《弹性力学》课程教学资源（习题与解答）徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版——全部章节课后答案详解

a,b=g,+器。 o,b=g,+爱 a-a+会等 (,e,hy dy 各点切应力： (亿n)a=tw (T)=Tm ,h+告 =n+ b=,+尝 Gb=+g在 6k=+安+跨小 由微分单元体的平衡条件F=0,2F,=0,得 +,dk=0 以上二式分别展开并约简，再分别除以山，就得到平面问愿中的平衡微分方程： 【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。 【25】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是 什么？ 【解答】()在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和 小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。 (2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假 定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。 6

6 ( )  = +  x x D x dx x    ； ( )  = +  x y D y dx x    ( )   = + +    x x x C x dx y x y     ； ( )   = + +    y y y C y dx y x y     各点切应力： ( ) xy A xy   = ； ( ) yx A yx   = ( )  = +  xy xy B xy dy y    ； ( )  = +  yx yx A yx dy y    ( ) xy xy D xy dx x     = +  ； ( )  = +  yx yx D yx dx x    ( ) xy xy xy C xy dx dy x y       = + +   ； ( )   = + +   yx yx yx C yx dx dy x y     由微分单元体的平衡条件 0,  = F x 0,  = F y 得 1 1 2 2 1 1 + 2 2 x x x x x x x x yx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y                                          − + + + + + + + −                                                         + + + + + +                       0 x dx f dxdy       + =   1 1 2 2 1 1 + + + 2 2 y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xy dx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x                                           − + + + + + + + −                                                         + + + +                       0 y dy f dxdy       + =   以上二式分别展开并约简，再分别除以 dxdy ，就得到平面问题中的平衡微分方程： 0; 0 x yx y xy x y f f x y y x        + + = + + =     【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。 【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是 什么？ 【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和 小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。 (2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假 定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件

【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？ 【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平 面应力向题)总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。 【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。 由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E 为GPa级别的量，而泊松比4取值一般在(0,0.5)，故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比 较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问恩的系数1/E要大于平面应变问题的系数 (1-)/E。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。 【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问 题的应力分量。,，和t均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？ 【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量0，O,和t,均相同，但平面应力问题 0=tx=t=0,而平面应变问题的t=t=0,:=4(,+,) (2)应变分量：己知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相 同，故应变分量===0,g相同，而6,6，不相同。 (3)位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面间题也不同。 【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的,ytg 之间的关系式 【解答】由题可得： 1=cosa.m=cos(a-90)=sina 了(AB)=0,了(AB)=0 图2-16 将以上条件代入公式(2-15)，得： (o,)cosa+()sina=0.()sina+()cosa=0 (,)=-(x)tana=()tan'a

7 【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？ 【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平 面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。 【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。 由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于 E 为 GPa 级别的量，而泊松比  取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比 较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数 1/ E 要大于平面应变问题的系数 ( ) 2 1 / −  E 。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。 【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问 题的应力分量  x ， y 和 xy  均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？ 【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量  x ， y 和 xy  均相同，但平面应力问题 0    z yz xz = = = ，而平面应变问题的       xz yz z x y = = = + 0, ( ) 。 （2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相 同，故应变分量 0, xz yz xy    = = 相同，而 , , x y z    不相同。 （3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。 【2-8】在图 2-16 中，试导出无面力作用时 AB 边界上的 xy , ,    x y 之间的关系式 【解答】由题可得： ( ) ( ) ( ) cos , cos 90 sin 0, 0 x y l m f AB f AB = = − =    = = 将以上条件代入公式（2-15），得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos sin 0, sin ( ) cos 0 ( ) tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y AB AB              + = + =  = − = x y O  y  x xy  n  g 图2-16 B A

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原 理列出三个积分的应力边界条件。 y (hb) 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积 分形式，大边界上应精确满足公式(2-15)。 【解答】图2-17： 上(1=0) 左(=0) 右(x=b) 0 -1 1 m 0 J,(s) 0 pg(y+h)-pg(y+h) 了，(s) pgh 0 0 代入公式(2-15)得 ①在主要边界上x=0,x=b上精确满足应力边界条件： (c)=-Pgy+h(t）=0, (o)=-Pgy+h.(n）=0 ②在小边界y=0上，能精确满足下列应力边界条件： (o,）=-Pgh.(tn)。=0 ③在小边界y=九上，能精确满足下列位移边界条件： (0=0()-=0 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚6=1 时，可求得固定端约束反力分别为： F,=0.Fy=-pghb,M=0 由于y=九为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

8 【2-9】试列出图 2-17，图 2-18 所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原 理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1 h b g o (h b 2  ) x y l h /2 M h /2 FN FS 1 q q x y l h /2 M h /2 FN FS 1 q q 图 2-17 图 2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积 分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图 2-17： 上（y=0） 左(x=0) 右（x=b） l 0 -1 1 m -1 0 0 f s x ( ) 0 g y h ( + 1 ) − + g y h ( 1 ) f s y ( ) 1 gh 0 0 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上 x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ( ) 1 ( ) 0 0 ( ), 0; = = x xy = − + = x x    g y h ( ) 1 ( ) b b ( ), 0; = = x xy = − + = x x    g y h ②在小边界 y = 0 上，能精确满足下列应力边界条件： ( ) ( ) 0 0 , 0 y xy y y    gh = = = − = ③在小边界 2 y h = 上，能精确满足下列位移边界条件： ( ) ( ) 2 2 0, 0 = = = = y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚  =1 时，可求得固定端约束反力分别为： 1 0, , 0 F F gh b M s N = = − =  由于 2 y h = 为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

心(o,)=-pghb (o,)迹=0 (n)=0 (2)图2-18 ①上下主要边界y-h2,y-h2上，应精确满足公式(2-15) 1m万9万s) y- 0109 y-01 -g 0 (c,)-n=-g,(t)-h2=0,(c,)-2=0,(tn)-h2=-g ②在=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符 号相反，有 ()od- [,(a.)k=-f ()-M ③在x1的小边界上，可应用位移边界条件=0，=0这两个位移边界条件也可改用三个 积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： ∑F=0,F+F=ql→F=ql-FN ∑F=0,F+F+ql=0→F=-gl-F ∑M,=0M+A4R+5g-h=0sM=9坠-M-R1-号 由于x1为正面，应力分量与面力分量同号，故 (dql-Fy a,=n-2-M-R-号 ,=-

9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 0 0 0 0 b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx     = = =  = −    =   =     ⑵图 2-18 ①上下主要边界 y=-h/2，y=h/2 上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2 h y = − 0 -1 0 q 2 h y = 0 1 - 1 q 0 - / 2 ( )y y h  q = = − ， - / 2 ( ) 0 yx y h  = = ， / 2 ( ) 0  y y h= = ， / 2 1 ( ) yx y h  q = = − ②在 x =0 的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符 号相反，有 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 ( ) ( ) ( ) h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M    = − = − = −  = −    = −   = −     ③在 x=l 的小边界上，可应用位移边界条件 ux=l = 0,vx=l = 0 这两个位移边界条件也可改用三个 积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 1 1 0, F F F q l F q l F x N N N N  = + =  = −   0, 0 F F F ql F ql F y S S S S  = + + =  = − −   2 2 1 1 1 1 0, ' 0 2 2 2 2 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l = + + + − =  = − − − 由于 x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) h x x l N N h h x x l S h h xy x l S S h dy F q l F q lh ql ydy M M F l dy F ql F    = − = − = −  = = −      = = − − −    = = − −      M  FN  FS 

9 【210】试应用圣维南原理，列出图219所示的两个问题中 0 x O4边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是 静力等效？ h h M. 【解答】由于h多/，OA为小边界，故其上可用圣维南原理 写出三个积分的应力边界条件： (@上端面oA面上面力元=0了，=9 h>66=)y (a) b) 由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符 图2-19 号相反，有 o女-7=-活脑-空 o,=-合- 12(对OA中点取矩) (),。=0 (b)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正， 主矩为负，则 o,)k=-=-9 o,)t=-M=9b 12 心（()=0 综上所述，在小边界O上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力 等效的。 【21】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】(1)在区域内用位移表示的平衡微分方程式(218)： (2)在5。上用位移表示的应力边界条件式(2-19)： (3)在3，上的位移边界条件式(2-14) 对于平面应变问题，需将E、μ作相应的变换。 【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。 【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】(1)在区域A内的平衡微分方程式(2-2)： 10

10 【2-10】试应用圣维南原理，列出图 2-19 所示的两个问题中 OA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是 静力等效？ 【解答】由于 h l ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理， 写出三个积分的应力边界条件： (a)上端面 OA 面上面力 q b x f f x = 0, y = 由于 OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符 号相反，有 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 12 0 b b b y y y b b b y y y b yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx    = = =  = − = − = −       = − = − =       =          (对 OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢 y 向为正， 主矩为负，则 ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 0 2 12 0 b y N y b y y b xy y qb dx F qb xdx M dx    = = =  = − = −     = − =   =      综上所述，在小边界 OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力 等效的。 【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）； （2）在 s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）； （3）在 u s 上的位移边界条件式（2-14）； 对于平面应变问题，需将 E、μ作相应的变换。 【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。 【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域 A 内的平衡微分方程式（2-2）； x y h o b (h b  = , 1  ) q A x y h o b /2 M A b /2 FN 2 N qb F = 2 12 qb M = (a) (b) 图2-19