《弹性力学》课程试题再与参考答案

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）、填空题（每小题4分）1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）3.等截面直杆扭转问题中，pdxdy=M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M.4.平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数β在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为Quj +X,=0 8, =i, +uj,)-(u74二、简述题（每小题6分）1.试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2.图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。+qolaVa/20a/2yiyt(a)(b)题二（2）图[ p(x, y) = ax2 + bxy+ cy?(x,y)=ax3+bxy+cxy+dy3(b)(a)[9(r,0)=r f(0)g(r,0)=rf(0)3.图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比μ已知。试求薄板面积的改变量△S。P题二（3）图

1 《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100 分钟） 一、填空题（每小题 4 分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， dxdy M D =  2  的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数  在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力 的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：  ij, j + Xi = 0 ， ( ) 2 1 ij = ui, j + u j,i  。 二、简述题（每小题 6 分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的 应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数  的分离变量形式。 题二（2）图 （a）    = = + + ( , ) ( ) ( , ) 2 2 2     r r f x y ax bxy cy （b）    = = + + + ( , ) ( ) ( , ) 3 3 2 2 3     r r f x y ax bx y cxy dy 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力 P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量 E、泊松比  已知。试 求薄板面积的改变量 S 。 题二（3）图

设当各边界受均布压力g时，两力作用点的相对位移为△I。由=(1-μ)g得，EN/=eVa?+b2_gVa?+b2(1- μ)E设板在力P作用下的面积改变为AS，由功的互等定理有：q-AS=.将NI代入得：AS="/a +b2E显然，AS与板的形状无关，仅与E、μ、1有关。4.图示曲杆，在r=b边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。61题二（4）图(1) o,r=b=q,Trolr=b =0:=0(2) o,lr=α = 0, Trolr=a['o.dr=-PcosoTredr=Psine3)"ogrdr=-Pcosoath25.试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：(1）变求多个位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或u,(r,),u。(r,の)为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题：Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。2

2 设当各边界受均布压力 q 时，两力作用点的相对位移为 l 。由 q E (1 ) 1  = −  得， (1 ) 2 2 2 2  −  +  = + = E q a b l a b 设板在力 P 作用下的面积改变为 S ，由功的互等定理有： q S = P l 将 l 代入得： 1 2 2 P a b E S + −  =  显然， S 与板的形状无关，仅与 E、  、l 有关。 4．图示曲杆，在 r = b 边界上作用有均布拉应力 q，在自由端作用有水平集中力 P。试写出其边界条件（除固定端外）。 题二（4）图 （1） = , = 0 r r=b r r=b q    ； （2） = 0, = 0 r r=a r r=a   （3）  cos  sin  dr P dr P b a r b a = − =   2 cos a b rdr P b a + = −     5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自 的适用性 Love、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想： （1）变求多个位移函数 u(x, y), v(x, y),w(x, y) 或 ( ,), ( ,)  u r u r r 为求一些特殊函数，如调和函数、重调 和函数。 （2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。 适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。 三、计算题 1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为 P，设间距 d 很小

试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为@=Asin20+BO）(13分）题三（1）图解：d很小，.M=Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数（rの）代入，可求得应力分量：ap10.1a04=-=0:Asin 20:a.arar?00?ar?a(10p)1(2Acos20 + B)Tro=--ar(r0r边界条件：Tr00=0=0:00|0元 =0, Tr0|0=x =0(1) 00=0 = 0,r=0r?0Taor0代入应力分量式，有(24+B)=0或(1)2A+B=0r2（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：,，Tro，和M=Pd由该脱离体的平衡，得2do+M=0将Tre代入并积分，有号1(2Acos20+B)r?de+M=0Asin 20+B+M=00得B元+M=0(2)%联立式（1）、（2）求得：B=-M=-PdA=Pd2元元元代入应力分量式，得3

3 试 求 其 应 力 分 量 ， 并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围 。（ 提 示 ： 取 应 力 函 数 为  = Asin 2 + B ） （13 分） 题三（1）图 解： d 很小， M = Pd ，可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。 将应力函数 (r, ) 代入，可求得应力分量：      sin 2 1 1 4 2 2 2 2 A r r r r r = −   +   = ； 0 2 2 =   = r    ； (2 cos 2 ) 1 1 2 A B r r r r  = +          = −      边界条件： （1） 0, 0 0 0 0 0 = =  =  = r r r       ； 0, 0 0 0 = =  =  = r r r         代入应力分量式，有 (2 ) 0 1 2 A+ B = r 或 2A+ B = 0 （1） （2）取一半径为 r 的半圆为脱离体，边界上受有：    r r , ，和 M = Pd 由该脱离体的平衡，得 0 2 2 2 + = − r r d M      将   r 代入并积分，有 (2 cos 2 ) 0 2 1 2 2 2 + + = − A B r d M r     sin 2 0 2 2 + + = − A B M    得 B + M = 0 （2） 联立式（1）、（2）求得：   M Pd B = − = − ， 2 Pd A = 代入应力分量式，得

2Pd sin 202Pd sin09,-。=0: Tro =2r2元元结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力α，由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出Ty，，，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。(12分）qLily题三（2）图解：（1）求横截面上正应力αh390，截面惯性矩为「由材料力学计算公式有任意截面的弯矩为M=1261My20xy(1)=IIh3（2）由平衡微分方程求Tのatyaar(2)+X=0axdy平衡微分方程：tyxdo,(3)+Y=0axay其中，X=0.Y=0。将式（1）代入式（2)，有aty6qoxyTh3dy积分上式，得3q0xy2+fi(x)TxyIh3利用边界条件：0，有390 x*h + f(x)=0390xh2即fi(α) = -4lh34lh34

4 2 2 sin 2 r Pd r    == − ；   = 0； 2 2 2 sin r Pd r     = − 。 结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。 2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力  x 由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出 xy  y  , ， 并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。 （12 分） 题三（2）图 解：（1）求横截面上正应力  x 任意截面的弯矩为 0 3 6 x l q M = − ，截面惯性矩为 12 3 h I = ，由材料力学计算公式有 x y lh q I My x 3 3 2 0  = = − （1） （2）由平衡微分方程求 xy  、 y 平衡微分方程：        + =   +   + =   +   0 (3) 0 (2) Y x y X x y yx y x xy     其中， X = 0,Y = 0 。将式（1）代入式（2），有 x y lh q y xy 2 3 6 0 =   积分上式，得 ( ) 3 1 2 2 3 0 x y f x lh q  xy = + 利用边界条件： 0 2 = = h y xy  ，有 ( ) 0 4 3 1 2 2 3 0 x h + f x = lh q 即 2 2 3 0 1 4 3 ( ) x h lh q f x = −

3q0x(y)1h)(4)TxyIIh34将式（4）代入式（3），有aya06qo6o1h)+x(y2-h)x(2-1=0或4dydyIh34Th3积分得6qoJ3Ihy)+f()a,=x(3Th3X利用边界条件：qo=09ayyathV=1得:6qoh3902x(-!+h)+f(x)=XTh32418690 x(hh)+ f(x)=0x(24~8Th3由第二式，得qoxJ2(x) =21将其代入第一式，得%x-x=-自然成立。27211将f,(x)代入,的表达式，有V36q-1hy)-%(5)C,=-x(X3421Ih3所求应力分量的结果：M=-24oxy0L=IIh3340 x (y2 -1h)(6)=Axy4Ih3-x号--号x,=-321Th34.校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x=0)：5

5 ) 4 1 ( 3 2 2 2 3 0 x y h lh q  xy = − （4） 将式（4）代入式（3），有 ) 0 4 1 ( 6 2 2 3 0 =   − + y x y h lh q  y 或 ) 4 1 ( 6 2 2 3 0 x y h lh q y y = − −   积分得 ) ( ) 4 1 3 3 ( 6 2 2 3 0 h y f x y x lh q  y = − − + 利用边界条件： x l q h y y 0 2 = − =−  ， 0 2 = =+ h y  y 得：      − − + = − − + + = − ) ( ) 0 8 1 24 ( 6 ) ( ) 8 1 24 ( 6 2 3 3 3 0 0 2 3 3 3 0 h f x h x lh q x l q h f x h x lh q 由第二式，得 x l q f x 2 ( ) 0 2 = − 将其代入第一式，得 x l q x l q x l q0 0 0 2 2 − − = − 自然成立。 将 ( ) 2 f x 代入  y 的表达式，有 x l q h y y x lh q y 2 ) 4 1 3 ( 6 2 0 3 3 0  = − − − （5） 所求应力分量的结果： x y lh q I My x 3 3 2 0  = = − ) 4 1 ( 3 2 2 2 3 0 x y h lh q  xy = − （6） x l q h y y x lh q y 2 ) 4 1 3 ( 6 2 0 3 3 0  = − − − 校核梁端部的边界条件： （1）梁左端的边界（x = 0）：