《弹性力学》课程教学资源（习题与解答）弹性力学试卷2017上学期答案及评分标准

2016-2017第二学期弹性力学考试答案及评分标准一、概念问答题1、以应力作未知量，应满足什么方程及什么边界条件？答：以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。（5分）2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面问题有a、のy、y、&、&、ay、u、v八个，方程有两个平衡方程，三个几何方程，三个物理方程。（5分）3、已知o,=200Pa，,=-100Pa，Tx=-50Pa及o,=100Pa，。=300Pa，tre=-100Pa，试分别在图中所示单元体画出应力状态图。/0,=-100Pa+xq10g=300Pao,=200Pa-100PaTo-Txy=-50Payy+o,=-100Pa(2分)(3分）4、简述圣维南原理。答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。（5分）5、简述应变协调方程的物理意义。答：(1）形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体一位移连续一几何方程一形变协调条件。（2分）(2）形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调一→对应的位移存在一位移必然连续：形变不协调一对应的位移不存在一不是物体实际存在的形变一微分体变形后不保持连续。（3分）6、刚体位移相应于什么应变状态。答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为(5分)8x=8=%y=07、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程？答：由位移变分方程可得8|U-J(Xu+Yv+Zw)dxdydz-J(Xu+Yv+Zw)ds=0或8l=0

2016-2017 第二学期弹性力学考试答案及评分标准 一、概念问答题 1、以应力作未知量，应满足什么方程及什么边界条件？ 答：以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。（5 分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？ 答：平面问题有x、y、xy、x、 y、xy、u、v 八个，方程有两个平衡方程，三 个几何方程，三个物理方程。（5 分） 3、已知 200  x = Pa ， 100  y = − Pa ， 50  xy = − Pa 及 100  r = Pa ， 300Pa  = ， 100 r Pa   = − ，试分别在图中所示单元体画出应力状态图。 （2 分） （3 分） 4、简述圣维南原理。 答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相 同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。（5 分） 5、简述应变协调方程的物理意义。 答： ⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形 变协调条件。（2 分） ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续； 形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不 保持连续。（3 分） 6、刚体位移相应于什么应变状态。 答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为 x= y=xy=0 （5 分） 7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程？ 答：由位移变分方程可得    U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS − + + − + + = ( ) ( ) 0     或  = 0 x y O  r x y 200  x = Pa 50  xy = − Pa 100  y = − Pa 300Pa  = 100  r = − Pa 100 r Pa   = −

8I=U-(l(Xu+Yv+Zw)dxdydz-([(Xu+Yv+Zw)ds其中Ⅱ为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和)，SⅡI=0称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时，总势能的一阶变分为零。可以证明：在线弹性体中，Ⅱ>0，即在所有几何可能的位移中，实际的位移使总势能取最小值。最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。（5分）二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系（5分)8, = A + A(x +y)+x*+y6, = Bo + B,(x2 + y2) + x4 + y4Yx,=C+Cixy(x?+ y?+C,)答：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即(2 分)ay+axaxoy由题中给出的应变可得：a'cy81α =3Cp +3C/y*+C(C28s=24 +12y,=2B, +12x2ax?ay?axdy则由相容条件可得：2A,+12y2+2B,+12x2=3Cx+3CJ2+C,C2上式对任意x，y均成立，则有：[12 = 3C,[C, = 4(3分)[2A +2B, =CC2A+A,=2C2三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中S、均为均匀分布荷载，AF为固定边界。（15分）qymAoIm0.5m/0.5mE2.5mFAII1.5m1.5mtx解：(2分)AF边：u=0,V=0AB边：G,=0,y=0(2分）

  = − + + − + + U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS ( ) ( )   其中  为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和），  = 0 称为最小势能 原理，它表明物体处于平衡位置时，总势能的一阶变分为零。可以证明：在线 弹性体中， 2   0 ，即在所有几何可能的位移中，实际的位移使总势能取最小 值。最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。（5 分） 二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系（5 分） ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 2 4 4 0 1 2 2 4 4 0 1 C C x y x y C B B x y x y A A x y x y xy y x = + + + = + + + + = + + + +    答：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即 2 2 2 2 2 x y xy y x x y       + =     （2 分） 由题中给出的应变可得： 2 2 2 1 2 12 x A y y   = +  ， 2 2 2 1 2 12 y B x x   = +  ， 2 2 2 1 1 1 2 3 3 xy C x C y C C x y   = + +   则由相容条件可得： 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 12 2 12 3 3 A y B x C x C y C C + + + = + + 上式对任意 x，y 均成立，则有： 1 1 1 1 1 2 1 2 2 12 3 4 2 2 2 C C A B C C A A C   = =      + = + = （3 分） 三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中 s、q 均为均匀分布荷载，AF 为固定边界。（15 分） 解： AF 边：u=0，v=0 （2 分） AB 边：y=0，xy=0 （2 分） x s s 1m 1.5m 1.5m 0.5m 0.5m A B C D O E F y q 2.5m

(2分)EF边：=0, xy=0BC边:(4分)V2V2l=-singcosαm2 2V2scosa-0txy222o+tDV2+0=Zr-ssinaOy[2CD边：（2分）0, =-qT,=0DE边：(3分)V2V2--sinam=coSα22V22=scosα.S-0to+t=S222V222-t+o,=So,=ssinα=-STxy222四、对于图中所示结构，【远大于h，已知2M(hyyy=+qxh3J842hh2M是集中弯矩，9为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（15）MyOg1h721h12解：(1)验证相容方程：V*β=0，这里显然满足。（1分）(2)应力分量：

EF 边：y=0，xy=0 （2 分） BC 边： （4 分） 2 sin 2 l = − = −  ， 2 cos 2 m = − = −  2 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 x xy xy y s s s s        − − = =    − − = − = −   x xy xy y s s      + = −    + =  CD 边：（2 分） 0 x xy  q  = − = DE 边：（3 分） 2 sin 2 l = − = −  ， 2 cos 2 m = =  2 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 x xy xy y s s s s        − + = =    − + = =   x xy xy y s s     − + =   − + =  四、对于图中所示结构，l 远大于 h，已知 2 3 3 3 2 2 8 4 2 M h y y y y qx h h h    = + − − +     M 是集中弯矩，q 为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（15） 解： （1） 验证相容方程： 4  =  0 ，这里显然满足。（1 分） （2） 应力分量： M x y q O l h /2 h /2

p_12My1.6y+gx6ay?h3hh?ae=06ax?ap1_y3y2(3分）Tsyh?axoy4h（3）边界条件h左侧y:，,=0=成立27,=0=-1-1+3=0(2分)424右侧：y=-么，-，,=0= 成立113-成立(2分)tx, =-q=-ql42412Mydy=0，积分后为偶数，故为0顶部x=0.,dy=0,(2分)hr,dy=0hy3)2(h_h)y_y?厚-(--)=(成立=20，(2分)h?h(88)2h.42o,ydy= Mh12My24My32厦=M，成立（3分）dyh3hh32五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。（15分）解：应力数值轴对称—仅为p的函数，应力方向轴对称一Tp=Tep=0相应的应力函数=Φ(p），应力分量：d'o1 dd(a)(3分)dp2,T=0.d.0.pdp(1) 相容方程d3ld2@=0dp?"pdp其中：d?ld-lddV? = -(p-dp?pdppdpdp

2 2 3 2 12 1 6 x My y qx y h h h      = = + − +      2 2 0 y x    = =  2 2 2 1 3 4 xy y y q x y h h      = − = − − − +       （3 分） （3） 边界条件 左侧 2 h y = ， 0  y =  成立 1 1 3 0 0 4 2 4 xy  =  − − + = （2 分） 右侧： 2 h y = − ， 0  y =  成立 1 1 3 424 xy  q q q   = −  − − + + = −     成立 （2 分） 顶部 2 2 3 2 2 12 0, 0, 0 h h h h x My x dy dy h  − − = = =   ，积分后为偶数，故为 0 （2 分） 2 2 0 h h xy  dy − =  2 2 3 2 2 2 2 1 3 2 2 0 4 4 2 8 8 2 h h h y y y y y h h q dy q q − h h h h h       − − − + = − − = − =             −  ，成立 （2 分） 2 2 h h x  ydy M − =  2 3 2 3 3 2 12 4 2 2 h h h My My dy M − h h h   = =     −  ，成立 （3 分） 五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。（15 分） 解：应力数值轴对称—仅为的函数，应力方向轴对称— 0 ρφ φρ τ = = τ 相应的应力函数 Φ =Φ( ρ) ，应力分量： d , d ρ 1 Φ σ ρ ρ = 2 2 d , d φ Φ σ ρ = 0.   = （a） （3 分） (1) 相容方程 2 d d 2 ( ) 0 d d 2 1 Φ ρ ρ ρ + = 其中： 2 2 d d d d ( ) d d d d 2 1 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ  = + =

=0,V@=(b)1pdpdppdppdp相容方程成为常微分方程，积分四次得@Φ的通解，(3分)@Φ=Alnp+Bp?Inp+Cp?+D。(c)(2)应力通解：将式(c)代入式(a)A+B(1+2lnp)+2C,a.p?A(3分)+B(3+2lnp)+2C(d)QOTo=0(3)应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变8,e。,vp也为轴对称。(4)）求对应的位移：将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，oup=pdpu, =Je,dp+ f(o),oue = pe,-up" + aul =0Opppou。= J(pe。-u,)dp+ fi(p).将u。u。代入第三式，1 Ou, +u,_"l =o =0,pdoa0分开变量，两边均应等于同一常量F,ds()_df(o)+ f(0)do=F,(3分)fi(p)-pdpdop即得两个常微分方程，d()=F, ()=Hp+F;fi(p)-pdpd f() + f()=0,d()+[f(o)do=F, :dop2de得: f(g)= Icosp+Ksinp.代入u,,u。，得轴对称应力对应的位移通解，1++2(1)+(3up = -Ep(e)(3分)+2(1-μ)Cp+Icos+Ksinp4Bp+Hp-Isine+Kcosgug:E其中

4 d d d { [ ( )]} 0, ( ) d d d d 1 1 1 Φ Φ ρ ρ b ρ ρ ρ ρ ρ ρ  = = 相容方程成为常微分方程，积分四次得 Φ 的通解， 2 2 Φ = + + + Aln ln ( ) ρ Bρ ρ Cρ D c 。 （3 分） (2) 应力通解：将式(c)代入式(a)， 2 2 (1 2ln ) 2 , (3 2ln ) 2 , ( ) 0 A B C A B C d            = + + +    = − + + +   =    （3 分） (3) 应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变 ρ φ ρφ ε ,ε ,γ 也为轴对称。 (4) 求对应的位移： 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分， , ρ ρ u ε ρ  =  d ( ); ρ ρ u = + ε ρ f φ  , ρ φ φ u u 1 ε ρ ρ φ  + =  , φ φ ρ u ρε u φ  = −  ( )d ) φ φ ρ 1  = − + u ρε u φ f (ρ  。 将 ρ φ u ,u 代入第三式， 0, ρ ρ ρ ρφ 1 u u u γ ρ φ φ φ   + − = =   分开变量，两边均应等于同一常量 F, ( ) ( ) ( ) ( ) d d d , d d 1 1 f ρ f φ f ρ ρ f φ φ F ρ φ − = + =  （3 分） 即得两个常微分方程， 1 1 d ( ) ( ) , d f ρ f ρ ρ F ρ − = 1  = + ( ) ; f ρ Hρ F d ( ) ( )d , d f φ f φ φ F φ + =  2 2 d ( ) ( ) 0, d f φ f φ φ  + = 得： ( ) cos sin f φ = + I φ K φ。 代入 ρ φ u ,u ，得轴对称应力对应的位移通解， 1 [ (1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 ) 2(1 ) cos sin ( ) 4 sin cos A u B B E C I K e B u H I K E                   = − + + − − + −   + − + +   = + − +   ， 。 （3 分） 其中