2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-"MT2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性，6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。和2、平面问题分为平面应力问题平面应变问题的正负号规6、在弹性力学中规定，切应变以时为正，。时为负，与定相适应。直角变小变大切应力7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。孔附近的应力高度集中应力集中的局部性四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1) ,=Ax+By,,=Cx+Dy,T,=Ex+Fy;(2) 0,=A(x2+y2),,=B(x+y),T=Cxy;1
1 2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强 度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L -1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 2、平面问题分为 和 。 平面应力问题 平面应变问题 6、在弹性力学中规定，切应变以 时为正， 时为负，与 的正负号规 定相适应。 直角变小 变大 切应力 7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 ，即孔附近的应力远 大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 ，由于孔口存在 而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔口尺寸的范围内。 孔附近的应力高度集中 , 应力集中的局部性 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1） Ax By x = + ， Cx Dy y = + ， Ex Fy xy = + ； （2） ( ) 2 2 A x y x = + ， ( ) 2 2 B x y y = + ， Cxy xy = ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程[ao, otn=0axy(a?a；（2）在区域内的相容方程(o,+,0；（3）在边界上的应力00, 0=0(ax?ay?ayax[(lo +mtu),= (s)边界条件（4）对于多连体的位移单值条件。[(mo,+It,),=J,(s)（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量,=-Qxy2+C,x3，,=--Czxy，,=-C23-Cxy，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程[a0, fo =0axay00, 0tg=0ayax得-Oy2+3C,x2-3C,y?-C,x2=0-3C,xJ-2C,xy=0即[(3C,-C, )x? -(O+3C,)y2 =0[(3C,+2C,)x)=0由x，y的任意性，得[3C,-C,=0+3C,=03C,+2C,=0QQ.g由此解得，C.C,,c26*234、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1) 8,=Axy,8,=By,Ym=C-Dy;2
2 其中，A，B，C，D，E，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 = + = + 0 0 y x x y y xy x yx ；（2）在区域内的相容方程 ( ) 0 2 2 2 2 + = + x y x y ；（3）在边界上的应力 边界条件 ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = m l f s l m f s y s y xy x s x yx ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F，D=-E。此 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系 数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 3 1 2 Qxy C x x =− + ， 2 2 2 3C xy y =− ， C y C x y xy 2 3 3 =− 2 − ，体力不计，Q 为 常数。试利用平衡微分方程求系数 C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 = + = + 0 0 y x x y y xy x yx 得 − − = − + − − = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 3 2 2 2 1 2 C xy C xy Qy C x C y C x 即 ( ) ( ) ( ) + = − − + = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 2 2 1 3 C C xy C C x Q C y 由 x，y 的任意性，得 + = + = − = 3 2 0 3 0 3 0 2 3 2 1 3 C C Q C C C 由此解得， 6 1 Q C = ， 3 2 Q C =− ， 2 3 Q C = 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。 （1） Axy x = ， 3 By y = ， 2 C Dy xy = − ；
(2)6=Ay2，8y=Bxy，=Cxy;(3)6,=0,8,=0,Y=Cxy;其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即06x0'0'ay2ax?axoy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A+2By=C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则s,=0，6,=0，=0（1分）。5、证明应力函数0=bv能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b=0）。h/2x0h/21/21/2+ty解：将应力函数Q=by2代入相容方程'0+2-*'0 +*9-0ax4axay2Qy4可知，所给应力函数=by?能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为0'Φ=2b,0,"0x*00-0, Ty000."oyaxoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：y=-号, 1-0, m-1, J,--(g)±=0, ,=-(o)-=0;上边，J2h下边，[=0,m=l,=(t,) h=0,了,=(o,)=0;2-243
3 （2） 2 Ay x = ， Bx y y 2 = ， Cxy xy = ； （3） x =0， y =0， Cxy xy = ； 其中，A，B，C，D 为常数。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 y x x y x y xy = + 2 2 2 2 2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。 （2） 2A+2By=C （1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 x =0 ， y =0， xy =0 （1 分）。 5、证明应力函数 2 =by 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， b0 ）。 解：将应力函数 2 =by 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 可知，所给应力函数 2 =by 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 b y x 2 2 2 = = ， 0 2 2 = = x y ， 0 2 = =− x y xy 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， ( ) 0 2 =− = =− h y x xy f ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， ( ) 0 2 = = = h y x xy f ， ( ) 0 2 = = = h y y y f ； l/2 l/2 h/2 h/2 y x O
左边，[=-1,m=0,=-(α,)/=-2b,J,=-(t,)=021，[=l,m=0,了=(α)=2b,了,=(t),=0。右边，2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数0=bv?能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，at0）。h/2X0h/21/21/2y解：将应力函数=axy代入相容方程'0+2 0'° +°-0ax4Oxy2Oy4可知，所给应力函数Q=axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为000,0,0x'@=0,TayaorQy?axoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：h上边，[=0,m=-1,了=--(t,)h=a,了,=-(α,)-,=0 ;122 .hI=0,m=l,了=(t,)±=-a，了,=(o,)±=0 ;下边，21[=-1,m=0,J,=-(o,)/=0,J,=-(t)左边，=a:21，[=l,m=0,了,=(α)μ,=0,J,=(t)_,=-a。右边，24
4 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 =− =− =− ， ( ) 0 2 =− = =− l x y xy f ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 = = = ， ( ) 0 2 = = = l x y xy f 。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此， 应力函数 2 =by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数 =axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， a0 ）。 解：将应力函数 =axy 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 可知，所给应力函数 =axy 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 0 2 2 = = y x ， 0 2 2 = = x y ， a x y xy =− =− 2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， f h a y x =− xy = =− 2 ( ) ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， f h a y x = xy =− = 2 ( ) ， ( ) 0 2 = = = h y y y f ； 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， ( ) 0 2 =− = =− l x x x f ， f l a x y =− xy = =− 2 ( ) ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， ( ) 0 2 = = = l x x x f ， f l a x y = xy =− = 2 ( ) 。 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力9，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数の=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，O即设,=0。由此可知b00-0pgqO1ay2将上式对>积分两次，可得如下应力函数表达式p(x,y)-f(x)y+f2(x)TL0000将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得tyaf() df()-0dx4dx4这是V的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的V值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即d'f(x)=0,d' f(x)-0dxdx4这两个方程要求fi(x)=Ax3+Bx2+Cx+I ,f(x)=Dx +Ex2+Jx+K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得β=y(Ax+Bx*+Cx)+Dx3+Ex?对应应力分量为aaOyap=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgy61ax?a"=-3.Ax2-2Bx-CTyaxoy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，[=-1，m=0，沿y方向无面力，所以有-(t xy)x=0=C=05
5 O x y b q g 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a，而在上下两边分别受有向右 和向左的均布面力 a。因此，应力函数 =axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分 量。 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压， 即设 x =0 。由此可知 0 2 2 = = y x 将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式 ( , ) ( ) ( ) 1 2 x y = f x y+ f x 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0 ( ) ( ) 4 2 4 4 1 4 + = dx d f x dx d f x y 这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 y 值都应该满足它）， 可见它的系数和自由项都应该等于零，即 0 ( ) 4 1 4 = dx d f x ， 0 ( ) 4 2 4 = dx d f x 这两个方程要求 f x =Ax +Bx +Cx+I 3 2 1 ( ) ， f x =Dx +Ex +Jx+K 3 2 2 ( ) 代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得 3 2 3 2 =y(Ax +Bx +Cx)+Dx +Ex 对应应力分量为 0 2 2 = = y x y Ax B Dx E gy x y = + + + − = (6 2 ) 6 2 2 2 Ax Bx C x y xy =− − − =− 3 2 2 2 以上常数可以根据边界条件确定。 左边， x=0，l=−1，m=0 ，沿 y 方向无面力，所以有 −( xy ) x=0 =C=0