《弹性力学》课程教学资源（习题与解答）11弹性力学试题及答案

2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案（绝密试题）一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-'MT2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量,=100MPa，,=50MPa，T,=10/50MPa，则主应力,=150MPa，,=0MPa，α,=3516'。8、已知一点处的应力分量，,=200MPa，,=0MPa，T,=-400MPa，则主应力o,=512MPa,0,=-312 MPa,α,=-37°57'_。9、已知一点处的应力分量，,=-2000MPa，,=1000MPa，T,=-400MPa，则主应力O,=1052MPa,2=-2052MPa，α,=-82°32'_。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分，15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的，16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为1

1 2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强 度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L -1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量  x =100 MPa，  y =50 MPa， xy =10 50 MPa，则主应力  1= 150MPa， 2= 0MPa，1= 35 16  。 8、已知一点处的应力分量，  x =200 MPa， y =0 MPa， xy =−400 MPa，则主应力  1= 512 MPa， 2=-312 MPa，1=-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，  x =−2000 MPa， y =1000 MPa， xy =−400 MPa，则主应力  1= 1052 MPa， 2= -2052 MPa，1=-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相 同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为

了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=l；在其他结点Ni=0及ZN=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况：二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命题后的括号内打“／”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。(/)5、如果某一问题中，.=t=t,=0，只存在平面应力分量,，,，y，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（/）6、如果某一问题中，6.==,=0，只存在平面应变分量6，6，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（V）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（V）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（V）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（/）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（V）四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1),=Ax+By，,=Cx+Dy，T,=Ex+Fy;(2),=A(x2+y2),,=B(x2+y),T=Cxy:其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程[00,0=0axay(aa)；（2）在区域内的相容方程（J0+0,0；（3）在边界上的应力00,0T=0Layax[(lo, +mTμ),=,(s)边界条件（4）对于多连体的位移单值条件。(mo,+/t)=f,(s)（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此2

2 了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时， 也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni 在 i 结点 Ni=1；在其他结点 Ni=0 及∑Ni=1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小， 以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移 和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。 （√） 5、如果某一问题中，  z = zx = zy =0 ，只存在平面应力分量  x ， y ， xy  ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√） 6、如果某一问题中，  z = zx = zy =0 ，只存在平面应变分量 x  ， y  ， xy  ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ） 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1） Ax By  x = + ， Cx Dy  y = + ， Ex Fy  xy = + ； （2） ( ) 2 2 A x y  x = + ， ( ) 2 2 B x y  y = + ， Cxy  xy = ； 其中，A，B，C，D，E，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程        =   +   =   +   0 0 y x x y y xy x yx     ；（2）在区域内的相容方程 ( ) 0 2 2 2 2 + =           +   x y x y   ；（3）在边界上的应力 边界条件 ( ) ( ) ( ) ( )     + = + = m l f s l m f s y s y xy x s x yx     ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F，D=-E。此

外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量,=-Oxy22+C,x3，,=-C2xy2，=-C,y3-C,y，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数Ci，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程[00, fota=0xay00,ot=0dy"ax得-Oy?+3C,x2-3C,y2-C,x?=0(-3C2x)-2C,x)=0即[(3C, -C, )x2 -(Q+3C, )y2=0[(3C,+2C,)xy=0由x，y的任意性，得[3C,-C,=0Q+3C,=03C,+2C,=0C-0gC=9C2由此解得，6323、已知应力分量,=-q，,=-q，t,=0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量,=-q，,=-q，t,=0，代入平衡微分方程00, ot+X=0axy00, oT+Y=0dyax可知，已知应力分量,=-9，,=-q，T,=0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：3

3 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系 数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 3 1 2 Qxy C x  x =− + ， 2 2 2 3C xy  y =− ， C y C x y xy 2 3 3  =− 2 − ，体力不计，Q 为 常数。试利用平衡微分方程求系数 C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程        =   +   =   +   0 0 y x x y y xy x yx     得    − − = − + − − = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 3 2 2 2 1 2 C xy C xy Qy C x C y C x 即 ( ) ( ) ( )    + = − − + = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 2 2 1 3 C C xy C C x Q C y 由 x，y 的任意性，得      + = + = − = 3 2 0 3 0 3 0 2 3 2 1 3 C C Q C C C 由此解得， 6 1 Q C = ， 3 2 Q C =− ， 2 3 Q C = 3、已知应力分量  x =−q， y =−q ， xy =0 ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和 相容方程。 解：将已知应力分量  x =−q， y =−q ， xy =0 ，代入平衡微分方程        + =   +   + =   +   0 0 Y y x X x y y xy x yx     可知，已知应力分量  x =−q， y =−q ， xy =0 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略 不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程：

a(o,-Vo)=2(1+VvoH1axayOyax?将已知应力分量,=-9，,=-q，=0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：a220ta2ay2xl-Vyax?1-vaxoy1-V将已知应力分量,=-q，,=-q，=0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1) 8,=Axy, 8,=By3, Y,=C-Dy?;(2) 6,=Ay2,8,=Bxy, Yy=Cxy;(3)6,=0,6,=0,Y=Cxy;其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即'e.+0'6y_0"1may2ax?axoy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A+2By=C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则s,=0，8,=0，=0（1分）。5、证明应力函数β=by?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b0）。h/240h/21/21/21解：将应力函数β=by?代入相容方程X

4 y x x y xy x y y x    − = +   − +         2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2(1 ) 将已知应力分量  x =−q， y =−q ， xy =0 代入上式，可知满足相容方程。 按应力求解平面应变问题的相容方程： y x x y xy x y y x    − = − −   + − −             2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ) ( 1 ( 将已知应力分量  x =−q， y =−q ， xy =0 代入上式，可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。 （1） Axy  x = ， 3 By  y = ， 2 C Dy  xy = − ； （2） 2 Ay  x = ， Bx y y 2  = ， Cxy  xy = ； （3）  x =0， y =0， Cxy  xy = ； 其中，A，B，C，D 为常数。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 y x x y x y xy    =   +      2 2 2 2 2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。 （2） 2A+2By=C （1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则  x =0 ， y =0， xy =0 （1 分）。 5、证明应力函数 2 =by 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， b0 ）。 解：将应力函数 2 =by 代入相容方程 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O

atp+2atpatp_Yax4axay2ay4可知，所给应力函数(0=bv?能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为o°Φ=2b, 0,=0,Ty=0.Oy?ax?axoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：h1=0, m=-1,了,=-(t,)h=0,J,=-(o,)上边，=01=2h[=0,m=l,丁=(t,)h=0，了,=(o,)±=0;下边，21[=-1,m=0,了,=-(α)_/=-2b,J,=-(t,)/=0 ;左边，x:2'1右边，[=l, m=0,J,=(o,) =2b,f,=(t) =0 。2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数0=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数β=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a+0）。h/2x0h/21/21/2fy解：将应力函数=axy代入相容方程*'+2-0'* +'=-0ax4"axay2ay可知，所给应力函数β=axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为5

5 2 0 4 4 2 2 4 4 4 =   +    +   x x y y    可知，所给应力函数 2 =by 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 b y x 2 2 2 =   =   ， 0 2 2 =   = x y   ， 0 2 =    =− x y xy   对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， ( ) 0 2 =− = =− h y x xy f  ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f  ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， ( ) 0 2 = = = h y x xy f  ， ( ) 0 2 = = = h y y y f  ； 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 =− =− =−  ， ( ) 0 2 =− = =− l x y xy f  ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 = = =  ， ( ) 0 2 = = = l x y xy f  。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此， 应力函数 2 =by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数 =axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， a0 ）。 解：将应力函数 =axy 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4 =   +    +   x x y y    可知，所给应力函数 =axy 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O