctan arctan 7.38 82 32' 400 + = = − = − − (d) 2 1 2 2 1000 1500 1000 1500 691 500 2 2 1809 − − − + − = + = − 1 691 1000 arctan arctan 0.618 31 43' 500 − + = = = 【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边 界上（包括孔口边界上）受有均匀压力 q。试证 - x y s s = = q 及 0 xy = 能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条 件，因而就是正确的解答。 【解答】（1）将应力分量 , 0 x y xy = = − = q ，和体力分量 0 x y f f = = 分别带入平衡微分方程、相容方程 0 0 x xy x y xy y f x y f y x + + = + + = （a） ( ) 2 0 + = x y （b） 显然满足（a）（b） （2）对于微小的三角板 A，dx，dy 都为正值，斜边上的方向余弦 l n x m n y = = cos , , cos , ( ) ( ) ， 将 - , 0 x y xy = = = q ， 代 入 平 面 问 题 的 应 力 边 界 条 件 的 表 达 式 （ 2-15 ）， 且 f q n x f q n y x y = = - cos , , cos , ( ) ( ) ，则有 x y cos , cos , , cos , cos , (n x q n x n y q n y ) = − = − ( ) ( ) ( ) 所以 , x y = − = − q q 。 对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 x y O x f y f q q A y x